《noip教程动态规划》课件

NOIP教程-动态规划动态规划是一种解决复杂问题的重要算法思想。本课程将深入探讨动态规划的原理及其在算法设计中的应用。从简单的最优子结构到复杂的状态转移方程,学习如何利用动态规划解决各种难题。课程目标1掌握动态规划基本概念了解动态规划的定义、特点和适用范围,为后续学习打下基础。2学习动态规划的基本思想掌握动态规划的核心思想——分治和存储计算结果。3掌握动态规划算法设计方法学习如何设计动态规划算法,从问题抽象到程序实现。4学习动态规划的典型应用通过经典问题的解析,深入理解动态规划的应用场景。什么是动态规划动态规划是一种解决复杂问题的算法。它通过将大问题分解成较小的子问题,然后逐步求解子问题,再将其组合起来得到最终解的方法。这种方法可以有效地解决很多难题,如最长子序列、背包问题等。动态规划的核心在于利用已有的部分解来求得最终解,避免了重复计算,提高了效率。它的关键在于找到问题的状态转移方程,合理定义子问题,并利用这些来最终得出解决方案。动态规划的特点连续性动态规划算法通过对子问题的递归计算,来解决整个问题,是一种连续性的处理过程。最优性动态规划算法通过记录并比较各个子问题的最优解,最终得到整体问题的最优解。重复性动态规划算法会遇到重复计算子问题的情况,通过记忆化存储可以避免重复计算。复杂度相比于暴力穷举法,动态规划算法的时间复杂度通常更低。动态规划的基本思想分阶段决策动态规划的核心思想是将复杂问题拆分为多个子问题,通过每个子问题的最优解来获得整体问题的最优解。这种分阶段决策的方法可以大大提高问题解决的效率。重复子问题动态规划算法会反复求解相同的子问题,因此它会将这些子问题的解保存起来,避免重复计算,提高了算法的效率。状态转移方程动态规划的关键在于建立正确的状态转移方程,它描述了如何通过前一状态的最优解得到当前状态的最优解。这是动态规划的数学基础。动态规划问题的一般形式1子问题动态规划通过将问题分解成相互关联的较小子问题来解决。2最优子结构整体问题的最优解由子问题的最优解组合而成。3状态转移方程通过分析子问题之间的关系建立递推公式。动态规划问题通常具有三个特点:问题可以分解成相互关联的子问题、整体问题的最优解由子问题的最优解组合而成、可以通过分析子问题之间的关系建立递推公式。这就是动态规划问题的一般形式。如何设计动态规划算法1定义问题明确问题的目标和约束条件2确定状态找出问题的关键状态变量3设计递推关系建立状态之间的转移方程4实现算法根据状态转移方程编写代码设计动态规划算法的关键步骤包括:明确问题的目标和约束条件,找出问题的关键状态变量,建立状态之间的转移方程,并根据这些方程编写代码实现算法。这一过程需要仔细分析问题的特点,循序渐进地推导出最优的解决方案。动态规划解题步骤1定义问题首先要清楚地定义问题的目标和子问题的关系。明确问题的输入输出和需要解决的关键点。2设计递推式根据问题的特点,设计出一个能够描述子问题之间关系的递推式。这是动态规划的核心部分。3初始化确定问题的基本情况,即动态规划表的初始值。这往往是问题最简单的情况。4自底向上求解根据递推式,从小到大地计算出动态规划表中的每一个值。这样就可以逐步得到最终答案。5输出解答根据动态规划表中的值,按照问题要求的形式输出最终的解答。动态规划的应用场景网络优化动态规划可用于网络流量的优化调度和路径规划。金融领域动态规划在股票投资组合优化、期权定价、储蓄规划等方面有广泛应用。生产制造动态规划可用于生产流程的优化、库存管理和车间调度等。决策支持动态规划可帮助做出复杂的多阶段决策,如投资决策和医疗诊断。动态规划问题的类型最优化问题找到问题最优解的动态规划算法,如最长公共子序列、最短路径等。递推问题通过递推关系解决多次重复计算的问题,如斐波那契数列、动态规划算法。决策问题寻找最优决策路径的动态规划算法,如装配线调度、资源分配等。计数问题统计问题的解的个数,如不同路径问题、完全背包问题等。斐波那契数列定义斐波那契数列是一个递归数列,其中每一项等于前两项之和。特点斐波那契数列的前两项均为1,之后的每一项都是前两项之和。应用斐波那契数列在计算机科学、金融学、生物学等领域有广泛应用。例子1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,...最长公共子序列1识别子序列在两个或多个序列中找到的公共子序列2求解策略利用动态规划算法解决3算法流程建立二维表格,逐步填充最长公共子序列长度最长公共子序列(LongestCommonSubsequence,LCS)是一个典型的动态规划问题。它要求找出两个或多个序列中最长的公共子序列的长度。算法会建立一个二维表格,通过逐步填充表格来找到最终的最长公共子序列长度。这种动态规划方法可以高效地解决这个问题。最长递增子序列定义最长递增子序列（LongestIncreasingSubsequence,LIS）是指在一个序列中找到一个子序列，该子序列元素按照递增顺序排列，且长度最大。应用场景LIS问题广泛应用于各种领域，例如资源调度、数据压缩、金融分析等。它是一个重要的经典动态规划问题。算法思路利用动态规划的思想，记录每个位置的最长递增子序列长度，从而得到整个序列的最长递增子序列。背包问题1背包问题概述背包问题是一个古老而经典的动态规划问题。它考虑如何在给定的重量限制下,选择一些物品放入背包,使其总价值最大化。2基本思想通过构建状态转移方程,动态地计算出当前背包容量下,可以获得的最大价值。这需要仔细权衡每个物品的价值和重量。3经典应用背包问题在工业生产、物流管理、资源配置等领域广泛应用。它可以帮助企业做出更优的决策,提高经营效率。编辑距离1插入在字符串中添加一个字符2删除从字符串中删除一个字符3替换将一个字符替换为另一个字符编辑距离是计算两个字符串之间的最小编辑操作次数。它广泛应用于文本处理、语音识别、生物信息学等领域。编辑距离算法通过动态规划的方式解决这个问题，可以高效地计算出最优解。硬币找零问题1找零目标给定一个总金额和可用硬币面额2最少硬币数找出使用最少硬币数凑出总金额的组合3动态规划解法利用递推关系找出最优解硬币找零问题是一个经典的动态规划问题。给定一组硬币面额和一个目标金额,需要找出使用最少硬币数凑出目标金额的组合。通过设计递推关系,可以利用动态规划的思想高效地解决这一问题。最小生成树1最小生成树概述在加权无向图中,寻找一棵边权之和最小的生成树。2最小生成树性质包含图中所有节点,并且不会形成环路。3最小生成树应用在网络优化、物流规划等领域有广泛应用。最小生成树是图论中一个重要的概念,它能够找到一张无向图中边权之和最小的生成树。这种树形结构具有不会形成环路、包含所有节点的特点,在网络优化、供应链管理等实际应用中都有重要的作用。最短路径问题确定起点和终点首先确定从哪里出发到目的地，定义好起点和终点。计算边权重分析每条边的权重或成本，这可能是距离、时间或其他因素。选择最优算法根据问题规模和特点选择合适的最短路径算法，如Dijkstra、Bellman-Ford或Floyd-Warshall算法。执行计算将数据输入到所选的算法中进行计算，得出从起点到终点的最短路径。输出结果展示最短路径的距离、时间或成本等指标，并可视化路径。矩阵连乘问题1定义问题矩阵连乘问题是一个经典的动态规划问题。问题是给定一个由矩阵序列组成的矩阵链，求出按照最优顺序进行连乘运算所需的最小计算量。2解题思路使用动态规划的方法可以有效地解决这个问题。需要先确定矩阵乘法的运算顺序,使得总的乘法次数最少。3算法步骤定义一个二维数组dp,记录每段矩阵乘法的最小代价。遍历所有可能的子区间,计算出最小代价。最终返回dp[1][n]作为最小代价。股票买卖问题1单次交易在给定的价格序列中,寻找最大利润的单次买卖活动。2多次交易在给定的价格序列中,进行多次买卖以获得最大利润。3冷冻期在买卖股票时,需要考虑交易间的冷冻期限制。最长公共子串1找出最长子串算法的目标是找出两个字符串中共同出现的最长子串2动态规划法通过建立二维数组来记录最长公共子串的长度3算法步骤遍历两个字符串，找出最长公共子串最长公共子串问题是一个典型的动态规划问题。算法的目标是找出两个给定字符串中共同出现的最长子串。通过建立二维数组来记录最长公共子串的长度,并遍历两个字符串,最终确定最长公共子串。这是一个非常有用的算法,在文本处理、生物信息学等领域有广泛的应用。区间调度问题1任务分配将任务合理分配给资源2时间最优化确保任务在最短时间内完成3冲突最小化避免任务之间的时间重叠区间调度问题是一类常见的动态规划问题,主要涉及如何合理分配有限的资源,在满足各项任务要求的同时,最大化任务完成的效率。通过建立动态规划模型,可以找到一种最优的任务分配方案,确保任务在最短时间内完成,并尽量避免任务之间的时间冲突。最长回文子串识别回文性质通过比较字符串的首尾字符是否相同来判断其是否为回文串。动态规划算法使用两重循环遍历字符串中的所有子串,并记录每个子串是否为回文。中心扩散法以每个字符为中心向两侧扩散,判断是否构成回文串。可以处理奇数和偶数长度的回文串。Manacher算法一种时间复杂度仅为O(n)的高效解决最长回文子串的算法。数塔问题构建数塔数塔问题要求从一个三角形的顶部开始，经过中间层，最终到达底部。每一步只能选择当前点和它正下方的两个点中的较大值。动态规划求解采用自底向上的动态规划算法，从底部逐层向上计算，每一层的值等于当前点和它正下方两个点中的较大值加上上一层的值。求最大路径和最终得到的数塔底部各点的值即为从顶部到该点的最大路径和。选择底部值最大的点，即可得到整个数塔的最大路径和。泰波那契数列1数列起源泰波那契数列起源于对斐波那契数列的推广2递推公式T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)3特点分析与斐波那契数列相似,但增长速度更快泰波那契数列是对斐波那契数列的一种推广,是指一个满足下列公式的数列:T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)。与斐波那契数列相比,泰波那契数列的增长速度更快,体现了数列推广的思路。它在计算机科学、数学等领域有广泛应用。棋盘覆盖问题1分析问题确定问题要求，理解棋盘覆盖的规则。2设计算法根据问题特点,选择合适的动态规划策略。3实现方案编写代码,并测试得到最终解决方案。4优化改进分析算法复杂度,探索更高效的解决方案。棋盘覆盖问题是一类经典的动态规划问题,要求在给定的m×n棋盘上,使用一些特定形状的骨牌完全覆盖棋盘,且不能有重叠。这种问题通常有多种解决方案,需要设计合理的动态规划算法来找到最优解。石子合并问题1问题描述给定一排石子,每个石子有一定的重量。需要将所有石子合并成一堆,每次可以选择相邻的两堆进行合并,合并的代价为这两堆石子的重量之和。求合并的最小代价。2动态规划解决可以使用动态规划的方法解决此问题。定义dp[i][j]表示将第i堆到第j堆石子合并的最小代价,则可以递推计算出最终的最小代价。3应用场景石子合并问题在实际生活中有很多应用,例如合并文件、合并数据库、合并仓库等,都可以抽象为石子合并问题进行优化。子集和问题理解问题子集和问题是在给定一个数组和一个目标值的情况下,找出数组中和等于目标值的所有子集。动态规划思想利用动态规划的思想,我们可以建立一个二维数组,记录所有可能的子集和。解决步骤初始化一个二维数组,第一行记录是否可以得到0这个和。对数组中的每个元素,更新二维数组中的值。最终返回二维数组的最后一个元素,即为所有可能的子集和。最长公共上升子序列1定义最长公共上升子序列（LongestCommonIncreasingSubsequence，LCIS）是两个或多个序列的最长的上升子序列中公共的部分。2应用场景LCIS在数据挖掘、机器学