2025高考数学一轮复习-4.7.1-余弦定理和正弦定理-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-4.7.1-余弦定理和正弦定理-专项训练【A级基础巩固】1.在△ABC中,a=3,b=1,A=60°,则B等于()A.30° B.60°C.30°或150° D.60°或120°2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b=4c,则sinAsinBA.12 B.54 C.43.在△ABC中,若c=2acosB,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.非等腰直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,若3asinB=bcosA,且b=23,c=2,则a的值为()A.27 B.2 C.23-2 D.15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则B等于(A.π10 B.π5 C.3π106.(多选题)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是()A.若cosA=cosB,则△ABC为等腰三角形B.若△ABC为锐角三角形,有A+B>π2C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b2-c2=21,cosA=45,则a的值为8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.

9.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)设AB=5,求AB边上的高.INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-3bc=a2,bc=3a2,则角C的大小是()A.π6或2π3 C.2π3 D.11.(多选题)已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个命题正确的是()A.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC是锐角三角形B.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形C.若bcosC+ccosB=b,则△ABC是等腰三角形D.若acosA=bcos12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则bc=,cosA的值为13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面积.14.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sinB=1(1)求△ABC的面积;(2)若sinAsinC=23INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】15.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,某数学兴趣小组探究该三角形时,提出以下四个论断:甲:B>C;乙:cosB<cosC;丙:cosB<sinC;丁:ccosB<bcosC.若上述四个论断中有且只有一个是正确的,则正确的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案【A级基础巩固】1.解析:由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa2.解析:由正弦定理,得sinAsinB+sinC=a3.解析:因为c=2acosB,所以c=2a·a2+c2-b22ac4.解析:由已知及正弦定理得,3sinAsinB=sinB·cosA,且sinB≠0,可得tanA=33,又0<A<π,所以A=π6,又b=23,c=2,所以由余弦定理a2=b2+c5.解析:由题意结合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,整理可得sinBcosA=0,由于B∈(0,π),故sinB>0,据此可得cosA=0,A=π2,则B=π-A-C=π-π2-π56.解析:对于A,若cosA=cosB,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;对于B,若A+B>π2,则π2>A>对于C,由余弦定理可得b=82+10对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cosC=a2故选ABD.7.解析:因为△ABC的面积为3,cosA=45⇒sinA=35,所以S=12bc·35=3又因为b2-c2=21,解得b=5,c=2,则a2=b2+c5×45所以a=13.答案:138.解析:因为bsinC+csinB=4asinBsinC,sinBsinC>0,结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,所以sinA=12因为b2+c2-a2=8,结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,可得2bccosA=8,所以A为锐角,且cosA=32,从而求得bc=8所以△ABC的面积为S=12bcsinA=12×833×答案:29.解:(1)因为A+B=3C,所以π-C=3C,即C=π4sin(A+C),所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=3cosAsinC,所以sinA=3cosA,即tanA=3,所以0<A<π2,所以sinA=310=(2)由(1)知,cosA=110=10cosAsinC=22×(31010+1010)=255,由正弦定理210,所以AB边上的高为AC·sinA=210×310INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】10.解析:由b2+c2-3bc=a2,得b2+c2-a2=3bc,则cosA=b2+c2-因为0<A<π,所以A=π6由bc=3a2及正弦定理,得sinBsinC=3sin2A=3×14=3即4sin(C+A)sinC=4sin(C+π6)sinC=3整理得3cos2C=sin2C,则tan2C=3,又0<2C<5π3即2C=π3或4π3,即C=π611.解析:因为tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB),所以tanA+tanB+tanC=tan(A+B)·(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanA·tanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,所以A,B,C均为锐角,所以A正确;由acosA=bcosB及正弦定理,得sin2A=sin2B,所以A=B或A+B=π2ccosB=b及正弦定理,可知sinBcosC+sinCcosB=sinB,所以sinA=sinB,所以A=B,则△ABC是等腰三角形,所以C正确;由已知和正弦定理,易知tanA=tanB=tanC,得A=B=C,则△ABC是等边三角形,所以D正确.故选ACD.12.解析:因为在△ABC中,2sinB=3sinC,所以由正弦定理可得2b=3c,即bc=3又因为b-c=14cosA=b2+c2-答案:32-13.解:(1)由正弦定理asinA=得sinA=a·因为cosC=35,所以sinC=4又ac=54,所以sinA=5sin(2)由(1)知sinA=55因为a=5c4<c,所以0<A<所以cosA=25所以sinB=sin(π-B)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=55×35+255×因为bsinB=csinC,即所以c=45,所以S△ABC=12bcsinA=12×11×45×14.解:(1)由S1-S2+S3=32得34(a2-b2+c2)=3即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accosB,所以accosB=1.由sinB=13得cosB=223或cosB=-所以ac=322=S=12acsinB=12×324×(2)由sinAsinC=23,ac=324及正弦定理知b2sin2即b2=94×19=14INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【C级应用创新练】15.解析:假设甲正确,即B>C,因为0<C<π2,0<B<π2,函数y=cosx在(0,π2)上单调递减,所以cosB<cosC,即乙也正确,故与题意矛盾;假设乙正确,即cosB<cosC,因为0<C<π2,0<B<π2