黑龙江省哈尔滨市道里区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷

黑龙江省哈尔滨市道里区2023-2024学年八年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（每题3分，共30分）1．一种细菌的半径是0.A．12×10−6 B．0.12×10−42．下列运算正确的是（）A．(a2)3=a5 B．3．下列所给的汽车标志中，不是轴对称图形是（）A． B．C． D．4．下列选项中的代数式，是分式的为（）.A．x3 B．32 C．5x+35．点(2，5A．(−2，5) B．(−2，−5) C．6．已知2m=a，2n=b，m，A．a+b B．ab C．2ab D．a7．若4x2+kx+1A．±4 B．4 C．±2 D．28．下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）.A．13 B．147 C．25a D．9．点A，B的坐标分别为（1，3），(5，1），点P在x轴上，PA+PB的值最小时，点P的坐标为（）．A．(1，0) B．(3，10．如图，△ABC，AB=AC，点A在DE上，∠BEA=∠BAC=∠ADC=90°，∠BEA的平分线交AB于M，交BC于P，连接PD交AC于点N，以下四个结论：①ED=EB+CD；②BP=PC；③四边形AMPN的面积是△ABC面积的一半；④AD⋅AM=AN⋅AE．一定正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共30分）11．若2x−3有意义，则实数x的范围是．12．分式1m+3有意义，则字母m满足的条件是13．计算75−12的结果是14．把多项式2x2−215．上午8时，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，当日10时到达海岛B处，从A望灯塔C在北偏西42°方向，从B望灯塔C在北偏西84°方向，则海岛B到灯塔C的距离为海里．16．观察下列算式：①1×3−22=−1；②2×4−32=−1；③17．如图，点D在△ABC的边BC上，AC=AB=BD，AD=CD，则∠BAC为度．18．1261年，我国南宋数学家杨辉用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们把这个三角形称为“杨辉三角形”，根据图中各式的规律，(a+b)619．已知y=(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，……，202420．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“方差优数”，例如12=42−22三、解答题（60分）21．（1）计算2−1（2）运用乘法公式计算104×96．22．计算（1）4x（2）(y+1)2（3）8a（4）x2（5）(410（6）8+(23．点D为△ABC的边BC上一点，连接AD，点E在△ABC外，连接AE，DE，AE=AD，CE=BD．（1）如图1，若∠DAE+∠DCE=180°，请你判定△ABC的形状并证明；（2）如图2，若∠ADE=∠ACB=60°，请你判定△ABC的形状并证明．24．若关于x的分式方程1x−2+3=3−k25．在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元预计今年的销量是去年的4倍，今年销售额为360万元已知去年的年销售额为60万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？26．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14（1）在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=12，利用上面公式①求△ABC的面积；（2）求证：p(27．如图，点C为AB上一动点，以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACD与等腰直角三角形CBE，连接DE，点F在DE上，连接CF，FD=FC．（1）求证：点F为DE的中点；（2）过点F作AB的垂线，点G为垂足，求FGAB（3）若AB=12，△ACD与△CEB的面积和为S，求S的最小值．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：0.000012用科学计数表示为：1.2×10-5，

故答案为：C.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、(a2)3=a6，选项错误，故不符合题意；

B、2a−2=2a2，选项错误，故不符合题意；

C、a6÷a2=a4，选项错误，故不符合题意；

D、(ab2)2=a2b4，选项正确，故符合题意；

故答案为：D。

【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、积的乘方以及负指数幂等相关知识点.

同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(am3．【答案】B【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；

故选项A、C、D均是轴对称图形，故不符合题意；

故选项B不是轴对称图形，故符合题意；

故答案为：B。

【分析】本题考轴对称图形等知识点。如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.4．【答案】C【解析】【解答】解：A、x3，是分子中含有字母，不符合定义要求，故不符合题意；

B、32，分子与分母均不含有字母，不符合定义要求，故不符合题意；

C、5x+3，分母均含有字母，符合定义，故符合题意；

D、1a，a，不是整式，属于根式，不符合定义，故不符合题意；

故答案为：C.5．【答案】C【解析】【解答】解：点(2，5)关于x轴对称，其中横坐标不变，纵坐标变为相反数，所以对称点坐标为（2，-5）；

故答案为：C.

【分析】本题考查的是关于坐标轴对称的点的坐标特征。

与x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，如P(a，b)对称后P'(a，-b)6．【答案】B【解析】【解答】解：因为2m=a，2n=b，所以2m+n为同底数幂的乘法，所以2m+n=2m×2n=ab，

故答案为：B。7．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，可知4x2+kx+1是一个完全平方式，已知二次项系数和常数项分别为4和1，则对应的完全平方公式为：(2x+1)2=4x2+4x+1或（2x-1）2=4x2-4x+1，所以常数k的值为：±4；

两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。(a+b)²=a²+2ab+b²两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。(a-b)²=a²-2ab+b²8．【答案】D【解析】【解答】解：A、13，根据最简根式的定义及判断，分母中不能含有根号，还可以进一步化简，最简根式应为33，故不符合题意；

B、147可以进一步进行化简，147=3×49=73，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；

C、25a，可以进一步化简，25a=5a，根据最简根式的定义及判断，故不符合题意；如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式.判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.9．【答案】C【解析】【解答】解：∵点A(1，3)，

∴点A关于x轴的对称点A'的坐标为(1，-3)，

设直线A'B的解析式为y=kx+b，

把点A'(1，-3)，B（5，1）代入，

得k+b=-35k+b=1

解得k=1b=-4，

∴直线A'B的解析式为y=x-4，

令y=x-4中的y=0，得x=4，

∴P（4，0）.

故答案为：C.10．【答案】D【解析】【解答】解：①∵∠EAB+∠BAC+∠CAD=180°，

∴∠EAB+∠CAD=90°，

又∵∠DCA+∠ADC+∠CAD=180°，

∴∠DCA+∠CAD=90°，

∴∠DCA=∠EAB，

在△ABE和△ADC中，

∵∠BEA=∠ADC，

∠DCA=∠EAB，

AB=AC，

∴△ABE≅△ADC（AAS），

∴AD=EB，AE=DC，

∴ED=EA+AD=EB+CD，故①正确；

②延长DC和EP交于点F，如图所示，

∵EP平分∠AEB，

∴∠DEF=∠BEP=45°，

∵∠EDF=90°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，∠F=45°，

即CD+CF=AE+AD，

∵AE=CD，

∴CF=AD，

∵AD=EB，

∴CF=EB，

在△PBE和△PCF中，

∵∠PEB=∠F=45°，

∠BPE=∠CPF，

BE=CF

∴△PBE≌△PCF(AAS)，

∴BP=PC，PE=PF，故②正确；

③延长EP、DC交于点F，连接AP，如图所示：

由②知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，△DEF是等腰直角三角形，点P是EF的中点，

∴AP⊥BC，AP=BP=CP，DP⊥EF，∠PAN=∠PBM=45°，

∴∠BPM+∠APM=∠APN+∠APM=90°，

∴∠BPM=∠APN，

在△PBM和△PAN中，

∠PBM=∠PAN，

PB=PA，

∠BPM=∠APN，

∴△PBM≌△PAN(ASA)，

S△PBM=S△PAN，

∵S△APB=12S△ABC，

又∵S四边形AMPN=S△APN+S△APM，S△APB=S△APM+S△BPM，

∴S△APB=S四边形AMPN

∴S四边形AMPN=12S△ABC，故③正确；

④如图，过点A作AG⊥EP于G，过点B作BH⊥EP于H，

∵△AEG和△BEH均为等腰直角三角形，

∴AG=22AE，BH=22BE=22AD，

∵∠HMB=∠AMG，∠BHM=∠AGM，

∴△AMG~△BMH，

∴AGBH=AMBM

又∵S∆AEMS∆BEM=AGBH=AMBM，

∵S∆AEMS∆BEM=12×EM×22AE12×EM×22AD=AMBM

∴AEAD=AMBM，

在△BEM和△ADN中，

∠EBM=∠DAN，

BE=AD，

∠BEM=∠ADN，

∴△BEM≌△ADN(ASA)，

∴BM=AN，

11．【答案】x≥【解析】【解答】解：因为如果2x−3有意义，则需要满足二次根式的条件是，被开放数必须为非负数，即：2x-3≥0，解得：x≥32，

故答案为：x≥312．【答案】m≠−3【解析】【解答】解：如果分式1m+3有意义，则分母必不为0，所以m+3≠0，解得：m≠-3；

故答案为：m≠−3。

13．【答案】3【解析】【解答】解：75化简75=25×3=53，12化简12=4×3=23，所以75−14．【答案】2(x+1)(x−1)【解析】【解答】解：2x2−2=2（x2-1）=2(x+1)(x−1)，

故答案为：2(x+1)(x−1)。

【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）.15．【答案】40【解析】【解答】解：示意图如图所示

根据题意可知，从8时到10时，正北行驶了2个小时，则船行驶的距离为20×2=40海里，从B望灯塔C在北偏西84°，所以∠CBD=84°，从A望灯塔C在北偏西42°方向，可知∠CAB=42°，因为三角形一个内角的补角等于另外两个内角之和可知，∠CBD=∠CAB+∠BCA，解得：∠BCA=42°，所以∆ABC是等腰三角形，所以AB=AC=40海里；

故答案为：40海里。

【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，以及补角的计算.

一个内角+补角=180度；

等腰三角形判定方式：

判定定理：在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.

除了以上两种基本方法以外，还有如下判定的方式：

1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。

3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。显然，以上三条定理是“三线合一”的逆定理。

4、有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形.16．【答案】n（n＋2）−（n＋1）2＝−1【解析】【解答】解：∵①1×3−22＝−1；②2×4−32＝−1；③3×5−42＝−1；…，∴把这个规律用含字母n（n为正整数）的式子表示出来是：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．故答案为：n（n＋2）−（n＋1）2＝−1．

【分析】根据题干中的数据可得规律n（n＋2）−（n＋1）2＝−1，从而得解。17．【答案】108【解析】【解答】解：∵AC=AB=BD，

∴∠ABC=∠ACD，∠BAD=∠BDA，

∵​​​​​AD=CD，

∴∠DAC=∠ACD，

∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC，

∴∠BAD=∠ADB=2∠DAC，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=3∠DAC=3∠ACD，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACD=180°，

∴5∠ACD=180°，

∴∠ACD=36°，

∴∠BAC=108°；

故答案为：108.

【分析】由等边对等角得∠ABC=∠ACD，∠BAD=∠BDA，∠DAC=∠ACD，由三角形外角性质得∠BAD=∠ADB=2∠DAC，则∠BAC=3∠ACD，△ABC中，根据三角形内角和定理建立方程可算出∠ACD的度数，从而即可得出∠BAC的度数.18．【答案】64【解析】【解答】解：根据题意可知，探索杨辉三角形的规律如图所示：

解法2：杨辉三角的性质，每一层的数字之和是2的幂

第0层：系数之和为1=20=1，（a+b）0，

第1层：系数之和为1+1=21=2，（a+b）1，

第2层：系数之和为1+2+1=22=4，（a+b）2，

第3层：系数之和为1+3+3+1=23=8，（a+b）3，

第4层：系数之和为1+4+6+4+1=24=16，（a+b）6，

按照这个规律可知(a+b)6展开的多项式系数之和为26=64；

故答案为：64。

杨辉三角的规律以及推导公式：1、每个数等于它上方两数之和；2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大；3、第n行的数字有n+1项；4、第n行数字和为2(n-1)（2的(n-1)次方）；5、(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项；6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n，m)=C(n，n-m)，这是组合数性质.19．【答案】2036【解析】【解答】解：当x<4时，化简可得：y=4-x-x+5=9-2x；所以1、2、3满足此等式，

当x=1时，y=9-2=7，

当x=2时，y=9-2×2=5，

当x=3时，y=9-2×3=3，

前三项之和为：7+5+3=15，

当x≥4时，化简可得：y=x-4-x+5=1，所以从4到2024之和，等于（2024-4）+1个1相加，等于2021，

当x分别取1，2，3，……，2024时，所对应y值的总和是，15+2021=2036。

故答案为：2026。

【分析】本题考查的是与一次函数和开平方相关的规律问题。本题在解题时需要分清两种情况，就是当x<4时，（x-4）的值小于0，但其含有2次方，也为正值，但是其后开平方后，数值为正，所以开平方出来的实际值为（4-x），代入化简可得：y=9-2x，将满足条件的1，2，3分别代入并求和，求得前三项总和为15；当x≥4时，（x-4）的值大于0，其进行2次方在开平方后不变，实际值依然为（x-4），代入化简可得：y=1，从4到2024y的值始终为1，求其总和为2021；将2021+15=2036，便为答案值.20．【答案】35【解析】【解答】解：根据题意m−n>1，且正整数m，n，所以第一个m=3，n=1，第一个方差优数为：8=32−12，m=3，有1个方差优数

第二个m=4，n=1，2，第二个方差优数为：12=42−22，第三个方差优数为：15=42−22，m=4，有2个方差优数

第三个是m=5，n=1，2，3，第四个个方差优数：16=52−32，第五个方差优数：21=52−22，第六个方差优数：24=21．【答案】（1）原式==1（2）原式=(100+4)×(100−4)=10=9984【解析】【分析】（1）、本题考查的是零指数幂、负指数幂和根号的平方的相关计算；零指数幂指底数无论是什么（0除外），它的指数都是0，且所有的零指数幂的值都为1；负整指数幂即正整指数幂的倒数；在数学中，根号的平方就是将根号内的数平方。也就是说，如果a是一个正数，那么a2等于a；如果a是负数，那么a2等于（-a）；

(2)、本题考查的平方差公式运用，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，即：a2-b22．【答案】（1）解：4x（2）解：(y+1)===2y+5．（3）解：8==2（4）解：x====x+2（5）解：(4=(4=4=85（6）解：8=2=−13．【解析】【分析】（1）根据单项式乘以多项式法则“单项式乘以多项式，用多项式的每一项分别与单项式相乘，再把所得的积相加”进行计算即可；

（2）先根据完全平方公式及平方差公式分别去括号，再合并同类项化简即可；

（3）先计算分式的乘方，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再根据分式乘法法则计算可得答案；

（4）先通分计算括号内异分母分式的减法，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而将能分解因式的各个分子、分母分别分解因式，约分化简，计算分式的乘法即可；

（5）先根据根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再根据乘法分配去括号，进而根据二次根式的乘法法则计算可得答案；

（6）先根据多项式乘以多项式法则去括号，同时将各个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类项即可.23．【答案】（1）解：（1）△ABC是等腰三角形，证明如下：∵∠DAE+∠DCE=180°，∴∠ADC+∠AEC=360°−180°=180°，∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AEC=∠ADB，在△ACE和△ABD中，AE=AD∠AEC=∠ADB∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴AC=AB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：△ABC是等边三角形，证明如下：如图2，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AC于点N，则∠EMD=∠ENA=90°，∵AE=AD，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED=60°，DE=AE，∴∠AED=∠ACB=60°，∵∠AOD=∠AED+∠EAN=∠ACB+∠EDM，∴∠EAN=∠EDM，在△EMD和△ENA中，∠EMD=∠ENA∠EDM=∠EAN∴△EMD≌△ENA(AAS)，∴EM=EN，∵EM⊥BC，EN⊥AC，∴CE平分∠ACM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∴∠ACE=60°，∴∠AEC=180°−∠ACE−∠CAE=120°−∠EAN，∵∠ADB=180°−∠ADE−∠CDE=120°−∠EDM，∴∠AEC=∠ADB，在△ACE和△ABD中，AE=AD∠AEC=∠ADB∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴AC=AB，∵∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形．【解析】【分析】（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：由四边形的内角和定理及同角的补角相等得∠AEC=∠ADB，再由SAS判断出△ACE≌△ABD，由全等三角形的对应边相等，得AC=AB，从而根据等腰三角形的判定定理即可得出结论；

（2）△ABC是等边三角形，理由如下：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AC于点N，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，得∠AED=60°，DE=AE，由三角形外角性质推出∠EAN=∠EDM，从而由AAS判断出△EMD≌△EAN，得EM=EN，由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得CE平分∠ACM，则可得∠ACE=60°，再根据三角形的内角和定理及平角定理可推出∠AEC=∠ADB，从而用SAS判断出△ACE≌△ABD，由全等三角形的对应边相等得AC=AB，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形.24．【答案】解：根据题意：1x−2+3=3−k2−x，进行通分可得：

1x−2+3(x-2)x-2=3−k2−x，

两边同时乘以（x-2）得，

1+3（x-2）=k-3，

解得：x=k+23，

如果分式成立，需要满足x-2≠0，

∴x≠2，即：k+23≠2，

解得：k≠4，

根据题意，解为正实数，所以x>0，【解析】【分析】将k作为字母系数，方程两边同时乘以（x-2）约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程，用含k的式子表示出k，然后根据原方程的解是正实数，可得x-2≠0且x＞0，据此列出不等式，求解即可.25．【答案】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为4x万斤，依题意，得：3604x解得：x=1.经检验，x=1.答：该村企去年黑木耳的年销量为1.【解析】【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为