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文档简介

甘肃省兰州市第九中学2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.2.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R3.将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是()A. B. C. D.4.设集合,,若,则的取值范围是()A. B. C. D.5.已知双曲线的左,右焦点分别为、,过的直线l交双曲线的右支于点P,以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切,切点为H,若,则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.6.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.7.设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线的另一个交点为,则()A. B. C. D.8.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.9.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()A. B. C. D.10.设非零向量,,,满足,,且与的夹角为,则“”是“”的().A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.112.设函数(,)是上的奇函数,若的图象关于直线对称,且在区间上是单调函数,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知变量x,y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6,则14.安排名男生和名女生参与完成项工作,每人参与一项,每项工作至少由名男生和名女生完成,则不同的安排方式共有________种(用数字作答).15.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB16.如图,在体积为V的圆柱中,以线段上的点O为项点,上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为,,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在平面四边形中,,,.(1)求;(2)求四边形面积的最大值.18.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.19.(12分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如下:一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根据表格中提供的数据,求,,的值并估算一周课外读书时间的中位数.(2)如果读书时间按,,分组,用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数;②若从,中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率.20.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.21.(12分)已知x,y,z均为正数.(1)若xy<1,证明:|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)若=,求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.22.(10分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.2、D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算3、B【解析】设折成的四棱锥的底面边长为,高为,则,故由题设可得,所以四棱锥的体积,应选答案B.4、C【解析】

由得出,利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】,且,,.因此,实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数,考查计算能力,属于基础题.5、A【解析】

在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【详解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故选:A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题,处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系,本题是一道中档题.6、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高,再利用勾股定理求得球半径后可得球体积.【详解】如图,正三棱锥中,是底面的中心,则是正棱锥的高,是侧棱与底面所成的角,即=60°,由底面边长为3得,∴.正三棱锥外接球球心必在上,设球半径为,则由得,解得,∴.故选:D.【点睛】本题考查球体积,考查正三棱锥与外接球的关系.掌握正棱锥性质是解题关键.7、C【解析】

画出图形,将三角形面积比转为线段长度比,进而转为坐标的表达式。写出直线方程,再联立方程组,求得交点坐标,最后代入坐标,求得三角形面积比.【详解】作图,设与的夹角为,则中边上的高与中边上的高之比为,,设,则直线,即,与联立,解得,从而得到面积比为.故选:【点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系,进而联立方程组求解,是一道不错的综合题.8、D【解析】

先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.9、B【解析】

分别取、的中点、,连接、、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,,,且、分别为、的中点,所以,,所以,,所以二面角的平面角为,,则,且,所以,,,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.10、C【解析】

利用数量积的定义可得,即可判断出结论.【详解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.11、A【解析】

利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.12、D【解析】

根据函数为上的奇函数可得,由函数的对称轴及单调性即可确定的值,进而确定函数的解析式,即可求得的值.【详解】函数(,)是上的奇函数,则,所以.又的图象关于直线对称可得,,即,,由函数的单调区间知,,即,综上,则,.故选:D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用,由对称轴、奇偶性及单调性确定参数,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、-5【解析】

画出x,y满足的可行域,当目标函数z=x-2y经过点A时,z最小,求解即可。【详解】画出x,y满足的可行域,由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2,当目标函数z=x-2y经过点A【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14、1296【解析】

先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,然后从4个女生选2个一组,将4人分成三组,然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由名男生和名女生完成,则先从4个男生选2个一组,将4人分成三组,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有种.故答案为:1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用,考查了学生应用数学解决实际问题的能力.15、-7【解析】

由题意得AB+【详解】由题意得ABBC+∴AB+【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量的加减运算,将所给向量统一用AC,16、【解析】

根据圆柱的体积为,以及圆锥的体积公式,计算即得.【详解】由题得,,得.故答案为:【点睛】本题主要考查圆锥体的体积,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】

(1)根据同角三角函数式可求得,结合正弦和角公式求得,即可求得,进而由三角函数(2)设根据余弦定理及基本不等式,可求得的最大值,结合三角形面积公式可求得的最大值,即可求得四边形面积的最大值.【详解】(1),则由同角三角函数关系式可得,则,则,所以.(2)设在中由余弦定理可得,代入可得,由基本不等式可知,即,当且仅当时取等号,由三角形面积公式可得,所以四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用,余弦定理及不等式式求最值的综合应用,属于中档题.18、(1)(2)【解析】

(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得,可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号).由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.19、(1),,,中位数;(2)①三层中抽取的人数分别为2,5,13;②【解析】

(1)根据频率分布直方表的性质,即可求得,得到,,再结合中位数的计算方法,即可求解.(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人,根据抽样比,求得在三层中抽取的人数;②由①知,设内被抽取的学生分别为,内被抽取的学生分别为,利用列举法得到基本事件的总数,利用古典概型的概率计算公式,即可求解.【详解】(1)由题意,可得,所以,.设一周课外读书时间的中位数为小时,则,解得,即一周课外读书时间的中位数约为小时.(2)①由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人,抽样比为,又因为,,的频数分别为20,50,130,所以从,,三层中抽取的人数分别为2,5,13.②由①知,在,两层中共抽取7人,设内被抽取的学生分别为,内被抽取的学生分别为,若从这7人中随机抽取2人,则所有情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21种,其中2人不在同一层的情况为,,,,,,,,,,共有10种.设事件为“这2人不在同一层”,由古典概型的概率计算公式,可得概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表的性质,中位数的求解,以及古典概型的概率计算等知识的综合应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.20、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】

运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。21、(1)证明见解析;(2)最小值为1【解析】

(1)利用基本不等式可得,再根据0<xy<1时,即可证明|x+z|⋅|y+z|>4xyz.(2)由=,得,然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3,从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.【详解】(1)证明:∵x,y,z均为正数,∴|x+z|⋅|y+z|=(x+z)(y+z)≥=,当且仅当x=y=z时取等号.又∵0<xy<1,∴,∴|x+z|⋅|y+z|>4xyz;(2)∵=,即.∵,,,当且仅当x=y=z=1时取等号,∴,∴xy+yz+xz≥3,∴2xy⋅2yz⋅2xz

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