中考数学复习：圆重难点题型专训（十大题型）（原卷版）

专题09圆重难点题型专训（十大题型）

旨【题型目录】

题型一圆的基本概念辨析

题型二求圆中弦的条数

题型三求过圆内一点的最长弦

题型四圆的周长和面积问题

题型五点与圆的位置关系

题型六三角形的外接圆

题型七确定圆的条件

题型八圆中角度的计算

题型九圆中线段长度的计算

题型十求一点到圆上点距离的最值

【知识梳理】

41经典例题一圆的基本概念辨析】

【例1】（2023秋•河北保定•九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所

对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

*【变式训练】

1.0023春•安徽•九年级专题练习）圆。的直径AB=26cm,点C是圆。上一点（不与点/、8重合），作8,N8

于点若CZ）=12cm,则的长是（）

A.8cmB.18cmC.8cm或18cmD.16cm

2.（2023春・山东济南•九年级校考开学考试）如图，正方形中，45=4,E点沿线段/。由/向。

运动（到。停止运动），/点沿线段由。向8运动（到8停止运动），两点同时出发，速度相同，连接

EF,作尸于P点，则在整个运动过程中尸点的运动轨迹长为

3.（2023春•广东河源•九年级校考阶段练习）如图所示，为。。的直径，是。。的弦，AB,。。的

延长线交于点E，已知AB=2Z）E,AAEC=20°.求//OC的度数.

_，3【经典例题二求圆中弦的条数】

【例2】（2023•浙江•九年级假期作业）如图，点A,O,。，点C,D,E以及点B,O,C分别在

一条直线上，则圆中弦的条数为（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

W【变式训练】

1.（2023秋•江苏•九年级专题练习）点A、0、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2023秋•九年级课时练习）如图，圆中有一条直径，—条弦，圆中以A为一个端点的优弧有—条，劣

弧有一条.

3.（2023•浙江•九年级假期作业）如图，“BC是。。内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求

画图.

图1图2

（1）在图1中，画山一条与3c相等的弦；

（2）在图2中，画出一个与全等的三角形.

1经典例题三求过圆内一点的最长弦】

【例3】（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，点48的坐标分别是/（4,0）,B（0,4）,点C为坐标

平面内一动点，8c=2,点M为线段NC的中点，连接OM,则0M的最大值为（）

A.也+1B.V2+—C.2A/2+1D.2>/2——

*【变式训练】

1.（2023秋・浙江•九年级专题练习）A、3是半径为5c加的。。上两个不同的点，则弦N3的取值范围是

（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<^S<10

2.（2023秋•全国•九年级专题练习）下列说法中正确的有_（填序号）.

（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积

相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图所示，48为。。的一条弦，点C为。。上一动点，且

ZBC4=30。，点E,尸分别是/C,的中点，直线E尸与。。交于G,，两点，若。。的半径为7,求

GE+切的最大值.

【经典例题四圆的周长和面积问题】

【例4】（2023春・山东泰安•九年级校考期中）如图两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点/开

始依《、B、C、D、E、F、C、G、/的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上

不断爬行，直到行走2006ncm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（）

A.。点B.K点C.尸点D.G点

*【变式训练】

1.（2023春•四川•九年级专题练习）如图，在A/B。中，乙408=90。，/9。=30。，BO=6,。。的面积

为12万，点、M,N分别在。。、线段43上运动，则儿W长度的最小值等于（）

A.2

C.V3D.2A/3

4

2.（2023秋・甘肃天水•八年级校考期末）如图，已知在RZABC中，乙4c5=90。，分别以NC,BC,4B为

直径作半圆，面积分别记为邑，S2,S3,若邑=9兀，则用+邑等于.

3.2023秋•上海徐汇•六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号,

如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4,两个小圆的半径均为2,请计算图中阴影部分的周长和面

劣【经典例题五点与圆的位置关系】

【例5】（2023秋・广东惠州•九年级校考阶段练习）如图，在RtA48c中，/C=90。，NC=4,3c=7,点

。在边2C上，CD=3,。/的半径长为3,。。与。/相交，且点8在。。外，那么。。的半径长「可能是

)

C.T=5D.r=7

【变式训练】

1.（2023•山东泰安・统考三模）如图‘抛物线＞="-4与x轴负半轴交于点/,P是以点CQ3）为圆心，2

为半径的圆上的动点，0是线段尸/的中点，连接则线段。。的最小值是（）

A.一B.2C.2V5-2D.273-2

2

2.（2023•河南南阳•统考一模）如图，点E是正方形/BCD边2C上一动点（点E不与点3、C重合），连接

DE,过点/作〃，小交于尸，垂足为尸，连接尸C,已知正方形的边长为2,则尸C的最小值

3.（2023秋•江苏•九年级专题练习）在矩形23C。中，AB=6,ND=8.

AI------------------------\D

B'-----------1c

（1）若以A为圆心，8长为半径作。/,则3、C、。与圆的位置关系是什么？

（2）若作。/,使3、C、D三点至少有一个点在ON内，至少有一点在外，则。/的半径「的取值范围

是_・

1经典例题六三角形的外接圆】

[例6]（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为“（-1,3）、8（-2,-2）、

C（4,-2）,则O8C外接圆半径的长为（

c.VioD.V13

W【变式训练】

1.（2023春•全国•九年级专题练习）如图，。。是等边三角形/8C的外接圆，若。。的半径为2,则

的面积为（）

A.叱B.V3C.2A/3D.36

2

2.（2023•广东东莞・模拟预测）如图，点。是等边“BC内部一动点，AB=6,连接4D,&）,CD,若

ZABD=ZBCD,则AD的长度最小值是.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）［探索发现］有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同

的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把

口△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.

［理解应用］

我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题

（1）如图2.在A48c中，ZA=1O5°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕

迹）.

（2）如图3,在AA5C中，zA=80°,zB=40°,AB=2也,请求出aABC的最小覆盖圆的半径

［拓展延伸］

（3）如图4,在AA8C中，已知AB=15,AC=12,BC=9,半径为1的。。在AA8C的内部任意运动，则。。

覆盖不到的面积是

图2

一、【经典例题七确定圆的条件】

【例7】（2023秋•九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（）

①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜

边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的

外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；

②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；

③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；

⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；

综上，真命题的个数为2个；

故选B.

【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定.熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形

的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键.

■【变式训练】

1.（2023春•九年级课时练习）如图，PA、尸3为OO的切线，切点分别为A、B,尸。交48于点C,PO

的延长线交OO于点D.下列结论不一定成立的是（）

A.八郎/为等腰三角形B.43与尸。相互垂直平分

C.点A、B都在以尸O为直径的圆上D.PC为△37”的边N8上的中线

2.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，在矩形/BCD中，E为月3的中点，P为8c边上的任意一点,

把△尸3E沿PE折叠，得到△班E,连接CF.若48=10,SC=12,当取最小值时，AP的值等

于.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）已知等边。8C的边长为8,点尸是48边上的一个动点（与点/、B

不重合）.

（1）如图1.当P8=34P时，△APC的面积为；

（2）直线/是经过点尸的一条直线，把段3C沿直线/折叠，点8的对应点是点2'.

①如图2,当尸8=5时，若直线////C,求的长度；

②如图3,当PB=6时，在直线/变化过程中.请直接写出面积的最大值.

一31经典例题八圆中角度的计算】

【例8】1（2023・甘肃白银•校考三模）如图，4B、C是圆。上的三点，且四边形48co是平行四边形,

。尸，OC交圆O于点凡则乙4。尸等于（）

D.60°

•【变式训练】

1.（2023•四川广元•统考一模）如图，48为。。的直径，CD是。。的弦，AB、的延长线交于点£,已

知4B=2DE,ZAEC=20°,则//OC的度数为（）

C.60°D.80°

2.(2023秋・全国•九年级专题练习)如图，在矩形48CD中，AB=6,BC=4,M,N分别是2C,CD±.

的动点，连接NM,BN交于点£,且.NBND=NAMC.

(1)ZAEB=.

(2)连接CE,则CE的最小值为,

3.(2023秋・全国•九年级专题练习)如图，在。。中，OALOB,C为。O上一点，连接OC,BC.

(1)^ZAOC-ZABC=30°,求N80C的度数；

⑵若AAOB的面积与B0C的面积之比为5:3,求空的值.

J【经典例题九圆中线段长度的计算】

【例9】(2023•全国•九年级专题练习)如图的方格纸中，每个方格的边长为1,4、。两点皆在格线的交点

上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点2、C,使得。BC的外心为。，求的长度为何（）

I--------1—I--------1—I--------1—I--------1

1：丁：…\0-

A.4B.5C.y/10D.275

W【变式训练】

1.（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图，4B是。。的直径，弦CDJL/3于点E.若OE=CE=2,则BE

的长为（）

A.V2B.2/-2C.1D.2

2.（2023春・贵州铜仁•九年级校考阶段练习）如图，在矩形A8CD中，/8=8,AD=6,M是4D边上的

一点，将AB肪1沿5M对折至ABMN,连接ON,当DN的长最小时，则/〃的长是.

3.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，^PAC=3Q°,在射线NC上顺次截取=3cm,DB=10cm,

以DB为直径作。。交射线/尸于E、尸两点.求:

（1）圆心。到4P的距离.

⑵求力少的长.

一、【经典例题十求一点到圆上点距离的最值】

【例10】（2023秋・江苏•九年级专题练习）在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为

3,点尸为圆上的一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

W【变式训练】

1.（2023春•浙江•八年级专题练习）如图，在平行四边形Z5CQ中，ZB=60°,/8=4,AD=6,E是AB

边的中点，厂是线段上的动点，将^£8方沿E厂所在直线折叠得到连接87）,则9。的最小值

A.2V10-2B.6C.4D.2713-2

2.（2023•全国•九年级专题练习）如图，在矩形4BC。中，AB=2,AD=5,动点尸在矩形的边上沿

CfOf/运动.当点尸不与点/、8重合时，将沿/尸对折，得到A/9尸，连接C3',则在点尸

的运动过程中，线段的最小值为.

3.（2023•河北衡水・统考二模）如图，A/8C和A/CD均为边长为4的等边三角形，点、M在边BC上,£是

42的中点，作点B关于EN的对称点"，连接8Z和2'知.

（1）求证：四边形/BCD是菱形；

（2）求夕C的最小值；

⑶若夕M与48垂直，求CM的长.

【重难点训练】

1.（2023秋•九年级课时练习）直角三角形的两条直角边长分别是12cm,5cm,则这个直角三角形的外接

圆的半径是（）

A.5cmB.6.5cmC.12cmD.13cm

2.（2023春•山东泰安•九年级校考期中）如图中外接圆的圆心坐标是（）

A.(5,1)B.(4,2)C.(5,2)D.(5,3)

3.（2023•吉林长春•统考一模）如图，点尸是。。外一点，分别以。、尸为圆心，大于:。P长为半径作圆弧，

两弧相交于点M和点N,直线交OP于点C,再以点C为圆心，以OC长为半径作圆弧，交。。于点

连接尸/交血W于点3,连接。4OB.若/P=26。，则的大小为（）

4.（2023・上海•模拟预测）如图，在RtZUBC中，ZC=90°,AC=4,3C=7,点。在边3C上,

CD=3,的半径长为3,。。与。4相交，且点8在。。外，那么。。的半径长r可能是（）

A.r=lB.r=3C.r=5D.r=7

5.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，。〃的半径为4,圆心〃■的坐标为（6,8）,点尸是。M上的任意

一点，PAVPB,且尸/、尸3与x轴分别交于A、8两点，若点A、点8关于原点。对称，则42的最大值

为（）

D.28

6.（2023秋•浙江•九年级专题练习）一个直角三角形的两条边长是方程/-8x+12=0的两个根，则此直角

三角形的外接圆的直径为.

7.（2023春・安徽安庆・九年级统考期末）中，么（1,5）、3（1,1）、C（4,l）,则“BC外接圆圆心坐标

为.

8.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，E是边长为4的正方形48CD的边CD上的一个动点，F是以8c

为直径的半圆上的一个动点，连接/E,EF,则/E+EF的最小值是.

9.（2023•河南焦作•统考二模）如图，在Rt448C中，AB=3,BC=4,DB=90°,正方形CDE尸的边长

为1,将正方形CD环绕点C旋转一周，点G为EF的中点，连接/G,则线段/G的取值范围是.

10.（2023・上海徐汇•统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点/（8,0）、点8（0,6）,。/的半径为5