2024-2025学年云南省文山壮族苗族自治州高二上学期期末数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年云南省文山壮族苗族自治州高二上学期期末数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A．-1 B．1 C． D．3．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（）A． B．2 C．4 D．5．若双曲线的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．6．已知在上满足，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（）A． B． C． D．8．已知点O0,0，点满足，则点到直线的距离的最大值为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（）

A．这五个社团的总人数为100B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C．这五个社团总人数占该校学生人数的5%D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%10．已知圆，，则下列说法正确的是（）A．当时，圆与圆有2条公切线B．当时，是圆与圆的一条公切线C．当时，圆与圆相离D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为11．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条B．以为直径的圆与相切C．设，则D．若，则的面积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是.13．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则.14．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.四、解答题（本大题共5小题）15．在锐角中，，，分别是角所对的边，已知.(1)求的值；(2)若，求的面积.16．已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．(1)求直线的方程；(2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．17．已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)设函数，若存在最小值-8，求实数的值.18．如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离.19．已知椭圆C:x2a2+(1)求的方程；(2)过左焦点的直线交于、两点，点在上.（i）若的重心为坐标原点，求直线的方程；（ii）若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围.

答案1．【正确答案】C【详解】由，可得，即，因，则.故选：C.2．【正确答案】D【详解】因为，所以，所以，.故选：D.3．【正确答案】C【详解】由化为标准方程得，开口向上，则，即，所以的焦点坐标是.故选：C.4．【正确答案】A【详解】由可得，即，解得.故选：A5．【正确答案】B【详解】根据题意可知，即可得，且，即；因此可得，可得；再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为.故选：B6．【正确答案】B【详解】由在上满足可得在上单调递减；所以需满足，解得；即实数的取值范围为.故选：B7．【正确答案】C【详解】设，由长方体的体积为16可得：，即，长方体外接球的半径为，所以，当且仅当“”时取等，所以，当，长方体外接球表面积的最小值为.故选：C.8．【正确答案】B【详解】

如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，又直线经过定点，由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）.故选：B.9．【正确答案】BD【详解】对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为，所以这五个社团的总人数为人，即A错误；对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为，因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，即B正确；对于C，该校共有2000名，所以这五个社团总人数占该校学生人数的，即C错误；对于D，由选项B易知脱口秀社团共有人，舞蹈社团共有人，两社团共有人，所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，即D正确.故选：BD10．【正确答案】BC【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径；故两圆圆心距为，对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误；对于B，当时，是圆的切线，又圆心到的距离为，即圆与相切，所以是圆与圆的一条公切线，即B正确；对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确；对于D，当时，，此时圆与圆相交，将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误.故选：BC11．【正确答案】ACD【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有；当直线斜率存在时，可设直线方程为，当直线与抛物线有且仅有一个公共点，联立整理可得，所以；解得，所以切线方程为，综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确；对于B，如下图所示：设点在上的射影为，取的中点为，的中点为，由抛物线定义可知，在梯形中，有，所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误；对于C，易知F1,0，由抛物线定义可知，所以，当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确；对于D，设的方程为，联立整理可得，可得，因此；可得，因此，又可得，解得；易知到直线的距离为，所以的面积为，即D正确.故选：ACD12．【正确答案】（答案不唯一）【详解】易知，可设平面的一个法向量为，可得，令，可得；所以；因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线，所以直线的一个方向向量的坐标可以是.故（答案不唯一）13．【正确答案】【详解】函数的图象向右平移个单位以后可得；即为奇函数，因此可得，即；又，可知当时，符合题意.故14．【正确答案】【详解】由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即可得，因此离心率为；设双曲线的方程为，将代入计算可得，解得；所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.故；；15．【正确答案】(1)2(2)4【详解】（1）由可得，又，所以，即；可得，可得，由锐角可知，可知，因此，整理可得，所以，即；（2）由（1）中，利用正弦定理可得；因为，所以，可知.16．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由，解得，即，显然轴，，点在轴上方，则，所以直线的方程为，即.（2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1，因此线段的中垂线方程为，即，由，解得，于是所求圆的圆心为，半径，所以所求圆的标准方程为.

17．【正确答案】(1)最小值为，最大值为8(2)【详解】（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，上单调递增，所以，，所以在上的最小值为，最大值为8.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴.当，即时，，在上单调递增，则当时，，解得，不满足题意；当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以时，，解得或（舍去），综上，实数的值为.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)(3)【详解】（1）由底面，可得以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：可得,；则，，设平面的一个法向量为m=x,y,z则，令，可得，即，因为，可得，且平面，所以平面（2）设平面的一个法向量为，则则，解得，令，可得，即，所以因此平面与平面夹角的余弦值为；