第八章 立体几何（单元测试）（解析版）

第八章立体几何（单元测试）【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习一、选择题（每小题4分，共40分）1．如图是由6个相同的小正方体组成的几何体．从上面看到的这个几何体的形状图是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据三视图的定义即可判断.【详解】从俯视图的定义可知，从上往下看到几何体形状为

.故选：C.2．正四面体的六条棱一共可以构成（

）对异面直线.A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【答案】B【分析】根据异面直线的定义，由正四面体的特征即可求出.【详解】如图，正四面体的六条棱所在直线中，成异面直线的有和，和，和，正四面体的六条棱一共可以构成对异面直线.故选：B.3．已知直线，两个不重合的平面．若α//β，，则下列四个结论中正确的是（

）①与内的所有直线平行；②与内的无数条直线平行；③与内任何一条直线都不垂直；④与没有公共点．A．①② B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】根据面面平行的性质即可解得.【详解】①：分别在两平行平面内的直线可能平行或异面，故①错误；②：α//β，，则与内的无数条直线平行，故②正确；③：与内的直线可能异面垂直，故③错误；④：α//β，，则与没有公共点，故④正确，故选：B4．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（）A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断.【详解】因为梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直.故选：A.5．以下命题中错误的是（

）A．圆柱的截面一定是矩形或圆B．圆锥的轴截面一定是一个等腰三角形C．三个相同的圆锥可以组成一个同底等高的圆柱D．一个球的体积增加到原来的8倍，则半径增加到原来的2倍【答案】A【分析】根据圆锥、圆柱的概念即可判断选项A、B、C，根据球的体积公式即可判断选项D.【详解】对A：圆柱的截面是矩形、圆或椭圆等，故A项错误；对B：圆锥的轴截面一定是一个等腰三角形，故B项正确；对C：三个相同的圆锥可以组成一个同底等高的圆柱，故C项正确；对D：一个球的体积增加到原来的8倍，由，可得半径增加打怕原来的2倍，故D项正确.故选：A.6．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等腰直角三角形的结构特征与其面积求得其底与高，从而得到圆锥的体高与底面半径，再利用圆的锥的体积公式即可得解.【详解】依题意，设圆锥的轴截面等腰直角三角形的腰长为，则，解得，所以轴截面等腰直角三角形的底为，高为，则圆锥的高、底面半径均为，所以圆锥的体积为.故选：D.7．下列说法正确的是（）A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形【答案】D【分析】根据多面体的特性即可判断.【详解】有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥，A错误，有两个面互相平行，其余各面均为梯形且各条侧棱延长线交于一点的多面体是棱台，B错误，棱柱的底面是平行且相等的多边形，侧面是平行四边形，C选项没有明确这两个平行的面是相等且为多边形，C错误，棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形，D正确，故选：D．8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据线面，面面之间的关系，利用其判定定理及性质定理即可判断.【详解】是两条不同的直线，是两个不同的平面，对于，若，则与平行或相交，故错误；对于，若，则或，故错误；对于，若，由面面垂直的判定定理可得，故正确；对于，若，则或与相交或，故错误，故选：.9．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列命题是真命题的为（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【分析】根据直线与平面之间的关系判断即可.【详解】若，，则或l与相交但不垂直，故A是假命题；若，，则，又，∴，故B是真命题；若，，则或或m与相交但不垂直，或者，故C是假命题；若，，则m或，故D是假命题，故选：B.10．正方体中，P、Q分别为棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，可得，即为所求，再利用正方体的性质即可求解.【详解】连接，∵P、Q分别为棱、的中点，∴，故即为所求，由正方体的性质可知为等边三角形，所以，即异面直线与BD所成角的大小为，故选：C.二、填空题（每小题4分，共20分）11．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则这个圆锥的侧面积为．【答案】【分析】由条件求出底面半径，然后利用圆锥的侧面积公式求解.【详解】∵圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且母线长，∴圆锥的底面半径，∴这个圆锥的侧面积.故答案为：.12．下列四个条件中，能确定一个平面的是（填编号）①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线【答案】②④【分析】根据确定平面的基本性质2（即公理2）及推论，逐一判断即可得解.【详解】对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误．对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确；对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误．对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，，则直线、唯一确定平面，即，，又，，所以，，又，，所以，即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确；故答案为：②④．13．长方体的条棱的总长度为，表面积为，那么长方体的对角线长为．【答案】【分析】先利用已知条件求出长方体的长、宽、高，再求出长方体对角线即可.【详解】设长方体的长、宽、高分别为，∵长方体的条棱的总长度为，表面积为，可得，可得，∴，∴，∴长方体的对角线长为.故答案为：.14．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距.【答案】【分析】根据二面角的概念和余弦定理易得答案.【详解】作，且，连结，，则为平行四边形，，，，平面，平面且，因为四边形为平行四边形，，平面，平面，中，，中，.故答案为：.15．已知正方形的边长为1，对角线与的交点为，以为棱折成的二面角，则点到的距离为.【答案】/【分析】根据二面角的定义找出二面角的平面角，再结合点到直线的距离和正弦的定义即可求解.【详解】如图，因为平面平面，且平面平面，由四边形是正方形可知，所以为二面角的平面角，即，设点到的距离为，则.故答案为：三、解答题（共6小题，共60分）16．已知棱长为4，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥.(1)求它的表面积；(2)求它的体积.【答案】(1)(2)【分析】（1）四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和，从而得解；（2）利用正四棱锥的结构特征得到为棱锥的高，再利用棱锥体积公式即可得解.【详解】（1）因为四棱锥的各棱长均为4，底面为正方形，各侧面均为正三角形，所以它的表面积为；（2）连接、，，连接，则为棱锥的高，则，故棱锥的体积.17．一个球的截面面积为，截面到球心的距离为，求这个球的半径与表面积．【答案】，【分析】由截面面积求出截面半径，再求出球的半径，进而求出表面积即可.【详解】由题意，设截面的半径为，球的半径为，则，解得，又截面到球心的距离为，所以球的半径，由球的表面积公式可得，球的表面积，故这个球的半径为，表面积为.18．如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(1)求圆柱的表面积；(2)求图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得圆柱和圆锥的高为，圆锥的底面半径和球的半径为r，直接由圆柱表面积公式求得圆柱的表面积；（2）分别求出图中圆锥、球、圆柱的体积，作比即可得解.【详解】（1）已知圆柱的底面半径为r，因为球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，则圆柱和圆锥的高为，圆锥的底面半径和球的半径为r，则圆柱的表面积为.（2）由（1）知圆柱和圆锥的底面半径为r，圆柱和圆锥的高为，球的半径为，，，，所以图中圆锥、球、圆柱的体积比为.19．如图，在正方体中，为线段的中点.(1)证明：直线平面；(2)证明：直线平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面；（2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面.【详解】（1）∵在正方体中，平面，平面，∴，又∵在正方形中，为线段中点，∴，又，平面，∴直线平面.（2）连接，如图，在正方体中，四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，在正方体中，四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，又，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面.20．如图，已知空间四边形中，，，是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由条件并利用等腰三角形的性质可得，根据直线与平面垂直的判定定理证得.（2）由（1）知，而，利用平面与平面垂直的判定定理证得.【详解】（1）证：∵，是AB的中点，由等腰三角形的性质可得,.所以中的两条相交直线CE和DE，∴.（2）证：由（1）知，而，则.21．已知多面体中，平面，，，，为中点.

(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）先根据二面角的定义找到二面