黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上册期中数学检测试题（含解析）

黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知角的终边上一点，则（）A.1 B. C. D.4.已知向量，，，若，则（）A. B. C. D.5.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（）A.13 B.16 C. D.286.函数的大致图象为（）A B.C. D.7.已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（）A. B. C.1 D.38.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设单位向量满足，则下列结论正确的是（）A.B.向量的夹角为C.D.在的方向上的投影向量为10.设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（

）A.当时，函数的图象的一条对称轴为B.已知，，且的最小值为，则C.当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数D.若在区间上单调递增，则的取值范围是11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则t的最大值为2D.当时，方程有且只有两个实根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边上一点，且，则___________.13.设函数，则不等式的解集为__________.14.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；（2）讨论在上的单调性.16.已知数列中．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；17.如图，在多面体中，四边形是边长为3正方形，，，且，，面，，为中点．（1）若中点，求证：面；（2）求平面与平面夹角正弦值．18.在中，角的对边分别是，且．（1）求角；（2）已知为边上一点，且，求的长．19.已知函数，直线为曲线在点处的切线.（1）当时，求出直线的方程；（2）若，讨论的单调性，并求出的最值；（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围.黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高三上学期期中数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据根式的性质化简集合，即可根据交集的定义求解.详解】由题，得，故，进而，故选：A2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】若复数满足，则.故选：D.3.已知角终边上一点，则（）A.1 B. C. D.【正确答案】A【分析】由任意角三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结果.【详解】由三角函数定义知，，所以.故选：A.4.已知向量，，，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结果.【详解】因为，，又，所以，故.故选：B.5.函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（）A.13 B.16 C. D.28【正确答案】B【分析】由函数图像过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值.【详解】函数的图像恒过定点，点A在直线上，有，又，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16.故选：B.6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为，且，所以函数是奇函数，故排除A，且当时，，故排除C，，当时，，故排除D，满足条件的只有B.故选：B7.已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（）A. B. C.1 D.3【正确答案】A【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可.【详解】则为常数，所以为常数，知数列为等差数列，由，知，又，所以公差，故.故选：A8.记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】计算出，结合，的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求出【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，即在区间上的值域为.，令，得，解得或，画出，的图象如图所示，若，，使得成立，则需要在上的值域包含在上的值域，则，解得，即的取值范围是.故选：A关键点点睛：求出的解析式，从而确定的值域，并得到在上的值域包含在上的值域，得到不等式，求出答案二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设单位向量满足，则下列结论正确的是（）A.B.向量的夹角为C.D.在的方向上的投影向量为【正确答案】ACD【分析】将平方，可得，可判断A，B；由向量模长公式分别计算，验证C；由投影向量公式验证D.【详解】由于，又因为，所以，故，故A正确，B错误；因为，故，又，故，所以，C正确；在的方向上的投影向量为，故D正确.故选：ACD10.设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（

）A.当时，函数图象的一条对称轴为B.已知，，且的最小值为，则C.当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数D.若在区间上单调递增，则的取值范围是【正确答案】BCD【分析】根据正弦函数对称轴公式计算判断A，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D.【详解】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,即,不能取到,A错误；B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以，B正确；C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确；D选项，∵，则，若在区间上单调递增，则，解得，D正确；故选：BCD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数存在三个不同的零点B.函数既存在极大值又存在极小值C.若时，，则t的最大值为2D.当时，方程有且只有两个实根【正确答案】BCD【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，可得，令，解得或，当时，；当时，；当时，，所以函数在单调递减，在上单调递增，当，函数取得极小值；当，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象得：对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确；对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确；对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确；对于D中，若方程有且只有两个实根，即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边上一点，且，则___________.【正确答案】【分析】根据任意角的三角函数的定义求解.【详解】因为，所以，解得，又因为，所以，所以，故答案为:.13.设函数，则不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可.【详解】函数，定义域为，，函数为偶函数，当时，在上单调递增，则在上单调递减，不等式，则有，解得且，所以不等式解集为.故14.若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是___________.【正确答案】【分析】求导函数，确定函数的单调性和极值点，利用函数在区间0,1上有极值点，即可求实数的取值范围．【详解】函数的定义域为R，且．当时，f′x>0恒成立，故在当时，令，得，f′x<0解得，f′在上单调递减，在上单调递增，从而时有极小值，函数fx没有极大值．依题意有，解得，即实数的取值范围是．故．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值；（2）讨论在上的单调性.【正确答案】（1），最大值为，（2）单调增区间为，单调减区间为【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值；（2）利用整体代入法可得函数的单调区间.【小问1详解】，所以的最小正周期，当时，取最大值为，此时，，即，；【小问2详解】当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为.16.已知数列中．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由构造得，又，可证数列是等比数列；（2）利用错位相减法求数列bn的前项和.【小问1详解】由，得，即，又，有，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.【小问2详解】由（1）得，则有，，，①-②得，，即.17.如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点．（1）若是中点，求证：面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．【正确答案】（1）证明过程见解析（2）【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而证明出面面平行，即平面平面，证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值，进而得到正弦值.【小问1详解】取的中点，连接，因为是中点，为中中点，，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；【小问2详解】因为面，平面，所以，又四边形是边长为3的正方形，⊥，故，，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以四边形为矩形，其中，，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，设平面与平面夹角为，则，所以，故平面与平面夹角的正弦值为.18.在中，角的对边分别是，且．（1）求角；（2）已知为边上一点，且，求的长．【正确答案】（1）（2）1【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后结合两角和的正弦公式及特殊角的余弦值求解即可.（2）利用三角形相似得，求得，然后在中由余弦定理求解即可.【小问1详解】由正弦定理可得：，，由可得：，，，可得：，，，.【小问2详解】，与相似，满足：，设，则有，解得：（舍去），即：，，在中，由余弦定理可得：，即：，解得：（舍去），的长为1.19.已知函数，直线为曲线在点处的切线.（1）当时，求出直线的方程；（2）若，讨论的单调性，并求出的最值；（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）的最小值为，无最大值；（3）【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率，再求出切点坐标，从而可求出切线方程；（2）对求导，然后根据其正负求出函数的单调区间，则可求出函数的最小值点，从而可求出函数的最小值；（3）求出直线，将“直线与曲线y=fx相交”转化为关于的方程在有解，然后通过构造函数，对进行分类讨论，结合导数可求得结果.【小问1详解】由，得，则，因为，所以曲线y=fx在点处的切线的方程为，即；【小问2详解】，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，无最大值；【小问3详解】由，得，则，所以曲线y=fx在点处的切线的方程