2024-2025学年高中数学第一章计数原理课时作业11.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理含解析北师大版选修2-3

第一章计数原理课时作业1分类加法计数原理和分步乘法计数原理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班．某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为(A)A．13B．16C．24D．48解析：依据分类加法计数原理知，他共有不同的走法数为8＋3＋2＝13.故选A.2．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取1个球，不同取法的种数为(C)A．182B．14C．48D．91解析：依据分步乘法计数原理得，不同取法的种数为6×8＝48，故选C.3．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成(D)A．7队B．8队C．15队D．63队解析：由分步乘法计数原理，可知共组成7×9＝63(队)．4．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上．其中黄瓜必需种植，不同的种植方法有(B)A．24种B．18种C．12种D．6种解析：解法一：第一步，选出3种蔬菜，由于黄瓜必选，所以选法有3种；其次步，将选出的3种蔬菜种植在3块土地上，种法有3×2×1＝6(种)，所以共有种植方法3×6＝18(种)，所以选择B.解法二：特别元素优先考虑，由于黄瓜必需种植，所以整个种植过程分两步进行．第一步，种黄瓜，有3种方法；其次步，从白菜、油菜、扁豆中选两种种植在剩下的两块土地上，有3×2＝6(种)．所以共有种植方法3×6＝18(种)，所以选择B.解法三：解除法：先计算从4种蔬菜中选3种种在3块不同的土地上，有4×3×2＝24(种)方法；再计算从除黄瓜外3种蔬菜种在3块不同的土地上有3×2×1＝6(种)方法．所以，黄瓜必种的方法有24－6＝18(种)方法．5．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A．8B．24C．48D．120解析：要完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，需分以下4步：第一步：确定个位数字，可以从2和4中选1个，有2种选法．其次步：确定十位数字，可以从余下的4个数字中任取1个，有4种选法．第三步：确定百位数字，可以从余下的3个数字中任取1个，有3种选法．第四步：确定千位数字，可以从余下的2个数字中任取1个，有2种选法．依据乘法原理，符合题意的四位偶数共有2×4×3×2＝48个．故选C.6.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路途不重复，则不同的参观路途种类共有(D)A．6种 B．8种C．36种 D．48种解析：参观路途分步完成：第一步选择三个“环形”路途中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；其次步选择余下两个“环形”路途中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最终一个“环形”路途，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．7．如下图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为“L”型(每次旋转90°仍为“L”型图案)，那么在由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的“L”型图案的个数是(C)A．16B．32C．48D．64解析：每4个小方格(“2×2”型)中有“L”型图案4个，题中方格纸共有“2×2”型小方格12个，所以共有“L”型图案4×12＝48个．8．有4位老师在同一年级的4个班中各教1个班的数学．在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则监考的方法有(B)A．8种B．9种C．10种D．11种解析：设4位监考老师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下3人监考剩下的3个班，共有3种不同方法．同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，监考的方法共有3＋3＋3＝9(种)．二、填空题9．5位同学报名参与两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则报名方法共有32种．解析：本题关键在于弄清晰要完成的事情是什么，在这里是5位同学(设为甲、乙、丙、丁、戊)报名参与两个课外活动小组，因而完成这件事须要分5步：第一步：甲同学报名参与课外活动小组，有2种报名方法．其次步：乙同学报名参与课外活动小组，有2种报名方法．……第五步：戊同学报名参与课外活动小组，有2种报名方法．依据乘法原理，满意条件的报名方法共有2×2×2×2×2＝32(种)．10．五个工程队承建某工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有96种．解析：分5步．第1步：甲工程队选一个子项目，有4种选法；第2步：乙工程队选一个子项目．有4种选法；第3步：丙工程队选一个子项目，有3种选法；第4步：丁工程队选一个子项目，有2种选法；第5步：戊工程队选一个子项目，有1种选法．由分步乘法计数原理，共有4×4×3×2×1＝96种不同的承建方案．11．如下图，从A→C，有6种不同的走法(假设不能由B到A)．解析：从A→C共分两类，第一类不过B点，有2种方法．其次类过B点，有4种方法．由分类加法计数原理得共有2＋4＝6种方法．三、解答题12．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，其中a，b∈{1,2,3,4,5}．(1)求满意条件的椭圆的个数；(2)假如椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的个数．解：(1)由椭圆的标准方程知a≠b，要确定一个椭圆，只要把a，b一一确定下来这个椭圆就确定了．∴要确定一个椭圆共分两步：第一步确定a，有5种方法；其次步确定b，有4种方法，共有5×4＝20个椭圆．(2)要使焦点在x轴上，必需a>b，故可以分类：a＝2,3,4,5时，b的取值列表如下：a2345b11,21,2,31,2,3,4故共有1＋2＋3＋4＝10个椭圆．13．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的布置方法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的布置方法？(3)从这些画中任选两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的布置方法？解：(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的方法；从油画中选，有2种不同的方法；从水彩画中选，有7种不同的方法．依据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14(种)不同的方法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，依据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的布置方法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法．其次类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的布置方法．——实力提升类——14．如下图所示，在A，B之间有4个焊接点，分别为1,2,3,4.若焊接点脱落，则可能导致线路不通．若A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同状况有13种．解析：每个焊接点都有脱落与未脱落两种状况，A，B之间线路不通可能是1个或多个焊接点脱落，若以此进行分类，则问题比较困难．但是A，B之间线路通的状况只有3种，即焊接点1,4未脱落且焊接点2和3中至少有一个未脱落，因为每个焊接点只有脱落与未脱落两种状况，故A，B之间线路不通时，焊接点脱落的不同状况共有24－3＝13种．15．有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参与．(1)若只需一人参与，有多少种不同方法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参与，有多少种不同选法？(3)若需一名老师，一名学生参与，有多少种不同选法？解：(1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．依据分类加法计数原理，共有3＋8＋5＝16(种)选法．(2)分三步