4.1.1数列的概念（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.1.1数列的概念要点一数列的有关概念1．定义：按照确定的顺序排列的一列数．2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项；排在第一位的数称为这个数列的第1项(也叫首项)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为．【重点总结】(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．要点二数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列要点三数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．要点四数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域(或它的有限子集{1,2,3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图表法【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1){0,1,2,3,4}是有穷数列．()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一数列．()(3)所有自然数能构成数列．()(4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.()2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案】A【解析】an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.3．(多选题)数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为()A．an＝(－1)n－1B．an＝(－1)nC．an＝cosnπD．an＝sinnπ【答案】BC4．数列1,2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中的第26项为________．【答案】2eq\r(19)【解析】因为a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，所以an＝eq\r(3n－2)，所以a26＝eq\r(3×26－2)＝eq\r(76)＝2eq\r(19).题型一数列的概念和分类1．数列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【答案】D【解析】该数列从第2项起，第n项与第n－1项的差为(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以该数列的前6项单调递减，从第6项往后单调递增，故选D.2．已知下列数列：①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…；③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；⑤0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n－1,n)，…；⑥1,0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，….其中有穷数列是______；无穷数列是________；递增数列是________；递减数列是________；摆动数列是________；常数列是________．(填序号)【答案】eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,5)eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,6)eq\o\ac(○,4)【方法归纳】判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．题型二由数列的前n项求通项公式【例1】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999；(4)3,5,3,5.【解析】(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(1,n).(2)数列可化为eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq\r(32n－1)＝eq\r(6n－3).(3)原数列可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故数列的一个通项公式为an＝1－eq\f(1,10n).(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n为奇数,5n为偶数)).此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为eq\f(3＋5,2)＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.【方法归纳】(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．【跟踪训练】写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)1eq\f(1,2)，2eq\f(2,3)，3eq\f(3,4)，4eq\f(4,5)，…；(4)1,11,111,1111，….【解析】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为eq\f(n,n＋1)，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1)(n∈N*)．(4)原数列的各项可变为eq\f(1,9)×9，eq\f(1,9)×99，eq\f(1,9)×999，eq\f(1,9)×9999，…，易知数列9,99,999,9999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*)．题型三数列的单调性【例2】已知函数f(x)＝eq\f(1－2x,x＋1)(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求证：an>－2；(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？【解析】(1)因为f(x)＝eq\f(1－2x,x＋1)＝eq\f(3－2x＋1,x＋1)＝－2＋eq\f(3,x＋1)，所以an＝－2＋eq\f(3,n＋1).因为n∈N*，所以an>－2.(2)数列{an}为递减数列．理由如下：因为an＝－2＋eq\f(3,n＋1)，所以an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(3,n＋2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋\f(3,n＋1)))＝eq\f(3,n＋2)－eq\f(3,n＋1)＝eq\f(－3,n＋2n＋1)<0即an＋1<an，所以数列{an}为递减数列．先化简fx的解析式，再构造{an}，然后判断an＋1－an的符号.【方法归纳】用作差法判断数列的单调性关键是判断符号，为此，一般要对差式进行通分，因式分解等变形；若用作商法则要特别注意分母的符号．【跟踪训练2】已知数列{an}的第n项可以表示为eq\f(2n,3n＋1)，n∈N*，试判断数列的增减性．【解析】因为{an}的第n项为eq\f(2n,3n＋1)，所以{an}的第n＋1项为eq\f(2n＋1,3n＋1＋1).因为eq\f(2n＋1,3n＋1＋1)－eq\f(2n,3n＋1)＝eq\f(2n＋2,3n＋4)－eq\f(2n,3n＋1)＝eq\f(2n＋23n＋1－2n3n＋4,3n＋43n＋1)＝eq\f(6n2＋8n＋2－6n2－8n,3n＋43n＋1)＝eq\f(2,3n＋43n＋1)>0，所以eq\f(2n＋1,3n＋1＋1)>eq\f(2n,3n＋1)，所以数列{an}的第n＋1项大于第n项，故数列{an}是递增数列．【易错辨析】忽视数列中n∈N*致错例3已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．【答案】－2【解析】∵an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)，可知对称轴方程为n＝eq\f(5,2)，又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3＝－2.【易错警示】出错原因在求出an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))2－eq\f(9,4)时，忘记n∈N*了，导致得出错误答案：－eq\f(9,4).2.纠错心得数列的定义域是正整数集合，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N*这一条件.一、单选题1．某新冠疫苗接种点统计了一周（星期一至星期日）每天接种加强针的人数（单位:百人)如下:，()，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过观察数列的规律，可得到从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，根据这一结论可推得结果.【解析】从第三个数据起，每个数据等于它前面两个数据之和，所以星期六的数据为故选:C.2．数列，则是这个数列的第（）A．项 B．项 C．项 D．项【答案】A【分析】根据数列的规律，求出通项公式，进而求出是这个数列的第几项【解析】数列为，故通项公式为，是这个数列的第项.故选：A.3．若数列满足，，则（）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】C【分析】由题意得数列是周期为3的数列，即可得解.【解析】由，代入可得，同理可得.由，得，从而有，即，从而有，所以数列的周期为3，所以.故选：C.4．已知数列满足且，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．－4【答案】A【分析】根据数列的递推公式，可知数列是周期为的周期数列，由此即可求出结果.【解析】因为数列满足且，所以，，所以，又，所以，又，所以所以，……所以数列是周期为的周期数列，所以.故选：A.5．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出数列的前5项，即可得出数列是以4为周期的数列，．【解析】解：因为，所以由已知可得，，，.可以判断出数列是以4为周期的数列，所以.故选：A6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此规律得到的数列记为，则（）A．98 B．112 C．128 D．132【答案】B【分析】根据题意可得奇数项的通项公式，即可求出.【解析】奇数项为0，4，12，24，40，…，即可得当为奇数时，，.故选：B.7．数列满足，，且，，记数列的前项和为，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用递推公式求出数列的前20项，直接求和.【解析】因为，，且，，所以；；；；；；同理递推可得：；；；；；；；；；；；.所以=2.故选：C8．在数列中，，，，，则（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】计算得到数列周期为6，化简得到原式，计算得到答案.【解析】，故，故，数列的周期为6.，，，，，，，.故选：B.二、多选题9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（）A．22 B．24C．26 D．28【答案】AD【分析】通过计算找到数列的周期，即得解.【解析】解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3．故选：AD10．下列四个选项中，正确的是（）A．数列的图象是一群孤立的点B．数列1，，1，，…与数列，1，，1，…是同一数列C．数列，，，，…的一个通项公式是D．数列，，…，是递减数列【答案】AD【分析】利用数列通项公式、数列的图象、数列的定义以及数列的单调性依次判断四个选项即可．【解析】解：对于A，由数列的通项公式以及可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项A正确；对于B，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项B错误；对于C，当通项公式为时，，不符合题意，故选项C错误；对于D，数列，，是递减数列，故选项D正确．故选：AD.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题11．在数学课堂上、教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，例如将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；第次得到数列1，，，，…，，2（共项），则______．【答案】【分析】根据第一次得到数列1，3，2，共项，第二次得到数列1，4，3，5，2，共项，第三次得到数列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共项，得到规律求解.【解析】第一次得到数列1，3，2，共项；第二次得到数列1，4，3，5，2，共项；第三次得到数列1，5，4,7，3，8，