2611余弦定理课件-高一下学期数学北师大版

2.6.1.1余弦定理北师大版（2019）必修第二册第二章

平面向量及其应用学习目标了解余弦定理的证明过程02掌握余弦定理及其推论01能够利用余弦定理解决有关问题03知识回顾我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？bca探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？bca

探究：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和

C表示

c？bca

那么c＝a－b

所以c2＝a2＋b2－2abcosC

①把几何元素用向量表示：②进行恰当的向量运算：③向量式化成几何式：同理可得

a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosB.抽象概括余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

还有其他方法证明余弦定理吗？余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．利用几何法证明：在△ABC中，三个角

A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，过顶点

C作

CD⊥

AB于点

D，CADB（2）当△ABC为直角三角形时，同理可证.则CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝AB－AD＝c－bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理得

BD²＝CD²＋BD²，即a²＝b²sin²A＋（c－bcosA）²＝b²sin²A＋c²＋b²cos²A－2bccosA，所以a²＝b²＋

c²

－2bccosA.同理可证b²

＝

a²＋

c²

－2accosB，

c²

＝

a²

＋

b²－

2abcos

C利用几何法证明：在△ABC中，三个角

A，B，C所对的边分别是a，b，c（3）当△ABC为钝角三角形时，如图所示，即

a²＝b²sin²A＋（bcosA－c）²，即

a²＝b²＋

c²

－2bccosA.过顶点

C作

AB延长线的垂线

CD，垂足为

D，则CD＝bsinA，BD＝bcosA－c.在Rt△BCD中，由勾股定理得

BC²＝CD²＋BD²，CDBA同理可证

b²

＝

a²＋

c²

－2accosB，

c²

＝

a²

＋

b²－

2abcos

C同学们也可以尝试用坐标方法证明利用坐标法证明：在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c如图，以

A为原点，边

AB所在直线为

x轴建立平面直角坐标系.同理可证

b2＝c2＋a2－2cacosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.则

A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)，∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即

a2＝b2＋c2－2bccosA.思考：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？余弦定理的推论已知三条边求任意角（SSS）已知两边及其夹角求第三边（SAS、SSA）拓展利用余弦定理判断三角形的形状

拓展利用余弦定理判断三角形的形状

拓展利用余弦定理判断三角形的形状

例1

如图，有两条直线

AB和

CD

相交成80°角，交点是

O.甲、乙两人同时从点

O分别沿OA，OC方向出发，速度分别是4km/h，4.5

km/h.3h后两人相距多远?(精确到

0.1

km)O80°D解：经过3h，甲到达点

P，|OP|＝4×3＝12(km)，乙到达点

Q，|OQ|＝4.5×3＝13.5(km)，QP在△OPQ中，由余弦定理得(km)，因此，3h后两人相距约

16.4

km.

解：在△BCD中，BC＝1，CD＝1，∠BCD＝135°，

在△ABD中，

你还能用其他方法求线段

BD的长度及

∠DAB的大小吗？解：延长

DC交

AB的延长线于点

E.因为∠BCD＝135°，∠ABC＝90°，所以∠BEC＝∠BCE＝45°

思考交流：你还能用其他方法