专题02 高一上期末真题精-选（压轴56题 18类考点专练）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

专题02高一上期末真题精选（压轴58题18类压轴专练）压轴01：集合及其运算中的新定义题压轴02：一元二次不等式中的恒成立问题压轴03：一元二次不等式中的能成立问题压轴04：二次函数的最值问题（动轴定范围）压轴05：二次函数的最值问题（定轴动范围）压轴06：根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）压轴07：根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）压轴08：根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）压轴09：双变量函数值相等问题压轴10：双变量函数值不等问题压轴11：指数（对数）型复合函数中的零点问题压轴12：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题压轴13：指数（对数）型复合函数中的能成立问题压轴14：指数（对数）型复合函数中的恒成立问题压轴15：三角函数中的零点问题压轴16：三角函数中的恒成立问题压轴17：三角函数中的存在性问题压轴18：三角函数中的新定义问题压轴01集合及其运算中的新定义题（共5小题）1．（22-23高一上·北京昌平·期末）已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：①对于任意，若，则；②对于任意，若，则.若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【知识点】并集的概念及运算、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.【详解】令且，，如下表行列分别表示，集合可能元素如下：----------则，若，不妨令，下表行列分别表示，---------------------由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；若，则，下表行列分别表示，---------------由，而，且，要使中元素不超过4个，只需，此时，显然，即，则，即且，故，所以，即，而，故，共7个元素.故选：C【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.2．（多选）（23-24高一上·山东济南·期末）通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（

）A．族为集合上的一个拓扑B．族为集合上的一个拓扑C．族为集合上的一个拓扑D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑【答案】ABD【知识点】集合的应用、补集的概念及运算、集合新定义、交并补混合运算【分析】对于ABC，直接由拓扑的定义验证即可；对于D，不妨设族为集合上的一个拓扑，根据补集的性质可证也是一个拓扑.【详解】对于A，首先满足条件（1），其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或，都在中，满足条件（2），再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或，都在中，满足条件（3），故A正确；对于B，首先满足条件（1），其次，中的有限个元素取交后得到的集合为或或，都在中，满足条件（2），再次，中的任意多个元素取并后得到的集合为或或，都在中，满足条件（3），故B正确；对于C，不妨设，则，不在中，故C错误；对于D，由题意不妨设族为集合上的一个拓扑，由条件（2）可知中的有限个元素取交后得到的集合都在，且由条件（3）可知中的任意多个元素取并后得到的集合都在，则，下证：也是集合上的一个拓扑.首先满足条件（1），其次，设，则，而，故，故，同理可证，故中的有限个元素取交后得到的集合都在中，任意多个元素取并后得到的集合都在中，满足条件（3），故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是首先得到利用补集的性质处理，由此即可顺利得解.3．（23-24高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为，的“大和数”为．【答案】【知识点】集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，即可求解.【详解】根据题意，的“小和数”为，集合共有11个元素，则一共有个子集，对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，这样的子集对共有个，其中当时，，则子集对有，则的“大和数”为.故答案为：；4．（24-25高一上·山东德州·期中）把一个集合分成若干个非空子集，，，，如果满足：①，②，那么这些子集的全体称为集合的一个划分，记为.若集合，则集合的一个划分为；利用余数构造集合的划分是解决子集中元素整除问题的常用手段.设为集合的子集，并且中任意两个元素之和不能被3整除，则中元素个数的最大值为.【答案】，，（作答时，写出一个即可）676【知识点】集合新定义【分析】根据“划分”的定义直接求集合的一个划分即可；利用集合中元素被3除的余数构造集合的划分，进而根据题意得中元素个数的最大值。【详解】根据题意，若集合，则集合的划分有：，，（作答时，写出一个即可）；对于集合，所有被3除余数为1的元素组成的集合为，元素个数为675；所有被3除余数为2的元素组成的集合为，元素个数为675；所有能被3整除的元素组成的集合为，元素个数为674；由题意，，且中任意两个元素之和不能被3整除，又因为，集合中任意一个元素与集合中任意一个元素之和能被3整除，所以集合中的元素和集合中的元素不能都属于集合，因为集合中任意一个元素与集合或与集合中任意一个元素之和都不能被3整除，且集合中任意两个元素之和都能被3整除，所以当集合中元素个数最多时，集合，其中；或者，其中；故集合中元素个数的最大值为676.故答案为：，，（作答时，写出一个即可）；676.5．（22-23高一上·北京东城·期末）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.(1)若，求；(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.【答案】(1)(2)的最大值为，(3)n的最大值为11【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断元素与集合的关系、集合新定义、根据元素与集合的关系求参数【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.【详解】（1）由集合知，，所以.（2）因为，，由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组满足题意，（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，所以，解得或（舍去），所以n的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.压轴02一元二次不等式中的恒成立问题（共4小题）1．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】分讨论，当时利用判别式求解即可.【详解】由不等式可得，当时，原不等式为，恒成立，符合题意；当时，由恒成立，可得，解得，综上，则的取值范围是.故选：C2．（22-23高三上·河南·期末）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.【详解】设（），（），因为，所以当时，；当时，；当时，；由不等式恒成立，得：或，即当时，恒成立，当时，恒成立，所以当时，，则，即，则当时，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.3．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数．(1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，解关于x的不等式．【答案】(1)；(2)答案见解析【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【详解】（1）即为，所以不等式对于任意x∈R恒成立，当时，得，显然符合题意；当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．（2）不等式即为，即．又，不等式可化为，若，即时，得或，即解集为或；若，即时，得，即解集为；若，即时，得或，即解集为或．综上可知，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得.（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为，可知的两根为和，则，即，解得；所以.（2）若对任意的恒成立，则对任意的x∈2,4，恒成立，即对任意的x∈2,4，恒成立，所以，又因为，，当且仅当，即时取等号，所以，所以实数的取值范围是.压轴03一元二次不等式中的能成立问题（共3小题）1．（23-24高二上·河南焦作·期末）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>−3，所以.故选：C2．（23-24高一下·四川·期末）若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为．【答案】【知识点】解正弦不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题、三角恒等变换的化简问题【分析】先以为变量，结合一元二次不等式的存在性问题可得，解不等式结合题意可得，即可得的最大值.【详解】因为，即，若存在实数使得上式成立，则，且，即，可得，则，解得，由题意可知：，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：双变量问题的解题关键是一次只研究其中一个变量，本题先以为变量，转化为存在性问题分析求解.3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上有解问题、求二次函数的值域或最值、根据零点求函数解析式中的参数【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；（2）分和讨论即可；（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.【详解】（1）因为对都有，所以的图象关于直线对称，又因为二次函数的最小值为，所以可设二次函数的解析式为，又因为是其一个零点，所以，解得，所以的解析式为.（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，.（3）因为关于的不等式在区间上有解，即不等式在上有解，所以，记，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以，即，故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.压轴04二次函数的最值问题（动轴定范围）（共3小题）1．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；（2）由（1）可得，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设，因为，所以，解得，所以.（2），当时，在上单调递增，，当时，，当时，在上单调递减，.综上，.2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为.(1)求；(2)当时，求函数的最大值.【答案】(1)(2)【知识点】具体函数的定义域、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可；（2）利用换元法令，则函数等价于，，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值.【详解】（1）由题意知，解得，故.（2），令，，可得，，其对称轴为直线，当，即时，.当，即时，综上可知，3．（23-24高一上·广东梅州·期末）已知二次函数.(1)若，求在上的值域；(2)求在上的最小值.【答案】(1)0,4(2)【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值【分析】（1）先确定单调性，再根据单调性求值域；（2）分，，讨论，确定单调性即可得最小值.【详解】（1）若，则，对称轴为，所以函数在−1,1上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的值域为0,4；（2）二次函数，对称轴为，当，即时，在上单调递增，，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，当，即时，在上单调递减，，综上：.压轴05二次函数的最值问题（定轴动范围）（共2小题）1．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)当时，求的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出的值，可得出函数在时的解析式，利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，由此可得出函数的解析式；（2）作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可得出函数在上的最小值.【详解】（1）解：由于是定义在上的奇函数，且当时，.则，解得，即当时，；则当时，，，故.（2）解：作出函数的大致图象如图所示：当，即时，函数在上单调递增，则；当，函数在上单调递减，在上单调递增，此时，；当时，即当，函数在上单调递增，在上单调递减，，，则，则，则；当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，，，则，则，则；当时，即当时，函数在上单调递增，此时，.综上所述，.【点睛】方法点睛：“定轴动区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.5．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知二次函数满足且.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求在上最小值的表达式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式【分析】（Ⅰ）由，可设函数式为，代入求得，得函数解析式；（Ⅱ）由对称轴是，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，按，，分类，分别求得最小值，得分段函数．【详解】（Ⅰ）因为，所以令二次函数为：又因为，，∴，，∴．（Ⅱ）因为对称轴为：，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在当时，当时，当时，综上可得.【点睛】本题考查求二次函数解析式，方法是待定系数法，考查求二次函数在给定区间上的最值，必须按对称轴与区间的关系分类求解．压轴06根据函数单调性与奇偶性解不等式（小题）（共5小题）1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求解析式中的参数值、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】代入点坐标求得的值，分别判断函数的单调性和奇偶性，将恒等变换为，最后利用函数单调性即可求解.【详解】由题意知，解得，所以，即，易得在R上单调递增．因为，所以为奇函数．又，故等价于，则，解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的单调性和奇偶性在求解抽象不等式中的应用，属于难题.解题关键在于对抽象不等式的处理，其一，要利用函数解析式将化成f4x，其二，利用奇偶性处理负号，其三，根据单调性去掉函数符号.2．（23-24高一上·广西贺州·期末）若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、定义法判断或证明函数的单调性【分析】根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案．【详解】根据题意，设，，是定义在,,上的奇函数，即，故，函数为偶函数，由题意当时，有，函数在上为减函数，又由为偶函数，则在上为增函数，又由，则，同时，或，必有或，即的取值范围为.故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式.3．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性【分析】构造函数，根据的单调性和奇偶性解不等式来求得的取值范围.【详解】由于，所以的定义域为，所以，，，所以是奇函数，由于在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，由得，即，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解.4．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围.【详解】设，则，，令，则，所以，函数在上为增函数，对任意的，，所以，函数为上的偶函数，且，由可得，即，即，所以，，即，解得.故选：A【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.5．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解.【详解】令，因为，当时，总有，即，即，当时，总有，所以在上递增，又因为，所以，，所以在上是偶函数，又因为，所以，即，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解.压轴07根据函数单调性与奇偶性解不等式（大题，含指数，对数型复合函数，三角函数）（共3小题）1．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数是奇函数．(1)求a的值，判断的单调性并说明理由；(2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)，是R上的递增函数，证明见解析；(2)【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性【分析】（1）由函数为奇函数，，求a的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在上恒成立，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数m的取值范围．【详解】（1）函数，定义域是R，依题意有，得，即，此时满足题意.，由此可判断出是R上的递增函数.以下用定义证明：，且，则，，即，故是R上的递增函数.（2）是奇函数且在R上的单调递增，不等式，可得，得，即，对任意的，恒成立，即在上恒成立，时，，，，当且仅当，即时等号成立，∴，实数m的取值范围为.【点睛】思路点睛：此类函数不等式对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性和区间上的单调性，脱去函数的符号“f”，转化为解一般不等式的问题.2．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数且.(1)判断的奇偶性并给出证明；(2)若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)定义域为，奇函数，证明见解析；(2)【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】（1）先求出的定义域，再由奇函数定义证明即可；（2）利用奇函数和分类讨论单调性，先将条件转化为不等式组恒成立问题，再转化为分离参数转化为最值问题求解a的范围即可.【详解】（1）要使有意义，需满足，解得，故定义域为.判断是奇函数.证明：定义域为，关于原点对称；又，所以为奇函数；（2）由，得．由（1）知为奇函数，则，所以，因为，令，则在上单调递增，当时，单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递减，则要使恒成立，即恒成立，即要使①，②，③均恒成立.由，不等式①②显然恒成立，由，且当时，，故不等式③也恒成立，故当时，即对于任意的，恒成立.当时，单调递增，则在上单调递增，则恒成立，由，即①，②，③均恒成立当时，要使①恒成立，则，则；不等式②显然恒成立；要使不等式③恒成立得，，由解得；故当时，要使①②③均恒成立，则综上所述，实数a的取值范围为.【点睛】易错点睛：求解或转化抽象（或复合）同构型函数不等式时，常利用函数单调性转化为常规不等式，但首先要使不等式各部分有意义，不能忽视函数定义域的研究.3．（22-23高一上·江苏常州·期末）已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．(1)求使得成立的x的取值集合；(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)证明见详解，(3)【知识点】函数不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式、正切函数图象的应用、函数基本性质的综合应用【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式；（3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：，则，解得，则，故使得成立的x的取值集合.（2）∵，即，则，∴为周期为4的周期函数，又∵是定义在R上的奇函数，则，即，当时，则，故；又∵是定义在R上的奇函数，则有：当时，则，故；当时，则，故；综上所述：当时，则.（3）对于，令，则的对称轴为，故当时，取到最大值，故当时，取到最小值，故，由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，则的最大值为，又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为，∴的最大值为，则对任意恒成立，又∵，当且仅当，即时等号成立，则有：当时，则，不合题意，舍去；当时，则，解得，综上所述：实数a的取值范围为.【点睛】结论点睛：（1）对，则；（2）对，则；（1）对，则；（1）对，则.压轴08根据函数单调性与奇偶性解不等式（抽象函数）（共3小题）1．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函数的图象关于直线对称，且．(1)求的单调区间；(2)求不等式的解集．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2).【知识点】根据函数的单调性解不等式、求函数的单调区间、函数基本性质的综合应用【分析】（1）已知函数的图象关于直线对称得出的奇偶性，再由函数单调性的定义得出的单调区间.（2）由变形，构造新函数，由函数的性质确定新函数的性质，再由单调性及奇偶性即可求得解集.【详解】（1）令，则的图象关于直线对称，所以是偶函数．令，则，不妨假设，则．所以，即，所以在上单调递增，又是偶函数，所以在上单调递减．故的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，则，不妨假设，则．所以，得．令函数，则，所以在上单调递增，又，所以是偶函数，所以在上单调递减．由，得得，所以，两边平方可得，即．故不等式的解集为．【点睛】关键点睛：这道题第（2）问的关键地方是构造，并得到的单调性和奇偶性，结合题意的不等式即可得到求解2．（23-24高一·江苏南通·期末）定义在上的函数，对任意的，都有成立，且当时，．(1)求的值；(2)证明：在上为增函数；(3)当时，解不等式．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）直接令，即可求出的值（2）利用已知，结合函数单调性的定义进行证明即可（3）根据，可得，然后利用函数的单调性进行求解即可．【详解】（1）令，则；所以.（2）设，则，所以，，即，所以在上为增函数；（3），，，在上为增函数，解得：，所以不等式的解集为．3．（23-24高一上·重庆北碚·期末）函数满足对一切有，且；当时，有.(1)求的值;(2)判断并证明在R上的单调性；(3)解不等式【答案】(1)(2)在R上的单调递减，证明过程见解析(3).【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式【分析】（1）赋值法求出和，进而赋值求出；（2）先求出时，，进而得到时，，再利用定义法证明出函数的单调性；（3）变形得到，求出，结合（2）中函数的单调性求出，从而求出答案.【详解】（1）中，令，则，因为，所以，令得，，解得，令得，，即，解得；（2）设，则，所以，所以时，，又因为时，有，且，所以时，，在R上的单调递减，证明过程如下：设，且，则，则，因为时，，所以，故，故在R上的单调递减；（3）由题意得，因为，所以，即，解得，中，令得，，故，故，由（2）可知，在R上的单调递减，故，解得或，所以原不等式的解集为.【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.压轴09双变量函数值相等问题（共3小题）1．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围；(3)设，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、求cosx(型)函数的值域、求指数型复合函数的值域【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；（2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可；（3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解即可.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，解得.（2）由（1）知，则，所以，故在上恒成立，令，则，且，所以，令，则函数在上为减函数，所以，所以.（3）若，使得成立，则函数的值域为函数值域的子集，，则函数在上为减函数，所以.因为，所以，所以，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；当时，，显然成立.综上可知.【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数fx,gx分别是定义在上的奇函数和偶函数，且(1)求函数fx(2)设，对，使得，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、由奇偶性求函数解析式、利用函数单调性求最值或值域、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决；（2）对，使得，即为函数的值域为−1,1为函数hx的值域的子集，讨论解之.【详解】（1）由题意

①，所以

，函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数，所以所以

②，由①②解得，；（2），由，则，所以的值域为−1,1，，

，设，根据知为增函数，若，则，则，若，则在上单调递增，则，即，因为对，使得，则，所以，解得，所以；若，则，即，则，解得，所以，综上所述，若对，使得，则.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．3．（23-24高一上·四川泸州·期末）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”，已知函数．(1)证明：函数的图象关于点对称；(2)若函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【知识点】判断或证明函数的对称性、求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）根据题意证明即可；（2）由题意可得：在上的值域是在上的值域的子集，根据题意二次函数分类讨论函数在0,1内单调性，结合对称性以及包含关系分析求解.【详解】（1）由题意可知：，且的定义域为，关于对称，因为，所以函数的图象关于点对称.（2）设在上的值域为，在上的值域为，由题意可知：，由（1）可知，因为，则，可得，所以，即，又因为的图象开口向上，对称轴为，则有：若，即时，可知在0,1内单调递增，可得，且函数的图象关于点0,2对称，则，可知在−1,0的，可知在的最大值为，最小值为，可得，且，满足，即符合题意；若，即时，可知在内单调递减，在内单调递增，可得，且函数的图象关于点0,2对称，则，可知在−1,0的，可知在的最大值为，最小值为，可得或，解得，且或，解得；若，即时，可知在内单调递减，在内单调递增，可得，且函数的图象关于点0,2对称，则，可知在−1,0的，可知在的最大值为，最小值为，即，则，解得；若，即时，可知在0,1内单调递减，可得，且函数的图象关于点0,2对称，则，可知在−1,0的，可知在的最大值为，最小值为，所以，且，满足，即符合题意；综上所述：实数a的取值范围.【点睛】关键点睛：1.根据二次函数的对称性分类讨论函数在0,1内单调性，进而判断函数在0,1内最值；2.根据对称性判断在内的最值.压轴10双变量函数值不等问题（共4小题）1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围．【答案】或【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、对数函数最值与不等式的综合问题、利用函数单调性求最值或值域【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解.【详解】，若对任意都有成立，则，，当时，，设，，当，，，则，即，则，即，所以在区间上单调递增，即，所以的值域为，即在区间的最大值为2，，当时，hx在单调递增，hx的最小值为，当时，函数hx的图象如下图，函数hx在上单调递增，hx的最小值为，

当时，hx的图象如下图，

当时，函数hx在上单调递增，hx的最小值为，当时，函数hx的最小值为，所以，当时，hx的最小值为，，即，解得：或，即；当时，函数hx的最小值为，，即，解得：或，即；综上可知，或故答案为：或【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数hx的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值.2．（23-24高一上·安徽宿州·期末）已知函数.(1)若为偶函数，求函数的定义域；(2)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】函数不等式恒成立问题、求含sinx（型）的二次式的最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx(型)函数的定义域【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即为函数的定义域；（2）先求出的最小值，然后分类讨论求出hx的最大值，进而得出的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，所以,即，因为，所以，解得：，，所以，，所以的定义域为.（2）因为过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，又因为对任意的，，都有成立，所以，，，因为，所以，设，则有图象开口向下，对称轴为的抛物线，当时，在上单调递增，所以，所以，解得，所以；当时，在上单调递减，所以，所以，解得，故；当时，，故，解得，所以，综上所述：实数a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据题意得，再利用换元法和二次函数的性质对进行分类讨论即可.3．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为关于的奇函数，给定函数，关于中心对称．(1)求的值(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、判断指数型复合函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）根据恒成立，即可得解；（2）由题意得，，又，，抓住对称轴和区间的位置关系讨论，从而可得出答案．【详解】（1）因为的图象存在对称中心则的图象关于原点成中心对称，因为的定义域为R，所以恒成立，即恒成立，解得．（2）因为在区间上单调递减，值域为，即最大值为，又，，，所以，，又，，当，即时，在区间单调递减，所以，解得，舍去；当，即，在单调递增，单调递减，所以，解得，所以；当，即，在单调递增，所以，解得（舍），综上所述：【点睛】关键点睛：本题第二问，关键是理解题意先将问题转化为，然后利用的对称轴与区间的关系分三种情况讨论，求出的最大值得解.4．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．(1)求不等式的解集；(2)若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．【答案】(1)或；(2)【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数【分析】（1）根据一元二次不等式与方程的关系及一元二次不等式的解法，求出解集;（2）由函数恒成立问题和存在性问题，得到，利用换元转化进行分类讨论求解的范围.【详解】（1）不等式的解集为，即是的两个根，故，，∴，即为，解得或，∴不等式的解集为或．（2）由题意可知，，，令，则，，对称轴方程为，①若，即时，当时，，即，此时在上单调递减，，由，得；②若，即时，当时，，即，此时在上单调递增，，由，得；③若，即时，当时，，即，此时在上单调递增，，由，得，综合①②③可知，即实数的取值范围是．压轴11指数（对数）型复合函数中的零点问题（共3小题）1．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，．(1)若，求的值；(2)令，且在区间上有零点，求实数n的取值范围．【答案】(1)(2)．【知识点】利用函数单调性求最值或值域、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、利用导数研究函数的零点【分析】（1）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；（2）由已知可得，设，问题等价为在上有零点，参变分离得在上有解，通过换元由单调性求取值范围即可.【详解】（1），，，则，设，则，两式相加得，则，故．（2），设，当，则，则函数等价为，．函数在区间上有零点，等价为在上有零点，即在上有解，即在上有解，即，设，则，有，在上恒成立，则在上递增，则当时，，当时，，即实数n的取值范围是．【点睛】方法点睛：1.求的值，由的解析式，通过合理配对，使得某两项相加为定值；2.函数零点问题，转化为对应方程有实数根，通过参变分离，构造函数利用导数求值域.2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，函数与互为反函数.(1)若函数的值域为，求实数的取值范围；(2)求证：函数仅有1个零点，且.【答案】(1)；(2)证明见解析【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求反函数、零点存在性定理的应用、求函数零点或方程根的个数【分析】（1）由反函数定义可得，从而结合的值域为R，讨论m的取值，结合解不等式，求得答案；（2）利用零点存在定理，并结合函数的单调性可证明函数仅有1个零点，从而得到，进而将要证明的不等式等价转化为，由此构造函数，利用函数的单调性证明结论.【详解】（1）因为函数y=gx与互为反函数，所以.因为的值域为R，所以能取遍0,+∞内的所有值，当时，能取遍0,+∞内的所有值，符合题意；当时，则只需，解得，综上所述，实数的取值范围为0,1；（2）由（1）可得，定义域为，因为，，（）由零点存在定理有，存在零点，使得，又因为φx在上单调递增，所以φx仅有1个零点，且.等价于，令，显然函数在定义域上单调递增，因为，所以，因为，所以，则.所以，故，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于函数不等式的证明，解答时要结合函数存在零点，得到关于零点的等式，进而结合该等式化简，从而构造函数，结合函数的单调性，证明结论.3．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，.(1)若函数，，求的最值；(2)设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.【答案】(1)，，(2)证明见解析【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算性质的应用、零点存在性定理的应用、函数不等式恒成立问题【分析】（1）确定的值域，换元令，将化为，结合函数单调性，即可求得答案；（2）分和讨论，时，结合函数单调性以及零点存在定理证明即可；时，说明函数值恒为正，即无零点，综合可得结论；利用零点得出，即可化简为，结合函数单调性即可证明不等式.【详解】（1）由题意知，故，令，在在上单调递增，故，则，该函数在上单调递增，故，.（2）函数，在区间上连续不断，当时，与在上都单调递增，故在区间上单调递增，而，，即，故存在唯一的，使得，即函数在上有且只有一个零点；当时，在上单调递增，则，而，故，故此时在上无零点，综上可知函数有且只有一个零点；因为，即，所以，，因为在上单调递减，故，即故.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.压轴12指数（对数）型复合函数中的恒成立问题（共3小题）1．（23-24高一上·福建·期末）已知函数在上为奇函数，.(1)求实数m的值；(2)存在，使成立.（i）求t的取值范围；（ii）若恒成立，求n的取值范围.【答案】(1)(2)（i）（ii）【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、对数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数、求含sinx（型）的二次式的最值【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解.（2）（i）由复合函数单调性得在R上单调递减，结合奇函数性质得，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为恒成立，通过换元法即可求解.【详解】（1）由题意函数在R上为奇函数，所以，因为，所以解得，经检验符合题意.（2）（i）由（1）得在R上为奇函数，显然在0,+∞上单调递增，在0,+∞上单调递减，所以由复合函数单调性可知在0,+∞上单调递减，从而在R上单调递减，所以，即，因为x∈R，所以，所以；（ii）由（2）（i）得，所以，若恒成立，则恒成立，所以当，即时，，所以n的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于的函数方程，由此即可顺利得解.2．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知，.(1)求函数在区间上的最小值.(2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)【知识点】求指数型复合函数的值域、求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式【分析】（1）由指数函数值域以及基本不等式即可求解.（2）由题意将原问题转换为恒成立，首先由初步得出的一个范围，进一步利用对数函数单调性，得到对于任意恒成立，由此即可进一步求解.【详解】（1）由题意当时，，所以，等号成立当且仅当，即，所以函数在区间上的最小值2.（2）对于任意，都有成立，则只需，由（1）可知，所以只需恒成立，首先有，即，由得，所以，进一步可以化为，所以恒成立，即，即对于任意恒成立，因为，所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立，所以，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式.3．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数，．(1)若的最小值为，求实数的值；(2)当时，若，，都有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求指数型复合函数的值域、指数函数最值与不等式的综合问题、求含sinx（型）的二次式的最值、函数不等式恒成立问题【分析】（1）由题意通过换元法，转换为定区间动轴的二次函数最值问题，对对称轴位置分类讨论即可求解.（2）由题意首先将原问题转换为在恒成立，进一步在恒成立．通过换元法求得即可.【详解】（1）函数，令，，所以，，①当，即时，，解得，②当，即时，（舍去）．综上所述，实数的值为．（2）当时，对，，都有成立，则．由（1）可知时，，所以．则在恒成立，即在恒成立，则在恒成立．令，，则，因为在单调递增，所以，所以，所以，综上所述，实数的取值范围为．【点睛】关键点睛：第一问的关键是转换为二次函数最值求参数，第二问的关键是分离参数与换元法有机结合，由此即可顺利得解.压轴13指数（对数）型复合函数中的能成立问题（共3小题）1．（23-24高一上·吉林·期末）已知定义在R上的函数，且为偶函数．(1)解不等式；(2)设函数，命题，使成立．是否存在实数，使命题为真命题？如果存在，求出实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)或(2)存在，【知识点】由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）根据函数奇偶性的概念结合对数运算求得的值，即可得函数的解析式，再根据对数函数、指数函数的性质解不等式，即可得解集；（2）由基本不等式求得的最小值，由命题为真命题，转化为，即确定函数的最小值，设，转化为求二次函数在区间上的最小值，利用其单调性分类讨论求解即可得实数的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，且定义域为，所以，即，整理得，即得，所以．因为，即得，即．所以，上不等式等价于，所以或．所以或，所以原不等式的解集为或；（2）因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值为．若命题为真命题，则需．而，设，因为，所以，则，因为的对称轴为，所以当，即时，最小值为，所以时满足题意．当，即时，最小值为，解得，显然无解．当，即时，最小值为，解得，又，所以．综合可知，时，命题为真命题，即得实数的取值范围是．2．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数．(1)求函数的解析式；(2)，有成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】由奇偶性求函数解析式、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式能成立（有解）问题【分析】（1）由结合二次函数的性质得出，进而由奇偶性得出函数的解析式；（2）可化为，即，再由对勾函数的单调性讨论即可.【详解】（1）因为且的最小值为0，所以，解得即.当时，，即.故（2）因为，所以.所以可化为.即.令，构造函数，由对勾函数的单调性可知该函数在上单调递减，在上单调递增，.即的最小值为.当时，函数在上单调递增，此时，不合题意；当时，函数在上单调递增，此时，不合题意；当时，令，构造函数，①若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递增，即，，解得，不合题意；②若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递减，在上单调递增.（i）当，即时，，由，解得，不合题意；（ii）当，即时，，由，解得，即，满足题意；③若，该函数在上单调递减，即，由，解得，即满足题意；综上，【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用对勾函数的单调性得出，同时也将不等式的能成立问题转化为函数的最值问题进行解决.3．（22-23高一上·陕西渭南·期末）已知函数．(1)用定义法证明在上单调递增；(2)求不等式的解集；(3)若，对使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)或(3)【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求对数型复合函数的值域、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）利用奇偶性和单调性解不等式；（3）令，利用复合函数法求出，转化为恒成立，即，，利用分离参数法和换元法转化为恒成立.令，利用二次函数的性质求出的最大值，进而求出的取值范围．【详解】（1）设，则，，，，，,，，故在上单调递增．（2）由于，所以是偶函数，且在上单调递增，，两边同时平方可得，解得或所以原不等式的解集为或．（3）由于，使得成立，令，可知，由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性知函数在上单调递增，，故，即，所以，令，则，当时等号成立，则，则，令，所以当时，取得最大值，则，即的取值范围为．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）相等关系记的值域为A,的值域为B,①若，，有成立，则有；②若，，有成立，则有；③若，，有成立，故；（2）不等关系①若，，总有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有成立，故．压轴14指数（对数）型复合函数中的新定义问题（共3小题）1．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②.(2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示）【答案】(1)①具有性质，理由见解析；②不具有性质，理由见解析(2)【知识点】函数新定义、对数的运算【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案.（2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求解的取值范围.【详解】（1）①对任意，，所以具有性质.②对任意，得，取，则，所以不具有性质.（2）由于，函数的定义域为R，.若函数具有性质，则对于任意实数，有，即，即.由于函数在0,+∞上递增，得，即.当时，得，对任意实数恒成立；当时，易得，由，得，得，得，由题意得对任意实数恒成立，所以解得.当时，易得，由，得，得，得.由题意得对任意实数恒成立，所以解得.综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）的关键是对于性质的定义的理解和应用；（2）的关键是通过性质的定义列不等式，然后对参数分类讨论求解.2．（23-24高一上·云南大理·期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.(1)求函数的次不动点；(2)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.【答案】(1)和(2)【知识点】求指数型复合函数的值域、函数与方程的综合应用、函数新定义【分析】（1）根据函数的次不动点定义建立方程，求解即得；（2）因函数各有一个不动点和一个次不动点，故相当于对应的两个方程各有一个解，将两个方程利用参变分离法转化成求解对应函数的值域问题，最后求交即得.【详解】（1）设函数的次不动点为，则，即，将等式两边平方整理得：或，均符合题意，故函数的次不动点为和.（2）设函数在上的不动点和次不动点分别为和.则由可得：，即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即；再由可得：，即：，化简得：，，因在时为增函数，故，即.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查的是函数新定义问题.解题关键在于设出不动点（或次不动点）后，对于方程有解的问题最便捷的方法就是运用参变分离法，把求参数取值范围的问题转化为求对应函数在给定区间上的值域问题.3．（22-23高二下·山东青岛·期末）定义一种新的运算“”：，都有.(1)对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；(2)若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；(3)已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)且【知识点】对数的运算性质的应用、根据函数零点的个数求参数范围、由一元二次不等式的解确定参数、函数新定义【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.【详解】（1），，（2）原不等式可化为：，即，为满足题意，必有，即或①令，由于，，结合①可得：，的一个零点在区间，另一个零点在区间，从而，即②由①②可得：或（3），设，令，，则，，，的值域为，的值域为根据题意可知：，解之得：且【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.压轴15三角函数中的零点问题（共2小题）1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且，．(1)若，求A与；(2)证明：函数是偶函数；(3)证明函数是周期函数；(4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)证明见解析(4)证明见解析【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、函数的周期性的定义与求解、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）【分析】（1）根据函数值计算求出余弦函数的参数值；（2）应用偶函数定义证明；（3）应用周期定义证明；（4）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式.【详解】（1）因为，

①令，可得，，

因为，所以，由，得．

由，得，解得．因为，所以，

所以，则

，所以．

解法二：因为，所以．

．因为，所以，解得，或．当时，f1=0，与已知矛盾，所以，由，且，得

所以．（2）由（1）得，，

①中，令可得，，即，所以函数为偶函数；（3）令得，，

即有，从而可知，，

故，即．

所以函数是一个周期为的周期函数．（4）由（1）得，，在中，令，可得，因为，所以，所以，又因为在上是减函数，所以在上有且仅有一个零点．中，令，得．所以在区间上有且仅有一个零点．

又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．，所以在内的零点为和．

，，．因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．

在上有4048个零点：，，，，，，，其中，．【点睛】方法点睛：赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式.2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数.(1)某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图象，列表如下：x00100000请填写上表的空格处，并写出函数的解析式；(2)若函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点的个数.【答案】(1)表格见解析，(2)−2，3037【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式【分析】（1）根据数据确定参数的值，即可得函数解析式，即可完善表格；（2）根据三角函数图象的变换求出的表达式，即可求得的表达式，结合方程的解的情况，分类讨论，确定其解，结合题意以及正弦函数的周期性，即可求得答案.【详解】（1）由表中数据可得，，解得，故，故令；令，此时，则表格如下：x00100000（2）由题意函数，将图象上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图象，则，故，周期为，当时，令，考虑方程的解的情况，，即在R上必有两个不同的实数根，设为，在上恰有奇数个零点，则或，若，则，在共有4个不同的实数根，在共有0个或2个不同的实数根，则在上有个根或个根，此时与题意不符合；若，则在共有2个不同的实数根，在共有0个或2个不同的实数根，则在上有个根或个根，此时与题意不符合；同理，也不符合题意；故或，若，代入，则；此时的根为，方程在共有3个不同的实数根，在上，有2个不同的实数根，此时无解，故在上有个根，不符合题意；若，代入，则；此时的根为，方程在共有3个不同的实数根，在上，此时无解，有1个实数根，故在上有个根，符合题意，综上，，零点的个数为3037.【点睛】难点点睛：本题考查了三角函数性质的综合应用，综合性强，难点在于（3）中函数零点个数的确定，解答时要分类讨论，结合正弦函数的周期性以及正弦函数的零点进行解答.压轴16三角函数中的恒成立问题（共3小题）1．（23-24高一上·山西长治·期末）函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.【详解】（1）由题意可知：的面积，可得，所以周期，则，由，得，又，于是，所以；（2）由，则，得，即．由，得，即在上恒成立，亦即，因为，所以，解得，即实数的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.2．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数，.(1)当时，求函数的对称中心；(2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；(3)若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含cosx的二次式的最值【分析】（1）由题设列求x即可得对称中心；（2）由已知得，问题化为在上恒成立，结合正弦型函数性质求参数范围；（3）由已知得，将问题化为，根据三角函数及二次函数性质研究最值，进而求参数范围.【详解】（1）由题设，令，可得，所以函数的对称中心为.（2）由题设，，又，则，故，由，又，则，故，所以，当，只需，可得；当，只需，可得；当，则，，此时满足题设；综上，.（3）由题设，又，则，对任意的，有，即，所以，则，有，故，，又，则，当时，；此时，即；当时，；此时，即；当时，；此时，即；综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为在上