第一章 导热理论基础

1第一章导热理论(lǐlùn)基础纲要

§1-1导热(dǎorè)的基本概念

§1-2导热的基本定律

§1-3导热系数

§1-4导热微分方程和单值性条件共四十七页2导热(dǎorè)的基本概念§1-1导热(dǎorè)的基本概念

一、温度场

二、等温面与等温线

三、温度梯度（gradt）

共四十七页3导热(dǎorè)的基本概念

一、温度场

1.概念

在某一时刻τ，物体内所有各点温度分布的总称，称为该物体在τ时刻的温度场。

一般(yībān)，温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标系中可表示为：共四十七页4导热(dǎorè)的基本概念2.分类(fēnlèi)

同样在圆柱坐标系和球坐标系中也可分为三维、二维、一维。

求解导热问题的主要任务就是要获得物体内的温度场。直角坐标系中温度场的分类共四十七页5导热(dǎorè)的基本概念二、等温面与等温线

等温面:在同一时刻,物体内所有温度相同的点连成的面。

等温线:等温面与平面相交(xiāngjiāo)所得的交线。

等温面（线）的特点：

(1)等温面（线）与等温面（线）互不相交，在连续体中，等温面（线）是连续的，或是完整的封闭曲面（线），或终止于物体的边缘上。共四十七页6导热(dǎorè)的基本概念

(2)在等温面（或等温线）的法线方向上，温度变化率最大。由于温差是热量传递的动力(dònglì)，故沿等温面（线）无热流，热量传递只能在穿过等温面的方向上进行。等温面（线）的疏密可直观地反映出物体内不同区域热流密度的相对大小。(思考）

共四十七页7导热(dǎorè)的基本概念

物体(wùtǐ)的温度场常用等温面图或等温线图来直观地表示。

（a）水冷的燃气轮机叶片的温度场（b）墙角内的温度场共四十七页8导热(dǎorè)的基本概念

等温面（线）某点法线方向的温度变化率最大，以法线方向为方向，数值上等于这个最大变化率的矢量称为(chēnɡwéi)该点的温度梯度。如图，则温度梯度可表示为：℃/m三、温度梯度（gradt）共四十七页9导热(dǎorè)的基本概念

温度梯度是矢量，其方向垂直于该点的等温面（线）且指向(zhǐxiànɡ)温度升高的方向（与热流的方向相反）。

tdAd

在直角坐标系中的表示：

共四十七页10导热(dǎorè)的基本概念热流密度(mìdù)矢量热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；不同方向上的热流密度的大小不同热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度直角坐标系中：共四十七页11导热(dǎorè)基本定律§1-2导热(dǎorè)基本定律

傅里叶在对导热过程进行实验研究的基础上,于1822年提出了著名的傅里叶定律—导热基本定律。数学表达式

W/m2“-”号表示与gradt二者方向相反共四十七页12导热(dǎorè)基本定律

在直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系中的向量表达式为：

对一维稳态导热可写为：

W/m2W/m2

傅里叶定律表明：在导热现象中，导热热流密度的大小正比于该点温度梯度的绝对值；热流密度的方向与温度梯度方向相反。共四十七页13导热(dǎorè)系数§1-3导热(dǎorè)系数二、物理意义

由定义式知，导热系数在数值上等于单位温度梯度时通过物体的热流密度的模值。

一、定义

导热系数的定义式由傅里叶定律给出W/(m·K)

导热系数表征物体导热能力的大小，λ越大表示物体导热能力越强。共四十七页14导热(dǎorè)系数三、影响因素及确定

导热系数的影响因素：主要是物质的种类、物态以及(yǐjí)温度、密度、含水率等。

一般同种物质三态中,

λ固态＞λ液态＞λ气态

对于同一种物质，温度的影响最大。

大多数材料的导热系数都是通过专门的实验测定的。为了工程计算方便，常绘成图表以供查取。共四十七页15导热(dǎorè)系数导热(dǎorè)系数随温度的依变关系

对于大多数工程材料，可近似地认为导热系数随温度线性变化，并表示为：绝热材料:λ绝热＜0.12W/(m·K)。各向异性材料:如木材、石墨、纤维材料等。共四十七页16导热(dǎorè)系数各类物质(wùzhì)导热系数的范围共四十七页17导热(dǎorè)系数物质的导热系数(xìshù)在数值的特点:

(1)对于同一种物质：λ固态＞λ液态＞λ气态(3)一般λ纯金属＞λ其金属合金(4)对于各向异性物体,λ异性物与方向有关

(2)一般λ金属＞λ非金属共四十七页18导热(dǎorè)系数共四十七页19导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件§1-4导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件一、导热微分方程式：对所研究的物体作下列简化假设：

1.导热体为各向同性均匀的连续体。

2.导热体的ρ、c和λ都是常量。

3.导热体有均匀的内热源，内热源强度（单位时间单位体积内的内热源生成热）为

（W/m3）

傅里叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:推导依据：热力学第一定律+傅里叶定律共四十七页在导热(dǎorè)体中取一微元体热力学第一(dìyī)定律：

d

时间内微元体中：[导入与导出净热量]+[内热源发热量]=[热力学能的增加]1、导入与导出微元体的净热量d

时间内、沿x轴方向、经x表面导入的热量：共四十七页d

时间(shíjiān)内、沿x轴方向、经x+dx表面导出的热量：d

时间(shíjiān)内、沿x轴方向导入与导出微元体净热量：共四十七页d

时间(shíjiān)内、沿z

轴方向导入与导出微元体净热量：d

时间内、沿y

轴方向(fāngxiàng)导入与导出微元体净热量：共四十七页2、微元体中内热源(rèyuán)的发热量d

时间(shíjiān)内微元体中内热源的发热量：3、微元体热力学能的增量d

时间内微元体中热力学能的增量：由[1]+[2]=[3]：共四十七页若物性(wùxìnɡ)参数

、c和

均为常数：导热微分方程式，实质是导热过程(guòchéng)的能量方程

导热微分方程建立了导热过程中物体内的温度随时间和空间变化的函数关系。共四十七页25导热(dǎorè)微分方程和单值性条件m2/s则导热(dǎorè)微分方程式写成令热扩散率

(导温系数)共四十七页26导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件a的物理(wùlǐ)意义

1．由定义：a↑

导热能力↑蓄热能力↓

非稳态导热过程中物体的热量扩散能力↑

称为热扩散率。

2．由方程：非稳态导热过程中，相同的加热或冷却条件下，a↑

物体内各部分温度趋于均匀的能力↑。即a值大的材料其温度变化传播得快

a反映非稳态导热过程中物体的“导温”能力

称为导温系数。共四十七页27导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件

不同材料的a相差很大，一般导热系数大的材料a也大。

例如，木材的a约为1.5×10-7m2/s，铝的a约为9.45×10-5m2/s。

不锈钢的a大约是瓷的几十倍

把形状(xíngzhuàn)、尺寸相同的瓷勺和不锈钢勺同时放在一杯开水中（勺柄漏在外面），过一会儿，不锈钢勺柄已经烫手了而瓷勺柄还感觉不到温度有什么变化

说明不锈钢比瓷传播温度变化的能力大得多。

共四十七页28导热(dǎorè)微分方程和单值性条件

注意：热扩散率与导热系数的联系与区别！

导热系数只表明材料(cáiliào)的导热能力，而热扩散率综合考虑了材料的导热能力和蓄热能力，因而能准确反映物体中温度变化的快慢。

共四十七页29导热(dǎorè)微分方程和单值性条件

对于非稳态导热过程，由于物体本身不断吸收或放出热量

决定物体内温度分布的是热扩散率

对于稳态导热过程，物体只进行热量的传递，各点的温度不随时间(shíjiān)而变

导热系数是决定稳态导热过程热传递的重要热物性参数。共四十七页30导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件

（2)稳态（）有内热源(rèyuán)时简化为

几种特殊情况的导热微分方程简化形式

(1)物体无内热源（）时简化为

（4）一维稳态无内热源时简化为

（3）稳态无内热源时简化为共四十七页31导热(dǎorè)微分方程和单值性条件圆柱(yuánzhù)坐标系中的微元体球坐标系中的微元体

共四十七页32导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件

稳态无内热源(rèyuán)径向一维导热时简化为：

圆柱坐标导热微分方程式：

球坐标稳态无内热源径向一维导热时的简化形式为：

共四十七页33导热(dǎorè)微分方程和单值性条件二、单值性条件

导热微分方程描述同类导热过程的共性

适用于所有同类导热体内部的导热过程，由它得到的解是这类问题的通解。

要获得某个具体(jùtǐ)导热问题的特解，还必须说明特定导热过程的具体特点。

单值性条件：说明导热过程具体特点使导微分方程式获得唯一解的条件。共四十七页34导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件单值性条件一般包括以下几项：

1.几何条件：说明所研究导热物体的几何形状、尺寸(chǐcun)大小等。

决定物体内温度场的空间分布特点和进行分析时所需采用的坐标系。

2.物理条件：说明所研究导热体的物理特征。

如物体的物性参数（ρ、c、λ）的数值及其特点（是否随温度变化），内热源的大小及分布情况等。共四十七页35导热(dǎorè)微分方程和单值性条件

3.时间条件：说明导热过程进行(jìnxíng)时在时间上的特点，它只对非稳态导热过程而言。通常说明导热过程初始时刻（τ=0）导热物体的温度分布规律:

又称为初始条件。若在过程开始时刻物体内的温度分布均匀

可简化为：

共四十七页36

4.边界条件：说明导热体边界上的热状态以及(yǐjí)与周围环境相互作用的情况。

常见的边界条件有三类：

（1）第一类边界条件：

给出导热物体边界面上的温度分布及其随时间的变化规律。最简单的情况是对于稳态导热过程:

tw

=常量恒壁温边界条件导热(dǎorè)微分方程和单值性条件共四十七页37

（2）第二类边界条件：给出导热物体边界面上的热流密度（包括大小、方向）分布及其随时间的变化规律。

最简单的情况是对于稳态导热过程(guòchéng)：

qw=常量恒热流(rèliú)边界条件导热微分方程和单值性条件共四十七页38

绝热边界条件:当边界面绝热时，可看作(kànzuò)恒热流边界条件的特例（qw=0）

(qw=0)绝热边界条件导热(dǎorè)微分方程和单值性条件共四十七页39

（3）第三类边界条件：给出导热体边界面与周围(zhōuwéi)流体进行对流换热的流体温度tf及表面换热系数h—对流换热边界条件根据边界面的热平衡，由傅立叶定律和牛顿冷却公式得：tf，h

注意(zhùyì)：式中和tw都未知

对流换热边界条件导热微分方程和单值性条件共四十七页40★当h→∞时，tw≈tf

第三类边界(biānjiè)条件转化为第一类边界条件。★当h→0时，qw≈0

第三类边界条件转化为绝热边界条件。导热微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)和单值性条件共四十七页41例题例题

【例1-1】半径为0.1m的无内热源、常物性(wùxìnɡ)长圆柱体，已知某时刻温度分布为t=500+200r2+50r3（℃）（r为径向坐标，单位为m），

=40W/（m

K），a=0.0001m2/s。求：(1)该时刻圆柱表面上的热流密度及热流方向。（2）该时刻圆柱体中心温度随时间的变化率。共四十七页42例题

=-40(400

0.1+150

0.01)=-1660

W/m2

式中负号意味着，所以热流密度方向(fāngxiàng)指向圆柱体中心。在圆柱(yuánzhù)表面上r=0.1m，代入上式得：共四十七页43例题

（2）由导热(dǎorè)微分方程式：在圆柱(yuánzhù)中心r=0，则：K/s共四十七页44例题

【例1－2】一矩形(jǔxíng)截面长柱体，常物性、无内热源，边界条件如图所示。试写出该问题的稳态导热微分方程式及边界条件