鲁教版七年级数学上册第二章轴对称第4课时等边三角形及含30°角的直角三角形的性质课件

第二章轴对称3简单的轴对称图形第4课时等边三角形及含30°角的直角三角形的性质基础过关全练知识点4等边三角形的性质及判定1.(2024山东泰安岱岳期中)在△ABC中,AB=AC=BC,则∠A的

度数是

(

)A.40°

B.50°

C.60°

D.70°C解析∵AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.故选C.2.(2024山东菏泽曹县期中)如图,△ABD是等边三角形,BC=

BD,∠BAC=20°,则∠CBD的度数为

(

)

A.50°

B.60°

C.70°

D.80°D解析∵△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∠ABD=60°,∵BC=BD,∴AB=BC,∵∠BAC=20°,∴∠ACB=∠BAC=20°,∴∠ABC=180°-2∠BAC=140°.∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=140°-60°=80°.故选D.3.(2024山东滨州滨城期中)下列推理中,不能判定△ABC是等

边三角形的是

(

)

A.∠A=∠B=∠C

B.AB=AC,∠B=60°C.∠A=60°,∠B=60°

D.AB=AC,∠B=∠CD解析

A.由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以

判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;B.由“有一

个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;C.由“∠A=60°,∠B=60°”可以得到“∠C=60°”,进而得到∠A=∠B=∠C,则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;D.由“AB=AC,∠B=∠C”

只能判定△ABC是等腰三角形,故本选项符合题意.故选D.4.(2022山东临沂临沭期末)如图所示的是由三个等边三角形

随意摆放组成的图形,则∠1+∠2+∠3=

(

)A.90°

B.120°

C.180°

D.无法确定C解析如图,由题易知∠1=180°-60°-∠ABC=120°-∠ABC,∠2=180°-60°-∠ACB=120°-∠ACB,∠3=180°-60°-∠BAC=120°-∠BAC,因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,所以∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.故选C.5.(2024山东滨州期末)如图,在等边△ABC中,D为BC边的中

点,以A为圆心,AD长为半径画弧,与AC边交于点E,连接DE,则

∠ADE的度数为

(

)

A.60°

B.105°

C.75°

D.15°C解析∵△ABC为等边三角形,D为BC边的中点,∴∠BAC=60°,AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,由题意可知AD=AE,∴∠AED=∠ADE=

×(180°-30°)=75°.故选C.6.(2024山东聊城阳谷期中)如图,△ABC为等边三角形,BD⊥

AC于点D,DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△ADE是等边三角形.(2)求证:AE=

AB.证明

(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=60°,∠ADE=∠C=60°.∴△ADE是等边三角形.(2)∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC.∵BD⊥AC,∴AD=

AC.∵△ADE是等边三角形,∴AE=AD，∴AE=AB.知识点5含30°角的直角三角形的性质7.(2024山东济宁学院附中期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=2cm,则BC的长为

(

)

A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.10cmA解析∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°,∵AB⊥AD,∴∠BAD=90°,∴AD=

BD,∵AD=2cm,∴BD=4cm,∵∠CAD=∠BAC-∠BAD=30°,∴∠CAD=∠C,∴CD=AD=2cm,∴BC=BD+CD=4+2=6(cm).故选A.8.(2023贵州中考)2023年5月26日,“2023中国国际大数据产

业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何

元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶

角为120°,腰长为12m,则底边上的高是

(

)

A.4m

B.6m

C.10m

D.12mB解析如图,作AD⊥BC于点D,

在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=∠C=

(180°-∠BAC)=30°,∵AD⊥BC,∴AD=

AB=

×12=6(m).故选B.9.(教材变式·P54T3)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为

(

)

A.1.5

B.2

C.3

D.4B解析∵∠DBC=60°,∠C=90°,∴∠BDC=90°-60°=30°,∴BD=2BC=2×1=2,∵∠C=90°,∠A=15°,∴∠ABC=90°-15°=75°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD=2.故选B.能力提升全练10.(2024山东青岛莱西期末,6,★★☆)如图,直线a∥b,等边△ABC的顶点C在直线b上,若∠1=38°,则∠2的度数为

(

)

A.142°

B.128°

C.98°

D.92°C解析设直线a与AB交于点D,与AC交于点E,点F在点E右侧

的直线a上,如图所示.∵∠1=38°,∴∠ADE=∠1=38°,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,∴∠AED=180°-60°-38°=82°,∴∠AEF=180°-82°=98°,∵a∥b,∴∠2=∠AEF=98°.故选C.11.(2024山东威海文登期中,10,★★☆)如图,在等边△ABC

中,AB=5,点D在AB上,且BD=1,点E、F分别是BC、AC上的

点,连接DE,EF,如果∠DEF=60°,DE=EF,那么BE的长是

(

)

A.3

B.3.5

C.4

D.4.5C解析∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,AB=BC=5,∵∠CEF=180°-∠C-∠EFC,∴∠BEF=180°-∠CEF=∠C+∠EFC,又∠BEF=∠BED+∠FED,∠DEF=∠C=60°,∴∠BED=∠EFC,在△DBE和△ECF中,

∴△DBE≌△ECF(AAS),∴DB=EC=1,∴BE=BC-EC=5-1=4.故选C.12.(2024山东滨州期末,10,★★★)在等边△ABC中,D、E分

别为AB、AC边上的动点,BD=2AE,连接DE,以DE为边在△

ABC内作等边△DEF,连接CF,当D从点A向点B运动(不运动

到点B)时,∠ECF度数的变化情况是

(

)

AA.不变

B.变小C.变大

D.先变大后变小解析在AC上截取CN=AE,连接FN,如图所示.

∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,AB=AC,∵BD=2AE,∴AD=EN,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF,∠DEF=60°,∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,∴∠ADE=∠NEF,在△ADE和△NEF中,

∴△ADE≌△NEF(SAS),∴AE=FN,∠FNE=∠A=60°,∴FN=CN,∴∠NCF=∠NFC,∵∠FNE=60°,∴∠FNC=120°,∴∠NCF=

×(180°-120°)=30°,即∠ECF=30°,∴∠ECF的度数不变.故选A.13.(2023江西中考,10,★★☆)将含30°角的直角三角板和直

尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分

别为1cm,3cm,则线段AB的长为

cm.

2解析易知∠ACB=∠α=60°,∵∠A=60°,∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°,∴∠A=∠ABC=∠ACB,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=3-1=2(cm).故答案为2.素养探究全练14.(动点问题)(推理能力)(2023山东德州七中期末)在边长为

9的等边三角形ABC中,点Q是BC上一点,点P是AB上一动点

且以每秒1个单位的速度从点A向点B运动,设运动时间为t秒.(1)如图1,若BQ=6,PQ∥AC,求t的值.(2)如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从点B出发,按“B→C→A”路线运动,则当t为何值时,△APQ为等边三角形?解析

(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°,∴∠B=∠BQP=∠BPQ,∴△BPQ是等边三角形,∴BP=BQ,由题意可知AP=t,则BP=9-t,∴9-t=6,解得t=3,即t的值为3.(2)分两种情况讨论:①当点Q在边BC上时,易知△APQ不可能为等边三角形;②当点Q在边AC上时,如图,若△APQ为等边三角形,则AP=AQ,由题意可知AP=t,BC+CQ=2t,∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t,∴18-2t=t,解得t=6,∴当t=6时,△APQ为等边三角形.综上,当t=6时,△APQ为等边三角形.

微专题将军饮马模型例

(2024福建厦门同安期末)如图,在△ABC中,AB=AC,

AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M,P是直线MN上一动点,

点H为BC的中点.若BC=5,△ABC的面积是30,则PB+PH的最

小值为

(

)

A.5

B.6