2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年陕西省榆林市高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．已知等差数列中，，则等于（）A．13 B．16 C．15 D．143．若直线与平行，则与之间的距离是（）A． B． C． D．4．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（）A．项 B．项 C．k项 D．1项5．谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（

）A． B．C． D．6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A． B． C． D．7．已知等差数列的前n项和分别为，若，则（）A． B． C． D．8．已知双曲线，两焦点分别为，过右焦点作直线l交右支于A，B点，且，若，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线C的说法正确的是（）A．实轴长为6 B．虚轴长为2C．焦距为 D．离心率为10．下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为11．已知数列，下列结论正确的有（）A．若，则B．若则数列是等比数列C．若，则D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．数列中的前n项和，则的通项公式为．13．已知椭圆的方程为，若点P为椭圆上的点，且，则的面积为．14．已知实数满足，则的最小值为，四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列满足，且成等比数列，(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.16．已知数列满足．(1)证明：数列是等比数列：(2)求数列的前n项和．17．已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点，当时，．(1)求抛物线E的方程；(2)证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）．18．已知数列的前n项和为，满足．(1)求的通项公式：(2)若，求数列的前n项和．19．已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线．

答案1．【正确答案】C【详解】根据得，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以，即，所以焦点坐标为，故选：C.2．【正确答案】D【详解】由得，，故，∴.故选：D.3．【正确答案】B【详解】∵，∴，解得，∵直线可化为，∴与之间的距离为.故选：B.4．【正确答案】B【详解】当时，不等式左边为，当时，不等式左边为，故增加的项数为.故选：B.5．【正确答案】C【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：.故选：C6．【正确答案】D【详解】因为抛物线的焦点，又双曲线的渐近线方程为，所以焦点到双曲线渐近线的距离为.故选：D．7．【正确答案】C【详解】由等差数列性质得，，由得，.故选：C.8．【正确答案】A【详解】令，由，得，，

由双曲线定义，，在中，，由余弦定理，得，整理得，解得，则，，在中，由余弦定理，得，整理得，则.故选：A9．【正确答案】ABD【详解】由题意得，，实轴长为，虚轴长为，由实轴长是虚轴长的3倍得，选项A，B正确.由得，，故，焦距为，选项C错误.离心率，选项D正确.故选：ABD.10．【正确答案】BC【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足，由直线与直线互相垂直，可得，解得或，，则必要性不满足，所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误；对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足，由直线与直线互相平行可得，解得，则必要性满足，所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；对于C，设直线的倾斜角，则，又，所以，故C正确；对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为；若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上的截距为，所以直线方程为，即；所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误；故选：BC11．【正确答案】AC【详解】A.由得，，∴，选项A正确.B.由得，，，∵，∴数列不是等比数列，选项B错误.C.由得，，且，∴数列是以2为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴，选项C正确.D.由得，，即，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴，∴，选项D错误.故选：AC.12．【正确答案】【详解】因为①，当时，，当时，②，①-②得，经检验，当时，不成立，所以.故答案为.13．【正确答案】【详解】由题意得，，故，根据椭圆的定义得.在中，由余弦定理得，即，可得，∴的面积为.故答案为.14．【正确答案】【详解】由得，，方程表示以为圆心，为半径的圆.表示点与圆上一点连线的斜率，如图，当直线与圆相切于点时，取最小值，设的方程为：，即，根据圆心到直线的距离等于半径得，，整理得，解得或（舍），故的最小值为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)最小值为,【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式；（2）求出，求出最小值及的值.【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则，成等比数列，所以，即，解得，又，所以的通项公式为；（2）由(1)得，所以当时，取得最小值，最小值为16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）∵，∴，即，且，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）得，，∴，∴.17．【正确答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）抛物线的焦点，依题意，直线的斜率不为0，设直线，，由消去得：，显然，，，，当时，，于是，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）可知，，则，因此对任意的实数，为定值，所以无论θ如何变化，是定值.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，解得，当时，，则，化简得，所以是以首项为，公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，则，①，②，①②得，所以.19．【正确答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）依题意，，设，由，得，则，即，而，因此