专题33圆与新定义综合问题 （原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题33圆与新定义综合问题

【例1】（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，

点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．

（1）已知点A（1，2），求点A的“关联三角形”的面积；

（2）如图，已知点B（m，m），T的圆心为T（2，2），半径为2．若点B的“关联三角形”与T有公共

点，直接写出m的取值范围；⊙⊙

（3）已知O的半径为r，OP＝2r，若点P的“关联三角形”与O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取

值范围．⊙⊙

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【例2】2022•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在

O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′⊙B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′

⊙B′上所有的点都在O的内部或O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到O的“平移距离”．

（1）如图1，点A1，⊙B1的坐标分⊙别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到O的“平⊙移距离”为，

点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到O的“平⊙移距离”为；

⊙

（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到O的“平移距离”为d，求d的最小值；

（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到O的⊙“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点

B形成的图形（不需证明）．⊙

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【例3】（2022•开福区校级一模）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”．

（1）下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是；（填序号）

①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三角形．

（2）如图1，△ABC是O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且BD＝2AD，作DE⊥OA，交线

段OA于点F，交O于⊙点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果

是，请给出证明，⊙并求出的值；如果不是，请说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求∠BED的余弦值．

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【例4】（2022•清苑区二模）【问题提出】

如图1，O与直线a相离，过圆心O作直线a的垂线，垂足为H，且交O于P、Q两点（Q在P、H之间）．我

们把点P⊙称为O关于直线a的“远点”，把PQ•PH的值称为O关于⊙直线a的“远望数”．

（1）如图2，⊙在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）⊙，过点E画垂直于y轴的直线m，则半径为1

的O关于直线m的“远点”坐标是，直线m向下平移个单位长度后与O相切．

（⊙2）在（1）的条件下求O关于直线m的“远望数”．⊙

【拓展应用】⊙

（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（6，0），与y轴交于点N，点F坐标为（1，2），

以F为圆心，OF为半径作F．若F与直线l相离，O是F关于直线l的“远点”．且F关于直线l的“远

望数”是12，求直线l⊙的函数表⊙达式．⊙⊙

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一．解答题（共20题）

1．（2022•长沙县校级三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三

角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如：如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中

线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“优美三角形”．

（1）如图2，在△ABC中，BC＝AB，求证：△ABC为关于边BC的“优美三角形”；

（2）如图3，已知△ABC为关于边BC的“优美三角形”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的O

恰好经过点A．⊙

①求证：直线CA与O相切；

②若O的直径为2⊙，求线段AB的长；

（3）⊙已知三角形ABC为关于边BC的“优美三角形”，BC＝4，∠B＝30°，求△ABC的面积．

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2．（2022•西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2．若存在

一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限

斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．

例：若P（1，0），Q（3，），有|0﹣|＝|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．

已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，）．

（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：，它们的“限斜系数”为；

（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均

为1．求点E的坐标；

（3）O半径为3，点M为O上一点，满足MT＝1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k

（T，⊙C）≥1，直接写出点M⊙的横坐标xM的取值范围．

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3．（2022•常州一模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为

图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“图距离“，

记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．

（1）d（点O，△ABC）；

（2）线段L是直线y＝x（﹣2≤x≤2）上的一部分，若d（L，△ABC）＝1，且L的长度最长时，求线段L

两个端点的横坐标；

（3）T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（T，△ABC）＝1，直接写出t的取值范围．

⊙⊙

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4．（2022•秦淮区二模）【概念认识】

与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点

都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．

【初步理解】

（1）如图①～③，四边形ABCD是矩形，O1和O2都与边AD相切，O2与边AB相切，O1和O3

都经过点B，O3经过点D，3个圆都经过点⊙C．在⊙这3个圆中，是矩形A⊙BCD的第Ⅰ类圆的是⊙⊙，

是矩形ABCD⊙的第Ⅱ类圆的是．

【计算求解】

（2）已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．

【深入研究】

（3）如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）

①作它的1个第Ⅰ类圆；

②作它的1个第Ⅱ类圆．

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5．（2022•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，A为任意一点，B为O上任意一点．给出

如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（⊙规定：点A在O上时，p＝0），最大⊙值为q，那么把的

⊙

值称为点A与O的“关联距离”，记作d（A，O）．

（1）如图，点⊙D，E，F的横、纵坐标都是整数．⊙

①d（D，O）＝；

②若点M⊙在线段EF上，求d（M，O）的取值范围；

（2）若点N在直线y＝上⊙，直接写出d（N，O）的取值范围；

（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时⊙，满足d（P，O）的最小值为1，最大值为，

直接写出m的最小值和最大值．⊙

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6．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A

和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A⊙顺时针旋转，直线MN与O有两个交点时，则称MN是

O的“双关联直线”，与O有一个交点P时，则称MN是O的“单关联⊙直线”，AP是O的“单关联线

⊙段”．⊙⊙⊙

（1）如图1，A（0，4），当MN与y轴重合时，设MN与O交于C，D两点．则MN是O的“关

联直线”（填“双”或“单”）；的值为；⊙⊙

（2）如图2，点A为直线y＝﹣3x+4上一动点，AP是O的“单关联线段”．

①求OA的最小值；⊙

②直接写出△APO面积的最小值．

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7．（2022•宁波模拟）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角

形的切圆，相切的边称为这个圆的切边．

（1）如图1，△ABC中，AB＝CB，∠A＝30°，点O在AC边上，以OC为半径的O恰好经过点B，求证：

O是△ABC的切圆．⊙

⊙（2）如图2，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC的切圆，且另外两条边都是O的切边，求O

的半径．⊙⊙⊙

（3）如图3，△ABC中，以AB为直径的O恰好是△ABC的切圆，AC是O的切边，O与BC交于点F，

取弧BF的中点D，连接AD交BC于点E⊙，过点E作EH⊥AB于点H，若⊙CF＝8，BF＝⊙10，求AC和EH的

长．

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8．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y＝kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相

交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．

（1）如图1，O的半径为1，当k＝1，b＝1时，直接写出直线l关于O的“圆截距”；

（2）点M的坐⊙标为（1，0），⊙

①如图2，若M的半径为1，当b＝1时，直线l关于M的“圆截距”小于，求k的取值范围；

⊙⊙

②如图3，若M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于M的“圆截距”的最小值2，

直接写出b的值⊙．⊙

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9．（2022•鄞州区校级一模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的

运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相

垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．

（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是（填序号）；

①矩形②菱形③正方形

（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四

边形ABCD为“婆氏四边形”；

（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．

①当DC＝2时，求AC的长度；

②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．

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10．（2022•城关区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．

（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是，C的半径是；

②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点⊙”的坐标；如果没有，请说明理由；

（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为．

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11．（2021•常州一模）在平面直角坐标系xOy中，O的半径是，A，B为O外两点，AB＝2．给出如

下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′⊙成为O的弦（点A′，B′⊙分别为点A，B的对应点），线段

AA′长度的最小值成为线段AB到O的“优距离”．⊙

⊙

（1）如图1，O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，

P3，P4中，连⊙接点A与点的线段长度等于线段AB到O的“优距离”；

（2）若点A（0，7），B（2，5），线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为；

（3）如图2，若A，B是直线y＝﹣x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是；

请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字⊙母．

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12．（2022秋•姜堰区期中）如图1，在平面内，过T外一点P画它的两条切线，切点分别为M、N，若∠MPN

≥90°，则称点P为T的“限角点”．⊙

⊙

（1）在平面直角坐标系xOy中，当O半径为1时，在①P1（1，0），②，③P3（﹣1，﹣1），

⊙

④P4（2，﹣1）中，O的“限角点”是；（填写序号）

（2）如图2，A的半⊙径为，圆心为（0，2），直线l：y＝﹣x+b交坐标轴于点B、C，若直线l上有且

⊙

只有一个O的“限角点”，求b的值．

（3）如图⊙3，E（2，3）、F（1，2）、G（3，2），D的半径为，圆心D从原点O出发，以个单位/s

的速度沿直线l：y＝x向上运动，若△EFG三边上存⊙在D的“限角点”，请直接写出运动的时间t（s）的取

值范围．⊙

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13．（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将

点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图1，若点M在坐标原点，点N（1，1），①点P（﹣2，0）的“对应点”Q的坐标为；②

若点P的“对应点”Q的坐标为（﹣1，3），则点P的坐标为；

（2）如图2，已知O的半径为1，M是O上一点，点N（0，2），若P（m，0）（m＞1）为O外一点，

点Q为点P的“对⊙应点”，连接PQ．①当⊙点M（a，b）在第一象限时，求点Q的坐标（用含⊙a，b，m的式

子表示）；②当点M在O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.（用含m的式子表

示）⊙

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14．（2022秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知O的半径为2，对于点P，直线l和O，给

出如下定义：⊙⊙

若点P关于直线l对称的点在O上或O的内部，则称点P为O关于l的反射点．

⊙⊙⊙

（1）已知直线l为x＝3，

①在点P1（4，0），P2（4，1），P3（5，1）中，是O关于l的反射点有；

②若点P为x轴上的动点，且点P为O关于l的反⊙射点，则点P的横坐标的最大值为．

（2）已知直线l的解析式为y＝kx+2（⊙k≠0），

①当k＝﹣1时，若点P为直线x＝上的动点，且点P为O关于l的反射点，则点P的纵坐标t的取值范

围是；⊙

②点B（2，2），C（，1），若线段BC的任意一点都为O关于l的反射点，则k的取值范围是．

⊙

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15．（2022•钟楼区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A（0，1），B（﹣1，0），

C（0，﹣1），D（1，0）．对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意

一点，如果P，Q两点间

的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d（M）．

已知点E（3，0）．

①直接写出d（点E）的值；

②过点E画直线y＝kx﹣3k与y轴交于点F，当d（线段EF）取最小值时，求k的取值范围；

③设T是直线y＝﹣x+3上的一点，以T为圆心，长为半径作T．若d（T）满足d（T）＞+，

⊙⊙⊙

直接写出圆心T的横坐标x的取值范围．

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16．（2021秋•慈溪市期中）如图1，在O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦

BA，CA，DA构成的图形称为圆中的⊙“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．

（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC．①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：

AD+CD＝BD．

（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足

怎样的数量关系，请直接写出结果．

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17．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P

关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P⊙′，满足CP+CP′＝2r，则称P′为点P关于C

的反称⊙点，如图为点P及其关于C的反称点P′的示意图．⊙

（1）当O的半径为1时，⊙

①分别判⊙断点M（3，1），N（，0），T（﹣1，）关于O的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；

⊙

②将O沿x轴水平向右平移1个单位为O′，点P在直线y＝﹣x+1上，若点P关于O′的反称点P′

存在，⊙且点P′不在坐标轴上，则点P的横⊙坐标的取值范围；⊙

（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+12与x轴，y轴分别交于点A、B，点E与点D分别在点

A与点⊙B的右侧2个单位，线段AE、线段BD都是水平的，若四边形ABDE四边上存在点P，使得点P关于

C的反称点P′在C的内部，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

⊙⊙

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18．（2021•建邺区二模）【概念学习】

在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，若O平移d个单位后，使某图形上所有点在O内或O上，

则称d的最小值为O对该图⊙形的“最近覆盖距⊙离”．例如，如图①，A（3，0），B（4，0⊙），则O⊙对线段

AB的“最近覆盖距⊙离”为3．⊙

【概念理解】

（1）O对点（3，4）的“最近覆盖距离”为．

（2）如⊙图②，点P是函数y＝2x+4图象上一点，且O对点P的“最近覆