湖北省宜昌市高三4月调研考试数学（理）试题

宜昌市2018届高三4月调研考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（）A．B．C．D．3.下列命题正确的是（）A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；B．命题“若，则”的逆否命题为真命题；C．“”是“”成立的必要不充分条件；D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）注：，.A．6038B．6587C．70285.已知数列满足，且，则（）A．3B．3C．D．6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（）A．B．C．D．17.偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则（）A．16B．14C．12D．108.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．179.已知，若，则（）A．5B．-20C．15D．3510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．D．1211.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.13.平面向量，，若向量与共线，则．14.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为．15.已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是．16.设数列满足，，若使得，则正整数．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.（Ⅰ）求函数的解析式，并求的单调递减区间；（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，，求外接圆的面积.18.如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.19.中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：步步数性别男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：.0.100.050.0250.012.7063.8415.0246.63520.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.21.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修44：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.23.[选修45：不等式选讲]设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

宜昌市2018届高三4月调研考试数学（理科）参考答案一、选择题15:CBBBA610:CDCAC11、12：DC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（Ⅰ），∵函数的图象关于直线对称，∴，，∴，，又，∴.∴.∵函数的单调递减区间为，.令，∴.∴的单调递减区间为，.（Ⅱ）∵，∴.∵，∴，∴，∴.在中，由余弦定理得，∴.由正弦定理得，∴，∴.18.（Ⅰ）证明：法1：连接、，显然、、三点共线.∵点、分别为和的中点，∴；在直三棱柱中，，∴平面，∴，又，∴四边形为正方形，∴，∵、平面，∴平面，而，∴平面.法2：（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，连接、，设，∵，∴，∴，∴.当点在线段上运动时，∴平面的法向量即为平面的法向量，设平面的法向量为，由得，令得，设平面的法向量为，由得，令得，取，∵，∴，∴或.19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为.可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，积极型消极型总计男9615女41115总计131730的分布列为0123则.（Ⅱ）完成列联表的观测值.据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.20.解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，.联立得，∴，根据抛物线的定义得，又，又，∴，∴.则此抛物线的方程为.（Ⅱ）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则.由于直线与的倾斜角互余，则，则直线的斜率为.于是直线的方程为，即，联立得，∴，则，∴，同理将换成得：，∴.则直线的方程为，即，显然当，.所以直线经过定点.21.解：（Ⅰ），∵，在上恒成立，即在上单调递减.当时，由，得；由，得；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）令，则，由于，设，，由，所以在上单调递增；由，所以在上单调递减.∴（因为），从而.则在上单调递减；在上单调递增，∴，设，，，在上递减，∴；∴，故.说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：由得到，设，，当时，；当时，.从而在上递减，在上递