4.3.2 等比数列的前n项和公式（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.3.2等比数列的前n项和公式（基础知识+基本题型）知识点一等比数列的前n项和公式1．等比数列的前n项和公式等比数列的前n项公比已知量适用公式首项首项、公比、项数首项、公比、末项警示（1）在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比进行讨论．（2）由等比数列的通项公式及其前项和公式可知，已知中任意三个量，便可解方程组求出另外两个量．（3）当时，若已知及,则用公式较好；若已知,则用公式较好．2．等比数列的前n项和公式的推导一般的，对于等比数列，它的前n项和是．根据等比数列的通项公式，上式可写成．①由①式两边分别乘，得．②由，得．当时，等比数列的前n项和公式为．上述推导方法叫做错位相减法．因为，所以上面的公式还可以写成．当时，数列变为，易得它的前n项和为．拓展错位相减法是指在求和式子的左右两边先同乘等比数列的公比，再错位相减，使其转化为等比数列求和的问题．此种方法一般应用于形如数列的求和，其中数列是等差数列，数列是等差数列．此种方法求和步骤如下：设数列是公差为的等差数列，设数列是公比为的等比数列，设数列满足，则的前n项和为．①．②由，得，所以．在写出与的表达式时，应特别注意将两式错项对齐，以便于下一步准确写出的表达式．知识点二等比数列的前n项和的常用性质1．在等比数列中，公比为．（1）若共有项，则；（2）若共有（）项，则（，且）．2．在等比数列中，公比为，前项和为，则构成公比为的等比数列，即等比数列的前项的和与以后依次项的和构成等比数列．3．（为公比）．拓展两个常用性质的证明（1）等比数列的公比为，若项数为，则．证明：因为项数为，所以当时，，，所以；当时，，，结论显然成立．综上可得，．（2）若等比数列的公比为，首项为，则．证明：当时，，，所以；当时，，原结论成立．综上可得，．知识点三等比数列前n项和的函数特性1．当公比时，我们已经求得等比数列前项和的公式是，它可以变形为，设,上式可写成．由此可见，非常数列的等比数列的前项和是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比时，因为，所以是的正比例函数.2．如果已知数列的前项和的公式为,那么这个数列一定是等比数列.理由：因为，当时,;当时，，也符合上式.所以.于是，因此，对任意的，都有（常数），所以数列是等比数列，其首项为，公比为.拓展（1）当时，，注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且.（2）当时，数列的图象是函数图象上一群孤立的点；当时，数列的图象是正比例函数图象上一群孤立的点.考点一等比数列前n项和的基本运算例1设等比数列的公比，前项和为，已知，求的通项公式.解：由题意，知，，则.由②，得，，即，因为，解得或.当时，代入①，得，通项公式；当时，代入①，得，通项公式.综上，当时，；当时，.总结：在运用等比数列的前n项和公式时，要注意公比和两种情形.在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.考点二等比数列前n项和的性质例2在等比数列中，若前10项的和，前20项的和，求前30项的和.分析：可先利用和联立解得公比q的值，再代入求和公式求得，也可直接利用等比数列前n项和的性质解题.解：方法1：设数列的首项为a1，公比为q，显然，则 由，得，所以.所以.方法2：因为，，仍成等比数列.且，，所以，即.（1）上述两种解法中均渗透了“整体思想”的应用，其中方法1中“两式整体作商”，并巧用优化解题过程，减少了运算量.方法2中“每10项和”视为一个整体，构造新的等比数列，从而将问题解决，应重视“整体思想”的应用练习，这对等比数列问题的顺利求解大有帮助.（2）高次方程的处理方法：因为在等比数列中，无论是通项公式还是前n项和公式，均与q的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，以达到整体消元的目的.例3已知等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.分析：（1）常规解法：依据前n项和公式，结合性质——偶数项、奇数项也构成等比数列，列方程组求解.（2）简便解法：应用性质求解.解：设原等比数列的公比为q，项数为.方法1：由已知，，有 由，得.所以，即，所以.故公比为2，项数为8.方法2：因为，所以.又因为，，据，得，所以，所以.故公比，项数为8.在遇到奇数项和与偶数项和的时候，如果总项数为2n，要优先考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系式：，运用此式能非常迅速地求出公比q.考点三错位相减法的应用例4已知数列的首项，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.分析：先将递推公式进行运算变形后转化为等比数列的形式，再求通项公式，最后求“运算数列”的前n项和.（1）证明：因为，所以，所以.又因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（2）解：由（1），知，即，所以.设， ①则. ②由①-②，得所以.又因为，所以数列的前n项和.本题以方程为工具，力求转化为宗旨，体现了“整体代换”思想的巨大威力，由变形为是关键的一步，这直接影响到后续问题能否顺利解决.考点四等比数列前n项和的实际应用例5从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.（1）设n年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，求，的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能等于总投入？分析：（1）表示n年内投入的总和，表示n年内旅游业收入的总和，均需利用等比数列的前n项和公式进行求解；（2）令，求出n的值即可.解：（1）第一年投入为800万元.第二年投入为万元，第n年投入为万元，所以n年内的总投入为第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，第n年旅游业收入为万元所以n年内的旅游业总收入为.（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能等于总投入，由此得，即，化简，得.设，代入上式得.解此方程，得或(舍去).要使总收入等于总投入必须使，由此得.由于，故取.故至少经过5年旅游业的总收入才能等于总投入.解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问