2024-2025学年上海闵行中学高三上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.0;5.;6.;7.;8.;9.;10.-4；11.912.11.已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，是1为首项，公比为2的等比数列，设，则当时，的最大值是_______.【答案】9【解析】设，则当时，的最大值是________.，，，因为，，所以数列为递增数列，因为，，所以n的最大值为9二、选择题13.C14.A15.D16.C15.在中，已知，且，则的形状为（）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角为的直角三角形 D.等边三角形【答案】D【解析】因为，所以由正弦定理可得，可得又，所以，可得，又因为，所以，可得，所以的形状为等边三角形.故选:.16.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论:(1)若与均为等差数列，则中最多有1个元素;(2)若与均为等比数列，则中最多有2个元素;(3)若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素;(4)若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素.其中正确的是（）A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)【答案】C【解析】对于(1)，均为等差数列，，不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以中至多一个元素，故(1)正确;

对于(2)，令，满足均为等比数列，

但当为偶数时，，此时中有无穷多个元素，故(2)错误；

对于(3)，设，

若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，

若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，

当有偶数解，此方程即为，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因为单调性相反，

方程至多一个偶数解，

当有奇数解，此方程即为

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时，即，否则，

因为单调性相反，方程至多一个奇数解，因为不可能同时成立，若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；故不可能有4个不同的正数解，故(3)正确.

对于(4)，因为为单调递增，为递减数列，不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故(4)正确.所以正确的是：(1)(3)(4).故答案为:C.三．解答题17.（1）证，再证，所以四棱锥的体积为（2）18.（1），.（2）值域为;零点为19.（1）2个球中至少有1个红球可分为两种情况，1个红球及1个白球和2个红球，任取2个球，其中1个红球及1个白球的概率为任取2个球，2个均是红球的概率为可知A，B为互斥事件，所以从中任取2个球中至少有1个红球的概率（或用对立事件：两个均是白球来求）（2）从中任取4个球，白球个数不比红球多可分为三种情况，分别是4红球、3个红球及1个白球，2个红球2个白球它们的概率分别为所以任取4个球，白球个数不比红球多的概率为=（3）由已知可得，所以总分不少于7分的概率20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的下顶点，点为直线上一点。（1）若，线段的中点在轴上，求点的坐标;（2）已知直线交轴于点，直线经过点，若有一个内角的余弦值为，求的值;（3）若椭圆上存在点到直线的距离为，且满足，则当变化时，求的最小值.【答案】（1）（2）或.（3）【解析】（1）由题意知半焦距，又，所以2，所以.

因为点在直线上，所以可设，所以线段的中点坐标为，

又线段的中点在轴上，所以，解得，所以.

（2）设直线与轴交于点，因为直线，所以直线的斜率，则直线的倾斜角为，所以.

因为有一内角的余弦值为，所以只能是或的余弦值为.若的余弦值为，即，则，

则.其中为直线的倾斜角.

因为，所以，

所以，即，解得.

若的余弦值为，则，即，因为是锐角，所以，即，即，解得.综上，或.（3）因为点在椭圆上，所以.因为半焦距，所以.

因为，所以，因为且，所以.

设，则点到直线的距离，所以其中，因为，所以，所以即，解得，又，所以，则，且，所以当时，取得最小值，最小值为.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的"相关点".（1）若函数存在"相关点"，求的值;（2）若函数(常数)存在"1相关点"，求的值;（3）设函数且，若函数有两个不相等且均不为零的"2相关点"，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因为在处取得极值（最值），

由，解得，

（2）记，在处取得极值且，

由得，所以且，所以，

由，得，设，所以，

所以函数在区间上严格单调递增，

又，所以方程有唯一实数根，即解得，

当时，，令，得或(舍去)，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，满足题意，综上所述，的值为1.

（3）由得，所以，设为函数的"2相关点"，则且，.则且，所以且，解得，由，

设