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文档简介
专题23圆锥曲线离心率
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目录
题型一:离心率基础计算..........................................................................1
题型二:定义型求离心率..........................................................................2
题型三:第三定义型(点差法)....................................................................3
题型四:双曲线:渐近线型离心率..................................................................4
题型五:中点与离心率............................................................................5
题型六:a、b、c齐次型...........................................................................6
题型七:焦点三角形:内切圆型....................................................................7
题型八:焦点三角形:焦半径型....................................................................8
题型九:焦点三角形:离心率范围最值..............................................................9
题型十:焦点弦定比分点求离心率.................................................................10
题型十一:焦点三角形:余弦定理.................................................................10
题型十二:焦点三角形:双角度型.................................................................11
题型十三:重心型...............................................................................12
题型十四:双曲线椭圆共焦点型...................................................................14
题型十五:离心率“小题大做”型.................................................................15
结束..........................................................................
^突围・错;住蝗分
题型一:离心率基础计算
指I点I迷I津
圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算:
定义法:通过已知条件列出方程组,求得a,c得值,根据离心率的定义求解离心率e;
基础计算:由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式,然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,
结合离心率的定义求解;
特殊值计算法:根据特殊点与圆锥曲线的位置关系,利用取特殊值或特殊位置,求出离心率问题.
22
1.(24-25高三・重庆•阶段练习)已知椭圆「:下方=1(。>10)的焦距为2c,若直线履-3y+化+8)c=0恒
与椭圆「有两个不同的公共点,则椭圆「的离心率范围为()
2
2.(2025•安徽•模拟预测)已知双曲线C:x2-£=1仅>0)的左焦点为R过坐标原点。作C的一条渐近
线的垂线/,直线/与C交于A,8两点,若尸的面积为其1,则C的离心率为().
3
A.3B.qC.2D.73
3.(24-25高三•全国•模拟)设椭圆的两个焦点分别为耳,尸2,过工作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若ARPF?
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()
c.72-16-1
ATB・理"4
V-2V2V2V2
4.(23-24高三•河南漠河•阶段练习,多选)已知椭圆C|:土+2-=1与双曲线Q:'一4=1(9〈左<16),
16916-kk-9
下列关于两曲线的说法正确的是()
A.。的长轴长与C2的实轴长相等B.Q的短轴长与C2的虚轴长相等
C.焦距相等D.离心率不相等
22
5.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知双曲线C:=-当=1仅>0)的两条渐近线互相垂直,则C的离心
ab
率为.
题型二:定义型求离心率
指I点I迷I津
解题时要把所给的几何特征转化为反C的关系式.求离心率的常用方法有:
(1)根据条件求得。,4C,利用e=£或e求解;
aVar
(2)根据条件得到关于。,瓦c的方程或不等式,利用e=£将其化为关于e的方程或不等式,然后解方程或不等式
a
即可得到离心率或其范围.
I_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
22
1.(23-24高二下•湖南郴州,模拟)已知尸为椭圆C:=+冬=l(a>6>0)上一动点,耳、8分别为其左右焦
ab
点,直线尸耳与C的另一交点为A,AAPg的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为()
A.1B-|12
C.—D.一
23
22_
2.(2023•广西南宁•模拟预测)已知椭圆C:A+l=l(a>6>0),耳,F?分别为椭圆的左右焦点,直线y=也彳
ab
与椭圆交于A、B两点,若居、A、尸2、8四点共圆,则椭圆的离心率为()
A."B.y/3C.y/3-1D.
32
22
3.(2024•贵州・三模)己知椭圆C:=+5=1(4>。>0)的左、右焦点分别为居,不,过点F?的直线/与椭圆C
ab
交于P,Q两点,若内。:国可:|月。=1:3:5,则该椭圆的离心率为()
22
4.(23-24高三・云南•阶段练习,多选)椭圆C:T+2=l(a>0>0)的左、右两焦点分别是耳,耳,其中
ab
忖用=2c.过左焦点的直线与椭圆交于A,2两点.则下列说法中正确的有()
A.AAB鸟的周长为4。
B.若48的中点为所在直线斜率为3则向”•左=-斗
C.若I的最小值为3c,则椭圆的离心率e=;
D.若福•它=3c?,则椭圆的离心率的取值范围是
5.(20-21•河南驻马店•模拟)已知鸟,工是双曲线。:+-我=1(。>0力>0)的左右焦点,过片且倾斜角
为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、8两点.若招工,则双曲线C的离心率为.
题型三:第三定义型(点差法)
指I点I迷I津
椭圆:设直线和椭圆广、,2的两个交点A(x1,%),8(%,当),代入椭圆方程,得与+与=1
12
+ab
2b2
二+与=1;将两式相减,可得之亡+匚正=();&+可-々)=_(%+%?-%);
a2b2a2b2a-b1
最后整理得:1-:…)…)nl=-^4-A
/7(再+%2)(再一天2)bXo
同理,双曲线用点差法,式子可以整理成:]=:(』+%)(¥-%)ni=k•一•迎
/?(再+九2)(西一九2)bXo
A(X],yJ,y;=2•];
抛物线:设直线和曲线的两个交点B(x2,y2),代入抛物线方程,得7n=2px2;
1--------二------kAB-%
可将Xi~X2
22
1.(22-23高三•山西长治•模拟)已知直线>=-尤+1与椭圆:>齐=l(a>b>0)相交于AB两点,且线段A3
的中点在直线尤-2y=0上,则此椭圆的离心率为()
A6nJ_,也c布
A.D.C..U.
3222
22
2.(20-21高三・江西南昌•模拟)双曲线=-々=l(a>0,b>0)的右焦点为*4,0),设A、8为双曲线上关
ab
于原点对称的两点,AF的中点为昉的中点为N,若原点。在以线段"N为直径的圆上,直线AB的
斜率为3旦,则双曲线的离心率为()
7
A.4B.2C.qD.V3
fv21
3.(20-21高三•江西抚州•模拟)已知椭圆的方程为芯+==1(。>6>0),斜率为的直线/与椭圆相交
于A,8两点,且线段A5的中点为M(L2),则该椭圆的离心率为(
A1RV2g
A•D.L.L
3532
2
4.(2021•河北石家庄•二模,多选)已知双曲线C:三-/=1(。>0),其上、下焦点分别为我1,F2,。为
坐标原点.过双曲线上一点作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸,。两点,且点M为PQ中点,
则下列说法正确的是()
A.若轴,则|PQk2.
B.若点M的坐标为(1,2),则直线/的斜率为:
C.直线尸。的方程为岑-x°x=l.
a
D.若双曲线的离心率为1,则三角形。尸Q的面积为2.
2
22
5.(23-24高三•黑龙江哈尔滨•模拟)已知直线y=-x+l与椭圆会+方=1(。>。>0)相交于A8两点,且
线段的中点在直线/:-4y=0上,则此椭圆的离心率为.
题型四:双曲线:渐近线型离心率
指I点I迷I津
双曲线渐近线性质:
(1)焦点到渐近线的距离为b
(2)定点到渐近线的距离为白
a
22/2
(3)一直线交双曲线3=1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则七
aba
22
(4)过双曲线=-A=1上任意一点P做切线,分别角两渐近线于M,N两点,0为坐标原点则有如下结论:
ab
22
①OM・ON=a2+b2;②ON.OM=a+b;③S^ONM=ab
22
1.(2022高三•全国•专题练习)双曲线C:*•-==l(a>0,g0)的右焦点为尸,若以点尸为圆心,半径
为a的圆与双曲线C的渐近线相切,则双曲线C的离心率等于()
A.fB.0C.2D.272
22
2.(2022•山西晋中•二模)已知双曲线C:斗=l(a>0,6>0)的左、右焦点分别为E(-c,0),g(G。),
ab
4
平面内一点尸满足尸片,尸工,的面积为点。为线段尸1的中点,直线。。为双曲线的一条渐近
线,则双曲线c的离心率为()
A.75B.百或好C.—D.2
22
22
3.(2024•全国•模拟预测)己知双曲线C:A一2=1(°>0,b>0)的左、右焦点分别为居,F2,过6
ab
作以F?为圆心,虚半轴长为半径的圆的切线,切点为若线段加耳恰好被双曲线C的一条渐近线平分,
则双曲线C的离心率为()
A.72B.6C.2D.75
22
4.(22-23高三•河北保定•模拟,多选)己知双曲线。:鼻-2=1(。>0]>0)的左、右焦点分别为片,F2,
ab
点M为双曲线C右支上一点,且吗,M,若"与一条渐近线平行,则()
A.双曲线C的离心率为遥
B.双曲线C的渐近线方程为y=±Vix
C.△〃耳鸟的面积为^
D.直线M1与圆。:/+丁=/相切
6.(21-22高三上•辽宁•阶段练习)等轴双曲线是一种特殊的双曲线,特点是渐近线互相垂直且离心率为四,
y=-(左WO)的图象是等轴双曲线,设双曲线>=三的焦点为A、B,则直线的方程为,若。
xx+3
为坐标原点,则△OAB的面积为.
题型五:中点与离心率
指I点I迷I津
直线与曲线相交,涉及到交线中点的题型,多数用点差法。按下面方法整理出式子,然后根据实际情况处理该
式子。主要有以下几种问题:
(1)求中点坐标;(2)求中点轨迹方程;(3)求直线方程;(4)求曲线;
中点X()=^L±^,/=必;%
22
1.(22-23高三上•浙江•模拟)已知双曲线C:*-2=1(。>0,人>0)的左右焦点分别为片,F2,过F2的直
ab
线/交双曲线的右支于A,8两点.点M满足衣+而=2丽7,且画?•明=0,若cos/A£2=;,则双曲
线的离心率是()
A.gB.73C.2D.75
22
2.(23-24高三下•湖北武汉•阶段练习)已知双曲线片:二-2=1(。>0)>0)的右焦点为F,其左右顶点分
ab
别为A8,过产且与x轴垂直的直线交双曲线E于M,N两点,设线段的中点为尸,若直线族与直线⑷V
的交点在,轴上,则双曲线E的离心率为()
A.2B.3C.也D.73
22
3.(2024•四川雅安三模)设片,旦分别为双曲线C:3-]=1(。>0,6>0)的左右焦点,过点F2的直线交双
ab
曲线右支于点M,交'轴于点N,且尸2为线段MN的中点,并满足而,而,则双曲线C的离心率为()
A.B.退+1C.2D.75+1
22
4.(23-24高三•内蒙古巴彦淖尔•模拟,多选)已知。为坐标原点,歹是椭圆C:=+4=1(。>6>0)的右
ab
焦点,y=履与C交于A8两点,加,"分别为4尸,8尸的中点,若OMLON,则C的离心率可能为()
22
5.(2025高三•全国•专题练习)已知椭圆A+2=1(。>6>0)的左焦点是耳,左顶点为A,直线y=履交
ab
椭圆于尸、。两点(P在第一象限),直线尸月与直线AQ交于点£),且点。为线段AQ的中点,则椭圆的离心
率为.
题型六:a、b、c齐次型
指I点I迷I津
只需要根据一个条件得到关于。,6,C的齐次式,结合〃=4—°2转化为q,c的齐次式,然后等式(不等式)
两边分别除以a或02转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
22
1.(2022•山东临沂・模拟)耳,耳是双曲线C:0-3=l(a>0,b>0)的左、右焦点,直线I为双曲线C的一
ab
条渐近线,耳关于直线I的对称点为且点R在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上,则双曲线C
的离心率为
A.V2B.y/5C.2D.V3
2
2.(2024•湖南•三模)己知耳,耳是椭圆。:?鼻+斗v=l(a>6>0)的左、右焦点,O是坐标原点,过耳作直线
与c交于48两点,若|你RABI,且AOA工的面积为9b2,则椭圆c的离心率为(
D,显
2
22
3.(2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知椭圆C:T+a=l(a>6>。)的左、右顶点分别为A,8,左焦点为£尸
为椭圆上一点,直线AP与直线x交于点的角平分线与直线x交于点N,若
7
的面积是△、出面积的万倍,则椭圆C的离心率是()
1111
A.-B.—C.—D.一
8763
22
4.(22-23高三•辽宁铁岭•阶段练习,多选)如图,已知椭圆C:\+2=1(46>1),A”为分别为左、
右顶点,耳,分别为上、下顶点,储,工分别为左、右焦点,点P在椭圆C上,则下列条件中能使C
的离心率为好二1的是()
%X
I。4阕=1。⑷2/耳耳4=90°
轴,且PO//&4
四边形4月4坊的内切圆过焦点片,F2
22
5.(2024•福建•模拟预测)已知双曲线C:5-2=1(。>0,6>0)的左焦点为E过尸的直线/交圆尤2+/=/
ab
于A,B两点,交。的右支于点尸.若IA/1=1BPI,\PF\=2\AB\,则。的离心率为.
题型七:焦点三角形:内切圆型
22
1.(23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)如图,双曲线£:二一2=1的左右焦点分别为乙,F2,若存在
ab
过F2的直线/交双曲线E右支于A,8两点,且AAG居,月鸟的内切圆半径4,4满足"=44,则双曲
线E的离心率取值范围为()
C.(2,4>/3)D.八4⑹
22
2.(2024・山东济宁•三模)已知双曲线C:3-斗=1(°>0,b>0)的左、右焦点分别为根据双曲线
的光学性质可知,过双曲线C上任意一点P(XO,%)的切线/:学-第=1(。>0,6>0)平分NRPF。.直线4过
F2交双曲线C的右支于A,8两点,设AA片工,力丹工,耳的内心分别为/“乙,/,若人与Ag/j的面
3
积之比为不,则双曲线。的离心率为()
A.-B.巫C.-D.巫.
2333
22
3.(24-25高三上•云南昆明•阶段练习)已知椭圆。:今+4=1((1>6>0)的左、右焦点分别为片,F2,点
a23bz
P(%,yl)是c上的一点,△尸月月的内切圆圆心为QO2,%),当玉=2时,A=垂>,则c的离心率为()
A.—B.6一1C.—D.2->/3
23
22
4.(24-25高三・全国•模拟,多选)设。为坐标原点,耳月分别是双曲线C:1-与=l(a>0力>0)的左、
ab
右焦点,P是c上的一点,且(圾+痂>%=0,若4尸耳外的内切圆半径为。,设内切圆圆心/(毛,%),
贝U()
A.x0=2aB.AP与&为直角三角形
C.的面积为acD.C的离心率为G+I
22
5.(23-24高三•广东揭阳•模拟)已知椭圆£:3+与=l(a>b>0)的左、右焦点分别为《,工,尸为E上且不与
ab
3
顶点重合的任意一点,/为△。耳工的内心,。为坐标原点,记直线OR。/的斜率分别为匕,自,若尤=5网,
则E的离心率为.
题型八:焦点三角形:焦半径型
指I点I迷I津
圆锥曲线焦半径统一结论=——又——,(e二NPFX(PFY)),其中P为交点到准线的距离,对椭圆和
1-ecos^
双曲线而言p=P—
c
对于抛物线,则附=——,(,=/PFX(PFY))
1-cos^
22
1.(21-22高三上•全国•阶段练习)已知点加(3,屏)是椭圆£+'=1(4>匕>0)上的一点,工,尸2是椭
圆的左、右焦点,若49居为等腰三角形,则该椭圆的离心率为()
A.2B.W
34
C.。或£D.《或巫二
2333
22
2.⑵3高二下•重庆沙坪坝,阶段练习)设椭圆(a>b>0)的右焦点为R椭圆C上的两
点A、8关于原点对称,且满足丽.丽=0,|FB|<|/V1|<3|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是()
V2./io7D.[石-1,1)
B.,,丁c•惶H
3.(2024•陕西西安•一模)已知农历每月的第,+1天(OV/429jeN)的月相外边缘近似为椭圆的一半,方
其中「为常数.根据以上信息,下列说法中正确的有(
①农历每月M6/(1<30,6?eN*)天和第30-4天的月相外边缘形状相同;
②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r;
。月相外边缘的离心率第8天时取最大值;
④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内.
A.①③B.②④C.①②D.③④
22
4.(23-24高三上・江西•模拟,多选)已知0为坐标原点,耳,尸2分别为双曲线C:二一当=1(°>0,b>0)
ab
的左、右焦点,点/为双曲线右支上一点,设月=0,过M作两渐近线的垂线,垂足分别为P,Q,
则下列说法正确的是()
A.\F2M\的最小值为
B.为定值
c.若当。=B时△。咋恰好为等边三角形,则双曲线C的离心率为2g-2
当。=:时若直线片加与圆尤?+/=/相切,则双曲线C的离心率为"21+66
D.
33
22
5.(23-24高三•河南许昌•阶段练习)已知椭圆J+A=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳居,P是椭圆上
ab
一点,APKB是以BP为底边的等腰三角形,且60°</尸片&<120。,则该椭圆的离心率的取值范围是.
题型九:焦点三角形:离心率范围最值
;指I点I迷I津
求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式e=9;
a
②只需要根据一个条件得到关于瓦。的齐次式,结合Z?=a2—02转化为风。的齐次式,然后等式(不等式)
;两边分别除以。或/转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
22
1.(20-21高三•新疆乌鲁木齐•阶段练习)已知乙,F?是椭圆=+2=1伍>方>0)的两个焦点,若存在点P
ab
为椭圆上一点,使得N耳PR=60。,则椭圆离心率e的取值范围是().
22
2.(22-23高三上•内蒙古呼和浩特•阶段练习)已知椭圆二+2=1(4>万>0)的两个焦点为
ab
耳(-0,0)、片(c,0),M是椭圆上一点,且满足耳求椭圆的离心率e的取值范围为()
3.(22-23高三•广东湛江•模拟)椭圆C的两个焦点分别是Fi,F2,若C上的点P满足|FF1|F尤?I,
则椭圆C的离心率e的取值范围是
A.e<-^B.e>^
C.D.f或e<1
22
4.(20-21高三•江苏南京•阶段练习,多选)已知椭圆二+A=l(a>6>0)的离心率为e,片、只分别为椭圆
ab
的两个焦点,若椭圆上存在点P使得2可尸耳是钝角,则满足条件的一个e的值()
22
5.(2020•山东枣庄•一模)已知椭圆=+2=l(a>b>0)的左右焦点分别为K(-G。),工(c,0)且b>c,若
ab
在椭圆上存在点P,使得过点P可作以耳鸟为直径的圆的两条互相垂直的切线,则椭圆离心率的范围
为.
题型十:焦点弦定比分点求离心率
指I点I迷I津
性质:过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴(椭圆是长轴,双曲线是实轴)的夹角为
6,且羽=4而,(注意方向)贝!Jecosg巴|(e为离心率)
22
1.(2023•湖北•模拟预测)已知鸟,F?分别是双曲线-方=1(。>0,>>0)的左、右焦点,过月的直线
分别交双曲线左、右两支于A,8两点,点C在x轴上,区=3季,3鸟平分则双曲线「的离心
率为()_
A.77B.qC.6D.72
22
2.(22-23高二下•湖南岳阳・模拟)已知双曲线。:=-之=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为片,工.点A
ab
在c上,点B在y轴上,率1而,KA=-JKB,则c的离心率为()
.V5„375-73n2^/3
5533
22
3.(2024•浙江台州•二模)设片,F2是双曲线C:「-4=1(。>0*>0)的左、右焦点,点M,N分别在双
ab
曲线。的左、右两支上,且满足NM4N=。,丽=2而,则双曲线。的离心率为()
7厂5
A.2B.-C.5/3D.一
32
22
4.(23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习,多选)已知双曲线C/>0)的右焦点为尸,过点
尸作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,该垂线与另一条渐近线的交点为8,若|冏=(4+1)1冏(X>0),则
C的离心率e可能为()
“I3A+30124+2I3A+3
'L+1'VA+2D.
V2Z
22
5.(23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习)设双曲线C:三-2=1(。>0*>0)的左、右焦点分别为用,耳,A为左
ab
顶点,过点片的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点(点M在第一象限).若帆=4丽,则双曲
线C的离心率e=,cosZFtMF2=.
题型十一:焦点三角形:余弦定理
指I点I迷I津
圆锥曲线具有中心对称性质,内接焦点四边形性质:
1.焦点四边形具有中心对称性质。
2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形,具有焦点三角形性质。
3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形,可以用双余弦定理求解
22
1.(2023・山西•模拟预测)已知双曲线E:1-与=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为乙,F2,尸是双曲线
ab
S5
E上一点,PF.VF^,/与P区的平分线与无轴交于点。,产^=鼻,则双曲线E的离心率为()
^/\PF2Q3
A.J2B.2C.好D.有
2
22
2.(23-24高三•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知〃为椭圆:.+3=1(。>6>0)上一点,片,B为左右焦
ab
#sina-sinacos0_1
点,设/“耳工=。,则离心率6=()
sin〃+cosasin'3’
1112
A.一B.—C.一D.-
4323
3.(23-24高二下•江苏•开学考试)双曲线C的两个焦点为耳、F2,以C的实轴为直径的圆记为。,过耳作
圆。的切线与C的两支分别交于M、N两点,且/与N鸟=45。,则C的离心率为()
A.—B.—C.V3D.77
22
22
4.(2024•广东广州•模拟预测,多选)已知椭圆E:二+当=1的左、右焦点为片,F2,过F?
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