专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 11个考点清单-题型解读）（原卷版）

清单03等式性质与不等式的性质、基本不等式（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】作差法比较大小作差法的依据：①；②；③步骤：(1)作差；(2)变形；（目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等）(3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论）(4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论）【清单02】不等式的性质性质性质内容特别提醒对称性（等价于）传递性（推出）可加性（等价于可乘性注意的符号（涉及分类讨论的思想）同向可加性同向同正可乘性可乘方性，同为正数【清单03】重要不等式一般地，，有，当且仅当时，等号成立.【清单04】基本不等式链（其中，当且仅当时，取“”号）（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）【考点题型一】比较两个代数式的大小【解题方法】作差法【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命题:①若，则

②若，则③若，则

④若，则其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有.（请填“”、“”、“”、“”、“”）【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值）【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值(1)当时，求的最小值；(2)已知，求的最大值.【变式2-1】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是．【变式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且．(1)求xy的最大值；(2)求的最小值．【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值）【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为（

）A．6 B．10 C．12 D．13【变式3-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值是.【考点题型四】基本不等式（凑项（系数））形如：【例4】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是.【变式4-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最大值是.【变式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则当且仅当时，有最小值．【考点题型五】基本不等式（常数代换法）形如：①已知，求；或已知，求【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是.【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知，，且，则的最小值.【变式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正数满足，则的最小值为.【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式）形如：或者，常用换元法：令【例6】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为.【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式6-2】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值【考点题型七】条件等式求最值形如：，目标①求型；目标②求型【例7】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是.【变式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正实数，满足.(1)求的最小值，并求出此时，的值；(2)若的最小值是25，求的值.【考点题型八】对钩函数求最值形如或者【例8】（23-24高二上·河南）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【变式8-1】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列命题中，是假命题的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式8-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若，则的最大值是【考点题型九】基本不等式的恒成立问题【例9】（23-24高二上·黑龙江绥化）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（

）A． B．C． D．【变式9-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足.(1)求的最小值；(2)若恒成立，求的取值范围.【考点题型十】在实际问题中判断使用基本不等式求最值【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）．(1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元；(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（

）（注：净利润销售总额总成本）A．10元 B．12元 C．15元 D．16元【变式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（

）A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能【考点题型十一】不等式中的新定义题【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立．(1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值；(2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明；(3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？【变式11-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为．【变式11-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”.(1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）；(2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；(3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由.提升训练1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．与的取值有关4．（湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．或C． D．或5．（浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，且，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．136．（24-25高一上·北京·期中）使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（

）A．-2 B．-1 C．0 D．17．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．88．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．9．（多选）（24-25高一上·河北石家庄·期中）设正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为10．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期中）若且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最大值为11．（24-25高一上·海南海口·期中）若，则的最小值为.12．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为.四、解答题13．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：.(1)求的最大值；(2)求的最小值；14．（24-25高一上·贵州·期中）已知，，且.(1)求的取值范围；(2)证明：；(3)求的最小值.15．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.(1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东