重庆市某中学2024-2025学年高三年级上册期中模拟考试数学试题（含解析）

重庆市杨家坪中学高2025届高三上期中模拟考试数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填

写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条

形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的

答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={Hx<l}，3={M0g2X<l},则（）

A.Ac5={x|x<l}B.=

C.AnB=1x|0<x<ljD.AnB=1x|x<0}

【答案】C

【解析】

【分析】先根据对数的单调性以及定义域求出集合8,再根据两个集的交、并运算即可求解.

【详解】根据对数运算性质可得log2X<log22,

所以可得0<x<2,即5={x[0<x<2},

对于A,AC3={M无<l}c{尤|0<无<2}={可0(尤<1},故A错误；

对于B,AoJB=|x|x<l}o|x|0<x<2}=1%|%<21,故B错误；

对于C,由A选项知道Ac3={x|尤<“c{x[0<x<2}={司0<%<1},故C正确;

对于D,由A选项知道Ac3={x|尤<l}c{x[0<x<2}={x[0<x<l},故D错误.

故选：C

4

2.复数z=(l+9i)2+——，则彳=()

1-i

A.l+3iB.l-3iC.2+4iD.2-4i

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘法与除法运算化简得z,再根据共辗复数的概念即可得结论.

.、24_..24(1+i)_.4+4i_.__....

【详解】因为z=(l+i)+-~~r=l+2i+i'+―————=21+-―—=21+2+21=2+41,

1-1(l-i)(l+i)1-1

所以彳=2—4i

故选：D.

“x+4y

3.已知苍丁为正实数，且x+y=l,则——-的最小值为()

【答案】B

【解析】

【分析】根据基本不等式“1”的巧用即可得最值.

【详解】因为正实数x,y满足x+y=l,

4yx21

当且仅当上=—即x=—,y=—时，等号成立.

xy3"3

故选：B.

4.已矢口数歹！满足勾+2/+3%+…+"&="(〃+2),则与=()

313335

A.2B.—C.—D.—

161616

【答案】C

【解析】

。I1

【分析】利用“22时，4=S“—S“_i，推得代入”=16,求出答案.

【详解】由题意可得+2。2+3%+…="(〃+2)①,

FHHH

所以〃22时，勾+2出+34-----(—l)tzw,=(—1)(+1)②,

rs[QQ

①一②得"%=2〃+l,所以%,=/一(n>2),所以

故选：c.

jr

5.在VABC中，“C=—”是“sin2A+sin25='而（）

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.

【详解】一方面：

C=—=>A+B=—=>sinA=sin[—-6|=cosB=>sin2A+sin2fi=cos2B+sin2B=1,

22U）

另一方面：A=,B=C=—=>sin2A+sin2B=-+f—=1,但。。火，

3612J①2

jr

所以“C=—”是“sin2A+sin2B=1”的充分不必要条件.

2

故选：A.

6.某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学

前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（）

A.48种B.36种C.24种D.18种

【答案】B

【解析】

【分析】先安排甲乙，共有3种安排，剩下3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除

甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解.

【详解】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种

选法；

剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有A；种安排方法；第二类三个人去

除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有C；A；种安排方法；

所以共有不同的安排方案有3x（A；+C；A；）=36种，

故选：B.

7.如图，在平面直角坐标系中，以。4为始边，角a与£的终边分别与单位圆相交于两点，且

々^^^^,,?兀)若直线所的斜率为；，则sin(tz+/7)=()

【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数的定义可设E(cosa,sina),厂(cos民sin，)，结合直线的斜率公式及和差角公式先

求出tan"2,然后结合二倍角公式及同角基本关系可求.

2

【详解】由题意可设E(cosa,sina),尸(cos，,sin/?),

c.a-B

2cos----sin...-

则直线所的斜率人sina-si叱221_1

c.a+B.a-Ba+B3'

COSdf-COSp-2sin----sin...-tan——I

222

所以tan仪+[=-3，

2

c.a+Ba+B

2sin...-cos...-2tan.a.+.-B

3

所以sin(o+0=_______222二

2a+£1,a+/35

s.m-)a+-B+cos—1+tan2...-

222

故选：A.

k

8.若曲线y=—(左<0)与y=e)恰有2条公切线，贝|左=()

X

111

B.——C---D.-1

一正ee2

【答案】B

【解析】

【分析】设在曲线y=e工上的切点为(m,em),求出切线方程，设该切线方程与曲线y=-(k<0)相交于点

X

(«,-),由此可得-4左=(1)2暧，再利用导数研究函数应附=(1-根/"'的性质，结合题意即可得出答

n

案.

【详解】设在曲线y=e，上的切点为(私e,H),

由(e*)'=ex,可得过点(m,em)的切线斜率为e'"，

此时切线方程为y—e"'=em(x-m),即y=emx+em(l-m),

kkkk

设切线y=eZc+暧(1—m)与曲线y=—(左<0)相交于点(〃,一)，(一)'=——,

xnxx

k

a

e=--r

则n,

-=em-/7+em(l-rn)

消去〃，可得—4人=(1—〃力21，

依题意，直线y=与函数丸(7〃)=(1—根)20”的图象有两个不同的交点，

令=—2(1—Me'"+(1—根)2em=em(m-1)(/M+1)>0,

解得7〃<一1或7〃>1，

令li(m)<0,解得

则函数㈤在1),(l,+8)上单调递增，在(-M)上单调递减，

4

故以㈤极小值="(1)=°，以㈤极大值=，(—1)=—，且飘加)之。恒成立，当且仅当X=1时等号成立，当

e

W+oo时，h(jn)+oo,

要使直线y=与函数丸。“)=(1一7〃)2e"，的图象有两个不同的交点，

41

则需—4左=—,解得k=——.

ee

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到

方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结

论.

二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的有()

A.若经验回归方程为f=0.55x—0.6,则变量％与丁呈正相关

B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

c.响应变量y是由解释变量x唯一确定的

D.在独立性检验中，随机变量K?的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越大

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据回归直线和残差的意义、随机误差的产生和独立性检验的思想，依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,在经验回归方程中，g=o,55>O，二变量了与丁正相关，A正确；

对于B,回归分析中，残差分布水平带状区域宽度越窄，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B正确；

对于C,响应变量V除了受解释变量X影响外，可能还会收到其他因素的影响，从而导致随机误差e的产

生，C错误；

对于D,在独立性检验中，随机变量K?的观测值越小，说明两个变量有关系的可能性越小，则”认为两个

变量有关”这种判断犯错误的概率越大，D正确.

故选：ABD.

10.已知函数/(x)=sin|犬+口+sinlx-当l+cosx+a的最大值为1,则有()

A.a——1

JI4兀

B.单调减区间为2kn+—,2^71+—,k邑Z

C.最小正周期为兀

2兀

D./(%)20的解集为<x2kn<x<2kn+—>

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换将/(%)转化为正弦型三角函数，根据正弦函数的单调性、周期性、三角不等式

即可得逐项判断得结论.

【详解】/■(%)=sinfx+—>l+sinfx-—^l+cosx+fi!=^-sinx+—cosx+^-sinx-—cosx+cosx+a

I6；I6；2222

=A/3sinx+cosx+^z=2sin|x+—71\+a

6

所以函数/(x)max=2+a=l，则a=—1,故A正确；

则/(x)=2sin[x+E]—l,所以其最小正周期为T=彳=2兀，故C正确；

所以单减区间满足：

ITTT3冗714冗

—+2kii<x+—<----F2lai,左£Z,解得一+2kli<x<-----F2左兀,keZ,

26233

jr4兀

即函数/(九)单调减区间为2k7i+-,2k7i+—，左eZ,故B正确；

[7T11TTJTS1E

不等式/(x)2°，即sinX+—2—,则一+2EW%+—V—+2左兀,左wZ,

<6J2666

解得0+2bl<%<—2+2E,左eZ,解集为\x2kn<x<2knH--2--兀-,k&Z>.

3[3

故选：ABD.

11.已知函数/'(x)=]"一C+1'*40,下列关于函数y=/[/(x)]+2的零点个数的说法中，正确的是()

log2龙,x>0

A.当。(左<1时，有3个零点B.当左>1时，有1个零点

C.当左<0时，有8个零点D.当左=一4时，有8个零点

【答案】BD

【解析】

【分析】设f(x)=r,即有/«)=—2,选项A和B,当0〈左<1和左>1,丁=必—履+1在(-8,0]上单

调递减，且作出函数/(%)图象，数形结合，即可求解；选项C,取左=—2,作出函数/(%)图

象，数形结合，可得y=/[/(%)]+2只有3个零点，即可求解；选项D,当左=T时，作出函数/(%)图

象，数形结合即可判断得解.

【详解】令y=0,得力J(x)]=—2,则函数y=/U(x)]+2的零点个数即为了"(%)]=—2解的个数,

设/Xx)=r,则/«)=—2,二次函数丁=必—履+1,其图象开口向上，过点(0,1),对称轴为x=：,

对于选项A,当0v左vl时，V=-丘+1在(-8,0]上单调递减，且如图,

由/⑺=-2,得log?”",解得t=L由y(x)=/,得iog2x=；,解得力,

444一乙

因此函数y=/[/(%)]+2的零点个数是1,所以选项A错误，

对于选项B,当左>1时，y=42一日+1在(-QO,0]上单调递减，且如图，

由了⑺=-2,得log?”—2,解得/=工，由y(x)=r,得岷工=；,解得£,

_44A—Zz

因此函数y=/"(%)]+2的零点个数是1,所以选项B正确；

“、x2+2x+l,x<0°

对于选项C,当上二—2时，=\，作出函数/(%)的图象如图，

log2x,%>0

由图象知/«)=—2只有1个根，由log/=-2,解得t=L

4

当r=1时，/(%)=；若1。82'=~79贝|JY_)：，

444A—Zz

若X2+2X+1=；,则x=或X=—g,此时y=/[/(x)]+2有且只有3个解，所以选项C错误,

%2+4%+1x^0

对于选项D,当k=T■时，/(%)=<'—，作出函数/（X）图象如图,

log2x,x>0

MT

由图象知/⑺=—2有3个根，当/〉0时，log2”",解得/=工；

4

当/W0时，/+期+1=_2，解得/=—3或/=—1

当/=一时，f(x)=—,若log?1=—,贝!1丫_胃，若炉+4%+1=—,贝！lx=—2土——,此时共有3个

444X-242

解；

当/=—3时，/(x)=-3,此时log2——3有1个解，

必+4%+1=-3,即(x+2)2=0,得到》=一2,有1个解，

当r=一1时，f(x)=-1,止匕时log2X=-l,得到x=g,有1个解，

X2+4X+1=-1＞解得X=—2±J5,因此当k=T时，函数丁=7"(尤)]+2的零点个数是8,所以选

项D正确，

故选：AD

【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要

采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方

程的解.

二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著

作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为

例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为

1,3,7,13,则该数列的第10项为.

【答案】91

【解析】

【分析】由已知结合等差数列的通项公式及累加法即可求解.

【详解】设该二阶等差数列为｛%』，则4=1,%=3,织=7,%=13,

由二阶等差数列的定义可知，4―4=2,。3一。2=4,a4-a3-6,■■■,

所以数列｛。用-4｝是以。2—%=2为首项，公差d=2的等差数列，

即氏+1-4=2%

所以。2-。1=2,%_%=4,a4-a3=6,■■­,a/l+1-an=2n,

将所有上式累加可得an+i=4+"(27)=1+〃+1,

所以=92+9+1=91.

故答案为：91.

13.已知平面向量4=(2,1),5为单位向量，且5+B)_L5-25),则向量B在向量日上的投影向量的坐标

为.

【答案】日|]

【解析】

【分析】由①+方)，(万-25)得a6,计算B在方方向上的投影，进而得B在巨方向上的投影向量.

【详解】因为万=(2,1),所以।初=收互于=6,5为单位向量，出1=1,

又因为(M+6)-L(G-2b),所以(iJ+6)•(7—2b)=3~—3-b—2b?=5—/”一2=0,

a-b3

即彳小=3，5在万方向上的投影为^=7，

|«|V5

3a63

所以办在1方向上的投影向量为右x同=(不z二)X.

故答案为：(不二)•

14.己知函数/(x)的定义域为R,函数g(x)=/(x)+f为奇函数，且g(x+4)=g(x),则/(10)的值为

【答案】TOO

【解析】

【分析】由条件求得g(—2)=g⑵=0,g(6)=g(2)=0,g(10)=g⑹=0,从而求得了(10)的值.

【详解】因为函数g(x)=/(x)+*为奇函数，

所以有g(-2)=-g⑵，

因为g(x+4)=g(x),所以g(2)=g(—2),

得g(2)=-g(2)=0,

又g6=g(2)=。,

g(10)=g⑹=。,

即g(10)=/(10)+102=0,所以/(10)=—100.

故答案为：-too.

三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.在VABC中，角A5c的对边分别为a,b,c.已知s沅A+J1cosA=0，Z?2-«2+c2+10Z?=0;

S.ABC=15G

(1)求角A的值；

(2)NB4C的角平分线交BC于点。，求AD的长.

2兀

【答案】(1)—

3

⑵”

4

【解析】

【分析】(1)根据s沅A+6COSA=0,可得tanA=—百，结合角度范围即可得角A的值；

(2)根据余弦定理与三角形面积关系求解b,c得长度，再由，钿。=5..»+5»“计算可得">的长.

【小问1详解】

因为sinA+用cosA=0>所以tanA=—A/3;

27r

因为0<4<兀，所以A=胃；

【小问2详解】

由(1)知A=@,

3

由余弦定理得+/—〃2_2bccosA=—be，

则b1+c2—a1+10/?=0可得。=1。，

由S^ABC=-bcsinA=,可得Z?c=60,所以Z?=6,

即!605山空=工(>74£)5出4+!).74£)5111乌,

因为S&ABC=SAABD+/ACD,

232323

be60_15

所以AD=

b+c16-T

16.己知函数/(x)=；工3—g/2x2+2奴.

(1)若a=l,求函数/(x)的极值;

(2)讨论函数/(幻的单调性.

25

【答案】(1)极小值为一，极大值为一

36

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)对/(%)求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；

(2)/'(x)=(x—a)(x—2),对a分a=2,a>2和a<2讨论单调性即可.

【小问1详解】

13

/⑴=/一万/+2x"'(x)=(x-l)(x-2).

所以尤<1或x〉2时，/(%)>0,1<%<2时，/(x)<0,

则f(x)在(1,2)上递减,在(3,1),(2,大功递增,

25

所以f(x)的极小值为/(2)=-,极大值为/(1)=

36

小问2详解】

f'(x)=(x-a)(x-2),

当a=2时，/(x)>0,所以/(%)在(一夕+⑹上递增，

当a>2时，x<2或x>a时，/(%)>0；2<x<a时，/(%)<0,

所以/(x)在(-8,2),(a,+s)上递增，在(2,a)上递减，

当a<2时，x<a或x>2时，/(%)>0；。<尤<2时，/(x)<0,

所以/(幻在(-8,a),(2,+8)上递增；在(a,2)上递减.

17.设｛4｝是等比数列，也｝是递增的等差数列，也｝的前〃项和为S,,(“WN*)9=2,仇=1,

邑=%+4，〃2=4+4.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)将数列｛4｝与数列｛〃｝的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前40项

和.

【答案】(1)an=X,b“=n

(2)692

【解析】

【分析】(1)由等差数列、等比数列的通项公式和求和公式，解方程求得公差、公比，可得所求；

(2)由数列的单调性求得数列｛4,,｝的前5项和、数列｛2｝的前35项和，可得所求和；

【小问1详解】

设等比数列的公比为4,等差数列的公差为d(d〉0),

4b.+6d=a,+a,q~\l+6d=2q2

由己知条件得11,：i”，即1,

axq-2b\+2d\2q=2+2d

q—\「4=2

解得77(舍去)或7「

d=0[a=1

所以a.=qq"T=2",bn=bx+(ra-l)<7=«；

【小问2详解】

数列｛%｝与数列｛g｝都是递增数列，

〃=5,。5=32<40,〃=6,4=64>40,

2-2635x(1+35)

Q]+a?+%+%+=-----=62,4+4+•••+45=------------630,

1—22

新数列的前50项和为：1+2+2+3+4+4+5+6+…+35=62+630=692.

18.某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下

表：

性能指标X6677808896

产品件数102048193

（I）求该项性能指标的样本平均数元的值.若这批零件的该项指标X近似服从正态分布N（〃,cr2）,其中

〃近似为样本平均数%的值，=36，试求尸（74<XW92）的值.

（2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，

甲机床生产的零件的次品率为0.02,乙机床生产的零件的次品率为0.01,现从这批零件中随机抽取一件.

①求这件零件是次品的概率：

②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；

③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次

品，且该项性能指标恰好在（74,92］内的零件个数为丫，求随机变量Y的数学期望（精确到整数）.

参考数据：若随机变量自服从正态分布N（〃,）,则W6W〃+。）a0.6827,

P（A—2bWJ4A+2b）a0.9545,—3bWJW〃+3b）a0.997.

【答案】（1）80,0.8186

14

（2）①——；②一；③4

605

【解析】

【分析】（1）计算出平均数后可得X~N（80,36）,结合正态分布的性质计算即可得解；

（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得.

【小问1详解】

x=66x0.1+77x0.2+80x0.48+88x0.19+96x0.03=80-

因为X〜N（80,36）,所以cr=6,

则P（74<X〈92）=gp（〃—2crKX++（〃—crKX+

0.9545+0.6827

»---------------------=0.8186；

2

【小问2详解】

①设”抽取的零件为甲机床生产”记为事件A,

“抽取的零件为乙机床生产”记为事件4,

“抽取的零件为次品”记为事件8,

21

则P（A）=§,P（A2）=~,尸（5|A）=Q02,尸（514）=0.01,

则p(3)=p(4)p(研A)+P(4)P(研4)=〉0.02+；><0。1=竽=3；

333OU

2

②PN0-P(”)P(A)P(冏4)/(s_4

°(却P(B)-P(B)—J__5；

60

③由⑴及(2)①可知，这批零件是次品且性能指标在(86,92］内的概率2=^x0.8186,

且随机变量F〜6(300,p),

所以石(V)=300/?=300x^x0.8186=4.093»