中考数学专项复习：相交线中求角（解析版）

专题02相交线中求角

【例题讲解】

如图，直线48,CD相交于点O,OE平分乙BOD,OF平分4COE.

(1)若乙40c=76。，求乙8。斤的度数；

(2)若乙8。9=36。，求乙4OC的度数；

(3)请探究々OC与N8。尸的数量关系.

解：(1)VZBOD=ZAOC=76°,又•：OE平分NBOD,ZDOE=|ZBOD=|x76°=38°.

ZCOE=180°-ZDOE=180°-38°=142°,尸平分/COE,NEOF=；NCOE=gx142°=71°,

ZBOF=ZEOF-ZBOE=71°-38°=33°.

(2);OE平分NBOD,O尸平分/COE,：.ZBOE=ZEOD,ZCOF=ZFOE,

...设Z8OE=X,贝！|ZDOE=x,故NCO/=2x,NEOF=NCOF=x+36°,

贝！|4OC+NCOF+N3OF=2x+;r+36°+36°=180°,解得：x=36°,故N/OC=72°.

(3)由(1)知NBOF=/EOF-NBOE=；NCOE-；NBOD

=-(l80°-ZDOE)--ZAOC=90°--NBOD---ZAOC=90°--ZAOC--ZAOC

224242

33

=90°一一ZAOC,BOZBOF=90°一一ZAOC.

44

【综合解答】

1.如图，直线AB、CD相交于点O,OE把/BOD分成两部分,

⑴直接写出图中/AOC的对顶角为/BOE的邻补角为

c

【答案】⑴430。；UOE；(2)152°

【分析】(1)根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；

(2)根据对顶角相等求出NBOD的度数，再根据NBOE：NE0D=2：3求出NBOE的度数，然后利用

互为邻补角的两个角的和等于180。即可求出NAOE的度数.

【详解】解：(1)NAOC的对顶角是4B0D,NEOB的邻补角是NAOE,

故答案为NBOD,NAOE;

(2)••-ZAOC=70",

.­.ZBOD=ZAOC=70°,

•••ZBOE：ZE0D=2：3,

2

.-.ZBOE=——X70°=28°,

3+2

.­.ZAOE=180°-28°=152°.

・••NAOE的度数为152。.

【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的

和等于180。求解是解答此题的关键.

2.如图，直线AB、CD、EF相交于点0,0G平分NCOF,Zl=30°,Z2=45°.求N3的度数.

D

【答案】乙3=52.5。

【详解】试题分析：先求出NEOD的度数，从而得出NCOF=105。，再根据0G平分NCOF,可得N3的

度数.

试题解析：•21=30°,N2=45°

•••ZEOD=180°-Z1-Z.2=105°

.­•ZCOF=ZEOD=105"

又「OG平分NCOF,

.-.Z3=ZCOF=52.5°.

考点：对顶角、邻补角.

3.如图，直线/8、CD相交于点。，ADOE=ABOD,OF平分UOE.

C

⑴判断。尸与的位置关系，并说明理由；

(2)若乙4OC：乙4。0=1：5,求NEO尸的度数.

【答案】(1)0尸1。。，理由见解析；

(2)乙EO尸=60。

【分析】(1)利用角平分线的定义结合已知求出NFOD=90。即可得出答案；

(2)求出乙4OC的度数，再利用对顶角的性质和角平分线的定义求出乙8OD=乙4OC=N£O£>

30°,进而得出乙EO尸的度数.

(1)

解:OF1OD,

理由：•••(?尸平分乙4OE,

-,.Z.AOF=Z-FOE,

•:乙DOE=CBOD,

.-.AAOF+ABOD=AFOE+ADOE=yxl80°=90°,即乙尸。。=90°,

.•.O尸与OD的位置关系是OFLOD；

(2)

'-'Z-AOC：Z-AOD=1：5,

1

.­.Z^OC=-xl80°=30°,

6

工乙BOD=UOC=LEOD=30°,

山OE=120。，

：./.EOF=^/-AOE=&0°.

【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的性质，正确得出各角之间的关系是解题关

键.

4.如图，直线AB,CD相交于点。，EOVAB,垂足为O.

E

(1)若NEOC=35。，求Z4OD的度数；

(2)若NB0C=2NA0C,求ZDO£的度数.

【答案】(1)125°；(2)150°

【分析】⑴把/CO3的度数计算出来，再根据对顶角的性质即可得到答案；

(2)根据Z8OC=24OC,^ZAOC=x,NBOC=2x得至lj/BOD=//OC=60°,最后根据

EO1AB即可得到答案；

【详解】解：(1)VEOYAB,

AEOB=90°,

2COB=90°+NEOC=90°+35°=125°

ZAOD=ZCOB=1250-；

(2)VZBOC=2ZAOC,

.,.设N/OC=x,ZBOC=2x

又•:NBOC+ZAOC=180°

2x+x=180。,

x=60°,

/BOD=ZAOC=60°,

又・.・EOA.AB,

:.ZEOB=90°1

/DOE=/BOD+ZEOB=60°+90°=150°.

【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）和邻补角的性质，熟练掌握邻补角的性质和

对顶角的性质是解题的关键.

5.如图，直线AB,CD相交于。点，0M平分NAOB,

(1)若N1=N2,求NNOD的度数；

(2)若NBOC=4N1,求NAOC与NMOD的度数.

【答案】(1)90°；(2)ZAOC=60°；ZMOD=150".

【分析】⑴根据角平分线的性质可得Nl+2OC=90。，再利用等量代换可得N2+2OC=90。，利

用邻补角互补可得答案；

(2)根据条件可得90。+41=441,进而可得求出N1=30。，从而可得NNOC的度数，再利用邻补

角互补可得NMOD的度数.

【详解】(1);(W平分乙402,.•・41+乙4OC=90。.

•••N1=N2,.1•Z2+Z^OC=90o,.1.zAf(9Z)=180o-90°=90°；

(2)­•■Z5(9C=4Z1,.•.9O°+Z1=4Z1,.-.zl=30o,山OC=90°-30。=60。，ZMOD=180°-30°=

150°.

【点睛】本题考查了角平分线和邻补角，关键是掌握邻补角互补.

6.如图，直线AB,CD,EF相交于点O.

⑴写出NCOE的邻补角；

⑵分另U写出NCOE和NBOE的对顶角；

(3)如果NBOD=60。，ZBOF=90°,求NAOF和NFOC的度数.

【答案】(1)NCOE的令B补角为NCOF和NEOD;(2)NCOE和NBOE的对顶角分另U为NDOF和NAOF;

(3)ZFOC=150".

【分析】。)根据邻补角的定义(两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这

种关系的两个角)可得，NCOE的邻补角有NCOF和NEOD两个角；

(2)根据对顶角的定义(一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶

点)可得，NCOE和NBOE的对顶角分另I］为4D0F和NAOF；

(3)由NBOF=90。可得：AB1EF,所以NAOF=90。，由NAOC=NBOD可得：ZAOC=60",由

ZFOC=ZAOF+ZAOC即可求出NFOC的度数；

【详解】(1)NCOE的邻补角为NCOF和NEOD；

(2)ZCOE和NBOE的对顶角分别为NDOF和NAOF;

(3)•••zBOF=90°,

•••AB1EF

••.ZAOF=90°,

又,.2AOC=NBOD=60°

.­.ZF0C=ZA0F+ZA0C=900+60°=150o.

7.如图，直线48、CD相交于点。，OE平分乙BOD,OF平分4cOE.

⑴若乙40c=76。，求N8O尸的度数；

(2)若乙8。尸=36。，求乙4OC的度数；

［答案］⑴ZBO尸=33。

⑵々OC=72°

【分析】(1)先根据对顶角相等求出NBOD=76。，再由角平分线定义得NDOE=NBOE=38。，由邻补角

得NCOE=142。，再根据角平分线定义得NE0F=71。，从而可得结论.

(2)利用角平分的定义得出=ZCOF=AFOE,进而表示出各角求出答案.

【详解】(1)“AOC、NBOD是对顶角，

.­.ZBOD=ZAOC=76",

•••OE平分NBOD,

••.ZDOE=ZBOE=yZBOD=38"

••.ZCOE=142°,

尸平分NCOE.

.-.ZEOF=yZC0E=71°,

又NBOE+ZBOF=NEOF,

.•.NBOF=NEOF-ZBOE=71°-38°=33°,

（2）vOE平分乙BOD,OF平分乙COE,

NBOE=AEOD,NCOF=ZFOE,

:.设NBOE=x,贝ijNEOO=x,

故ACOA=lx,NEOF=NCOF=x+36°,

贝！JZAOC+ZCOF+ZBOF=2x+x+36°+36°=180°,

解得x=36。，

故乙4OC=72。.

【点睛】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质，解决本题的关键是掌握对顶角的定义（从一

个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）.

8.如图，直线AB、CD相交于点O,OE平分/BOC,ZCOF=90°.

⑴若乙40尸=50。，求乙的度数；

（2）若乙BOD-ZBOE=1:4,求乙4。尸的度数.

【答案】（1）ZBOE=70°；（2）ZAOF=70°.

【分析】（1）根据补角，余角的关系，可得NCO8,根据角平分线的定义，可得答案；

（2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得乙4OC,再根据余角的定义，可得答

案.

【详解】⑴,•NCO/与〃尸是邻补角，

.­.ZCOF=180°-Z£>OF=90°.

■■-^AOC与乙40尸互为余角，

.♦.ZJOC=90°-ZJOF=90°-50°=40°.

■：/.AOC与乙BOC是邻补角，

.."02=180°-^40c=180°-40°=140°.

■0E平分乙80C,

二乙BOE=g乙BOC=70°；

⑵480。:乙8OE=1:4,

设48OD=ZL4OC=X,/-BOE-Z-COE=4X.

"LAOC与乙BOC是邻补角，

.•.乙4。。+乙20。=180°,

即x+4x+4x=180。，

解得x=20。.

■：/-AOC与乙4。尸互为余角，

.­.Z^OF=90o-Z^OC=90°-20o=70°.

【点睛】此题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角，解题关键在于掌握其性质定义.

1

9.如图，N1=2N2,Zl+Z2=162°,求N3与44的度数.

【答案】43=54。44=72°

【详解】试题分析：本题首先根据方程思想，求出.41、N2的度数，再根据对顶角、邻补角的关系

求出Z3与N4的度数.

1

试题解析：由己知41=2/2,41+42=162°,

解得：21=54°,42=108°.

•.21与N3是对顶角，

-1=54°.

••Z2与N4是邻补角，

.•24=180°-42=72°.回

考点：1二元一次方程组;2对顶角;3邻补角.

10.如图，直线46,CD相交于点O,£0148,垂足为。.

E

cB

O

AD

⑴若NCO£=35。，则乙4。。的度数为。(直接写出结果)；

(2)若乙40D+NCOE=17O。，求NCOE的度数.

【答案】(1)125

(2)40°

【分析】(1)先根据两角互余求出乙40c的度数，再利用邻补角即可求出乙1OD的度数；

(2)设44OC=x,则/40C=/BOD=x,再利用周角列出方程，解出x的值之后再利用互余即

可求出NCOE的度数.

(1)

解：•."。£=35。，EOVAB,

：.ZAOE=ZCOE+ZAOC=90°,

ZAOC=90°-35°=55°.

又,:UOD是乙40c的邻补角，

ZAOD^180°-ZAOC=125°.

(2)

解：设N/OC=x,贝1叱/。。=48。。=工，

ZAOD+ZCOE+NAOC+ZBOD+ZBOE=360°,

即170°+90°+2x=360°,

解得x=50。.

.•./COE=90°-50°=40°.

【点睛】本题考查了两角互余的关系和邻补角以及周角，解题的关键是熟练掌握互余、互补的概念

和对顶角相等以及周角为360。，互余是指两角之和为90。，互补是指两角之和为180。，并且熟知两

个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.

11.如图，直线42,相交于点。，C史把分成两部分.

A

D

（1）直接写出图中448的对顶角为,的邻补角为.

（2）若//OC=90。，＞ABOE:AEOD=2:3.求/EOC的度数.

【答案】（1）ZBOC,ZEOC；（2）126°

【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；

（2）根据对顶角相等求出乙80。的度数，再根据乙BOE：^EOD=2：3求出乙8。£和NE0D的度数,

即可求出NEOC的度数.

【详解】解：（1）N/OD的对顶角为N80C,NOOE的邻补角为/E0C.

（2）"BOE：Z£OD=2：3,设NB0E=2x,ZE0D=3x,

贝（JZBOD=ZAOC=5x=90°

解得：x=18°.

•••ZDOE=3x=54°.

•••ZEOC=180°-ZDOE=126°.

【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

12.如图，直线N8和。相交于点。，把々。C分成两部分且乙4OE：N£OC=3：5,。/平分

乙BOE.

(1)若/2。£>=80°,求MOE；

(2)若N8OF="OC+14°,求乙EOF.

E

0

Z)

【答案】(1)150°；(2)78°

【分析】(1)根据对顶角相等，可得乙40c的度数，根据乙4。£：乙EOC=3：5,可得乙根据

邻补角，可得答案；

(2)根据角平分线的性质，可得4BOE,根据々OE：乙EOC=3：5,可得乙4OE,根据邻补角的关

系，可得关于乙40c的方程，根据角的和差，可得以OE,根据角平分线的性质，可得答案.

【详解】解：(1)由对顶角相等，得\。。=乙8。。=80。，

•••OE把乙4OC分成两部分且乙4OE：乙EOC=3：5,

3

.,.乙AOE=UOCx力=30°,

8

由邻补角，得乙BOE=180°-2LAOE=180°-30°=150°,

(2)OF平令(BOE,

.」BOE=2(BOF=2400+28°,

,-'Z.AOE：Z-EOC—3：5,

3

•，-Z-AOE=-Z.AOC,

8

3

由邻补角，得乙8。£+4。£=180。，BP2z^OC+28°+-Z^OC=180°,

o

33

解得ZJOC=64°,/.AOE^-^LAOC^-x64=24°,

88

由角的和差，得乙BOE=180。-乙4。£=180。-24°=156°,

「OF平分乙BOE,

:/EOF=|乙BOE=yxl56°=78°.

【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和角平分线的定义以及角的和差倍分关系，解决本

题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和角的和差倍分关系.

13.如图，直线4B,CD相交于点O,OE1AB,垂足为O.

(1)直接写出图中/40C的对顶角为,的邻补角为:

(2)若NBOD:NCOE=1:2,求440。的度数.

【答案】(1)ZBOD-,/BOC,NAOD；(2)150°

【分析】(1)根据对顶角、邻补角的定义寻找对顶角和邻补角即可;

(2)设NBOD=x,则NC0E=2x,再根据NBOD与ZCOE互余可求得X的值，从而得出NAOC的大小,

进而得出NAOD的大小.

【详解】(1)NAOC的对顶角为：ZBOD

ZBOD的邻补角为：ZBOC,ZAOD

(2)•••ZBOD:ZCOE=1:2

设NBOD=x,则NCOE=2x

•••OE1AB

.-.ZEOB=90°

.­.ZCOE+ZBOD=90°,即x+2x=90°

解得：x=30。

.-.ZBOD=ZCOA=30"

•••ZAOD=150°

【点睛】本题考查角度的简单推导，解题关键是利用对顶角相等和补角为180。转化求解.

14.如图，直线儿CN相交于点O,。/是NM0C内的一条射线，是XVOD内的一条射线,

NMON=70°.

(1)若求N8ON的度数；

(2)若乙4。。=