广东2025年1月春季高考模拟测试数学试卷试题（含答案解析）

第第页2025年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合M={0，1，2}，N={－1，0，1}，则M∪N=A．{0，1} B．{0，1，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}2.函数的定义域为().A.{}. B.{}.C.{}. D.{x|x≥4}3.若点在角的终边上，则（）A．B．C．D．4.命题“∀x∈R，sinx＋1≥0”的否定是()A．∃x0∈R，sinx0＋1<0 B．∀x∈R，sinx＋1<0C．∃x0∈R，sinx0＋1≥0 D．∀x∈R，sinx＋1≤05.若复数，则复数z的虚部为（）.A．1 B．-5 C．5 D．56.不等式x(x-2)≤0的解集是().A、[0,2)B、(-∞,0)∪(2,+∞)C、(-∞,0]∪[2,+∞)D、[0,2]7.下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的30%分位数为（

）A．2 B．3 C．4 D．2.58.已知a>0，b>0，如果ab＝9，那么a+b的最小值为（

）A．6 B． C．18 D．129.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝sinx B．y＝eq\f(2,x)C．y＝－x2＋4 D．y＝3－x10.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则实数x的值为()A．8B．2C．－2 D．－811.从a，b，c，d四个字母中，随机抽取一个字母，则抽到字母a的概率是（）A．B．C．D．112.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=,c=,则△ABC的面积是.14.若函数，则___________．15.已知函数的最小正周期为，则.16.cos40°cos10°+sin40°sin10°=__________.17.lg0.01＋log216＝_____________.18.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）19.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求b和c的值；(2)求的值．20.为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？21.某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．22.如图，长方体中，，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．答案解析一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合M={0，1，2}，N={－1，0，1}，则M∪N=A．{0，1} B．{0，1，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}答案：C.2.函数的定义域为().A.{}. B.{}.C.{}. D.{x|x≥4}【答案】C.3.若点在角的终边上，则（）A．B．C．D．答案：A4.命题“∀x∈R，sinx＋1≥0”的否定是()A．∃x0∈R，sinx0＋1<0 B．∀x∈R，sinx＋1<0C．∃x0∈R，sinx0＋1≥0 D．∀x∈R，sinx＋1≤0【答案】A5.若复数，则复数z的虚部为（）.A．1 B．-5 C．5 D．5答案：C6.不等式x(x-2)≤0的解集是().A、[0,2)B、(-∞,0)∪(2,+∞)C、(-∞,0]∪[2,+∞)D、[0,2]【答案】D.【解析】不等式x(x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,所以该不等式的解集是[0,2].7.下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的30%分位数为（

）A．2 B．3 C．4 D．2.5答案：D.解析：10个数，10×30%=3，3为整数，所以第30%分位数为第3和第4个数的平均数2.5。8.已知a>0，b>0，如果ab＝9，那么a+b的最小值为（

）A．6 B． C．18 D．12【答案】A9.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝sinx B．y＝eq\f(2,x)C．y＝－x2＋4 D．y＝3－x【答案】A解析：由题意得函数y＝sinx在(0,1)上为增函数，函数y＝eq\f(2,x)，y＝－x2＋4，y＝3－x在(0,1)上都为减函数．故选A．10.已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则实数x的值为()A．8B．2C．－2 D．－8答案：B【解析】∵a∥b，∴4－2x＝0，得x＝2.11.从a，b，c，d四个字母中，随机抽取一个字母，则抽到字母a的概率是（）A．B．C．D．1答案：A12.已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A.二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）13.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=,c=,则△ABC的面积是.答案：.14.若函数，则___________．答案：-2.15.已知函数的最小正周期为，则.【答案】2.16.cos40°cos10°+sin40°sin10°=__________.答案：32【解析】cos40°cos10°+sin40°sin10°=cos(40°-10°)=317.lg0.01＋log216＝_____________.【答案】2【详解】lg0.01＋log216＝－2＋4＝2考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.18.如图，在正方体中，异面直线与所成的角为【答案】；【解析】连接与，因为，则为所求，又是正三角形，.三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）19.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为．(1)求b和c的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由面积公式可得结合可求得解得;（2）由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值.【详解】（1）△ABC中,由得由,得又由解得（2）由,可得a=8.由,得.20.为落实中央“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入300万元研发资金用于蔬菜的开发与种植，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金数比上一年增长.（1）以2021年为第1年，分别计算该企业第1年、第2年投入的研发资金数，并写出第年该企业投入的研发资金数（万元）与的函数关系式以及函数的定义域；（2）该企业从哪年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元？【答案】（1），；（2）从年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.【解析】【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，写出前2年的研发资金，进而确定函数解析式及定义域；（2）由（1）得，利用指数的性质、对数运算求解集，进而判断从哪年开始研发资金数将超过600万元即可.【详解】（1）由题设，第1年研发资金为：万元；第2年研发资金为：万元；∴第年研发资金：且定义域为；（2）由（1）知：，即，∴，故从第8年即年开始，每年投入的研发资金数将超过600万元.21.某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动．(1)求从该班男女同学中各抽取的人数；(2)从抽取的5名同学中任选2名谈对此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率．[解](1)抽取的5人中男同学的人数为5×eq\f(30,50)＝3(人)，女同学的人数为5－3＝2(人)．(2)记3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．用C表示“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P(C)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).22.如图，长方体中，，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：．（Ⅰ）证明：连接交于，连接．在长方体中，，∴底面是正方形，∴．（2分）∵，∴．（3分）又∵平面，平面，（5分）∴平面．（6分）（Ⅱ）证明：在长方体中，平面，又平面∴．