贵州省顶效开发区顶兴学校高中数学必修五32一元二次不等式及34基本不等式教案8

教案一胡祖鹏一一元二次不等式及基本不等式及复习一2018年春季第7周上周反思：上周数列章末总结及不等式的初步了解，发现学生对知识记忆上到位，在运用上还需继续加强，在接下来的教学过程中不断探究，加深知识的灵活运用。§3.2一元二次不等式及其解法教学目标知识目标：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；能力目标：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；情感态度价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。教学重点从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。教学过程1.课题导入1.判断对错①；②；3.已知，，，求证：．熟练掌握一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系一元二次不等式及其解法1）一元二次不等式的定义像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；3．高次不等式要注重对重因式的处理．主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间；2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．2)解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)②计算判别式，分析不等式的解的情况：ⅰ.>0时，求根<，ⅱ.=0时，求根＝＝，ⅲ.<0时，方程无解， ③写出解集.小结：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数的值恒大于0的条件是且；若恒大于或等于0，则且若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形2忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5．解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之【题型一、求解一元二次不等式】【例1】【方法技巧】任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：（l）抛物线

（a>0）与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程=0的判别式三种取值情况(Δ>0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论（2）a<0可以转化为a>0分Δ>O，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式>0与<0的解集一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R【题型二、二次方程的根与二次函数的零点之间的关系】【例2】探究一元二次不等式的解集【方法技巧】求一元二次不等式的解集实际要先求出一元二次方程等于0时的解集，即二次函数与X轴的交点，二次方程的有两个实数根：二次函数有两个零点：于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点.【题型三、分式不等式的解法】【例3】【方法技巧】主要采用序轴标根法，但是注意分母不能为0【题型四、含参数的不等式】【例4】若不等式kx22x+1k<0对满足的所有k都成立，求x的取值范围【方法技巧】原不等式可化为设，是关于k的单调函数，根据题意有：，即用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法【题型五、解无理数不等式】【例5】解不等式：（1）【方法技巧】原不等式与不等式组，或同解，一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题问题中的第一个不等式组中可省去，问题的结果可从函数和的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式【题型六、解指数、对数不等式】【例6】解不等式【方法技巧】解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三>1,>0,,∴①当0<<1，即0<a<时，原不等式的解为; ②当a>时，解集为{x|};③当a=时，解集为R【题型七、不等式解实际问题】【例7】.某文具店购买了一批新型台灯，若按每盏灯15元的价格销售，每天能卖30盏灯，若价格每提高1元，日销售量则减少2盏，为了这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应怎样定制这批台灯的价格？【方法技巧】根据题意准确写出不等关系式1.设集合，，若，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.若不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.设一元二次不等式的解集为，则的值是（）A． B． C．D．4.不等式的解集是（） A．B．C．D．5.不等式的解集是，则（）A．B．C．D．6.不等式的解集是（）A．B．C．D．7.不等式的解集是（）A．B．C．D．8.不等式的解集为，那么（）A．，B．， C．， D．，9.设，且，则的解集是（）A．B．C．D．10.不等式的解集是______________________________．11.的解集是，则_________．12.已知不等式的解集是，则________．13.已知不等式的解集为，求、的值．14.已知集合，，求，．15.若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.课时小结进一步熟练掌握一元二次不等式的解法一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系板书设计：1.新课导入；2.讲授新课；3.例题；4.课堂练习；5.小结；6.布置作业3.4基本不等式教学目标1、知识与技能了解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。2、过程与方法通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释基本不等式。3、情感态度与价值观通过基本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用基本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。教学重、难点重点：基本不等式的推导以及其取等的条件，运用基本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。难点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度解释基本不等式。课前准备 多媒体课件的制作教学过程设计一、课题导入一、复习回顾：题目分析：除运用函数的单调性求解最值外，当时，可以利用基本不等式解题，引导出基本不等式。并强调基本不等式时三个条件“一正、二定、三相等。”基本不等式：如果,是正数，那么变形公式：解题分析：对于且积为定值，求和的最值时利用求其最小值。并加以总结：当积为定值时和有最小值。解题分析：对于且和为定值，求积的最值时利用求其最大值。并加以总结：当和为定值时积有最大值。2.最值定理：已知都是正数，①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．说明：用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。二、例题讲解、发散思维【题型1.不具备“正数”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足各项均为正值，当不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；对于本题的解法是化负为正。然后再利用基本不等式解题。【题型2.不具备“定值”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足为定值。不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；求和的最值化积为定值，求积的最值化和为定值。然后再利用基本不等式解题。【题型3.不具备“相等”的条件】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足等号成立。当不具备“相等”条件时，不能利用基本不等式解题。可以先讲解观察函数的图像求解最值。总结：等号成立时，利用基本不等式求最值。等号不成立时，利用函数单调性求最值。习题训练：求下列函数的值域:学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：对于分母为一次函数，分子为二次函数的分式函数求最值，可以结合以前所学过的分离常数法将分式函数变形为的形式，也可以利用换元法将分式函数变形为的形式，再利用基本不等式解题。学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：对于分母为二次函数，分子为常数项为0的一次函数的分式函数求最值，分子分母同除以分子；转化为分母为基本不等式形式。对于分母先利用基本不等式求解，再求其倒数。解题时一定要注意基本不等式的使用条件。【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】例4、已知x，y为正实数，且x+y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。本题小结：对于（1）已知两正数的和为定值求积的最值，直接利用基本不等式解题，并强调等号成立的条件。对于（2）中求的最小值，采用的是整体代换思想，将中的1用来代换，转化为，再利用基本不等式解题。归纳：利用基本不等式求函数值域，要注意基本不等式的三个条件:（1）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；（2）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）（3）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。2、对公式的理解师：根据前面的讨论，我们得出如下结论： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替a、b，可得通常我们把上式写作师：我们常把叫做正数a、b的几何平均数，把叫做正数a、b的算术平均数。于是我们可以这样理解我们的基本不等式：两个正数的几何平均数不小于它们的算术平均数。（稍有停顿）前面所学的知识，你还能怎样理解基本不等式？生：……师：我们发现恰好是正数a、b的等比中项，而恰好是正数a、b的等差中项，从而我们还可以这样理解：两个正数的等比中项不小于它们的等差中项。（设计意图：总结前面讨论所得的结论，并对结论进行拓展，引导学生发现几何平均数和算术平均数，注意从不同的角度解释基本不等式，加深对公式的记忆。）三，基本不等式的运用师：通过前面的学习，相信大家对基本不等式已经有了一定的了解，现在我们就一起来运用基本不等式解决一些简单的问题。例1、x>0，当x取什么值时，的值最小？最小值是多少？（展示PPT）师：请同学们先自己思考一下第一题。（停顿一分钟）师：有没有同学得出答案？生：最小值为2.师：非常好，现在我们一起来分析一下这道题，x，则是大于0的，根据基本不等式就有，取等条件为，即x=1，符合题意，所以最小值为2。请同学们看详细的解答过程（展示PPT）解答过程：解：x>0则>0，根据基本不等式有当且仅当，即x=1时，等号成立。所以当x=1时，最大值为2。（设计意图：运用基本不等式解决简单函数的最值问题，加深学生对基本不等式取等条件的记忆，同时让学生体会基本不等式的运用价值）例2、用篱笆围住一个面积为100m师：请同学们先自己做一下。（停顿一分钟）师：有没有同学做出来？生：最短篱笆为40m师：非常好，我们一起来分析一下，如果我们设矩形菜园的长为x，宽为y，那么根据题意就有xy=100，我们需要求的是2（x+y）。根据今天我们所学的基本不等式就有，也就是，从而，当时取等。请同学们看详细的解答过程（展示PPT）。解答过程：解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则xy=100，篱笆的长为2（x+y），由基本不等式可得，即当且仅当时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短篱笆为40例3、一段长为36m的篱笆围成宇哥矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积为多少？（展示PPT）师：请同学们先自己做一下。（停顿一分钟）师：请***同学起来回答一下你的答案。生：最大面积是81m2师：非常好，请坐下。我们一起来分析一下。设矩形菜园的长为x，宽为y，那么根据题意就有2（x+y）=36，即（x+y）=18，我们需要求的是xy的最大值，根据基本不等式就有，即，当时取等，请同学们看详细的解答过程（展示PPT）。解答过程：解：设矩形菜园的长为x，宽为y，则2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy，由基本不等式可得，即当且仅当时，等号成立。因此，这个矩形的长、宽都为10m时，菜园的面积最大，最大面积为81m师：做了第2、3题你有什么发现吗？生：……师：对于第2题，xy的值是一定的，而我们求得（x+y）有最小值，对于第3题，（x+y）的值是一定的，我们求得xy有最大值。再观察我们的基本不等式，可以发现，当两个正数的积一定时，和有最小值；和一定时，积有最大值。于是我们得出这样一个结论：任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。（设计意图：运用基本不等式解决实际问题，加深学生对基本不等式的理解，实现积与和的转化，培养学生的发散思维；同时使学生体会到基本不等式在实际生活中运用价值。）三、课堂小结：本节课的主要内容是用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；四、作业布置：六、板书设计主板书：1、取等条件：a=b2、取等条件：a=b3、任意两个正数，积一定，和有最小值；和一定，积有最大值。副板书：S正=4S△=2ab例1、，即x=1时取等例2、xy=100例3、2（x+y）=36即数学必修5复习知识提纲（一）解三角形：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（答：C）；（2）在中，A＞B是成立的_____条件（答：充要）；（3）在中，，则＝_____（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____（答：）；（5）在中，若其面积，则=____（答：）；（6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______（答：）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，=，的最大值为 （答：）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）．（二）数列：1.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。如设是等差数列，求证：以bn=为通项公式的数列为等差数列。（2）等差数列的通项：或。如=1\*GB3①等差数列中，，，则通项；=2\*GB3②首项为24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______；（3）等差数列的前和：，。如=1\*GB3①数列中，，，前n项和，则＝＿，＝；=2\*GB3②已知数列的前n项和，求数列的前项和.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）2.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.如等差数列中，，则＝____；(4)若是等差数列，则，…也成等差数列如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________；(6)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如=1\*GB3①等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；=2\*GB3②若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是；3.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。如=1\*GB3①一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____；=2\*GB3②数列中，=4+1()且=1，若，求证：｛｝是等比数列。（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比.（3）等比数列的前和：当时，；当时，。如等比数列中，＝2，S99=77，求；特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。4.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如=1\*GB3①在等比数列中，，公比q是整数，则=___；=2\*GB3②各项均为正数的等比数列中，若，则。(2)若是等比数列，则数列，…也是等比数列。如在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为___；(3)若，则为递增数列；若,则为递减数列；若，则为递减数列；若,则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是；5.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________；⑵已知（即）求，用作差法：。如①已知的前项和满足，求；②数列满足，求⑶已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______；⑷若求用累加法：。如已知数列满足，，则=________；⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求；②已知，求；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求；②已知数列满足=1，，求；注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求；6.数列求和的常用方法：公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.如等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____；（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如求和：（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.如已知，则＝______；（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.如设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；如=1\*GB3①求和：；=2\*GB3②在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____；（三）不等式1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（4）若，，则；若，，则。如=1\*GB3①对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；=2\*GB3②已知，，则的取值范围是______（答：）；=3\*GB3③已知，且则的取值范围是______（答：）2.不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（