圆锥曲线离心率归类（15题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题23圆锥曲线离心率

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目录

题型一：离心率基础计算..........................................................................1

题型二：定义型求离心率..........................................................................2

题型三：第三定义型（点差法）....................................................................3

题型四：双曲线：渐近线型离心率..................................................................4

题型五：中点与离心率............................................................................5

题型六：a、b、c齐次型...........................................................................6

题型七：焦点三角形：内切圆型....................................................................7

题型八：焦点三角形：焦半径型....................................................................8

题型九：焦点三角形：离心率范围最值..............................................................9

题型十：焦点弦定比分点求离心率.................................................................10

题型十一：焦点三角形：余弦定理.................................................................10

题型十二：焦点三角形：双角度型.................................................................11

题型十三：重心型...............................................................................12

题型十四：双曲线椭圆共焦点型...................................................................14

题型十五：离心率“小题大做”型.................................................................15

结束..........................................................................

^突围・错;住蝗分

题型一：离心率基础计算

指I点I迷I津

圆锥曲线的离心率的常见基本思维方法和基础计算：

定义法：通过已知条件列出方程组，求得a，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；

基础计算：由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式,

结合离心率的定义求解；

特殊值计算法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.

22

1.（24-25高三・重庆•阶段练习）已知椭圆「:下方=1（。＞10）的焦距为2c,若直线履-3y+化+8）c=0恒

与椭圆「有两个不同的公共点，则椭圆「的离心率范围为（）

2

2.（2025•安徽•模拟预测）已知双曲线C:x2-£=1仅＞0）的左焦点为R过坐标原点。作C的一条渐近

线的垂线/,直线/与C交于A,8两点，若尸的面积为其1,则C的离心率为（）.

3

A.3B.qC.2D.73

3.（24-25高三•全国•模拟）设椭圆的两个焦点分别为耳，尸2,过工作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若ARPF?

为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

c.72-16-1

ATB・理"4

V-2V2V2V2

4.（23-24高三•河南漠河•阶段练习，多选）已知椭圆C|：土+2-=1与双曲线Q：'一4=1（9〈左<16）,

16916-kk-9

下列关于两曲线的说法正确的是（）

A.。的长轴长与C2的实轴长相等B.Q的短轴长与C2的虚轴长相等

C.焦距相等D.离心率不相等

22

5.（24-25高三上•北京•阶段练习）已知双曲线C:=-当=1仅>0）的两条渐近线互相垂直，则C的离心

ab

率为.

题型二：定义型求离心率

指I点I迷I津

解题时要把所给的几何特征转化为反C的关系式.求离心率的常用方法有：

（1）根据条件求得。，4C,利用e=£或e求解；

aVar

（2）根据条件得到关于。，瓦c的方程或不等式，利用e=£将其化为关于e的方程或不等式，然后解方程或不等式

a

即可得到离心率或其范围.

I_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22

1.（23-24高二下•湖南郴州,模拟）已知尸为椭圆C:=+冬=l（a>6>0）上一动点，耳、8分别为其左右焦

ab

点，直线尸耳与C的另一交点为A,AAPg的周长为16.若尸片的最大值为6,则该椭圆的离心率为（）

A.1B-|12

C.—D.一

23

22_

2.（2023•广西南宁•模拟预测）已知椭圆C：A+l=l（a>6>0）,耳，F?分别为椭圆的左右焦点，直线y=也彳

ab

与椭圆交于A、B两点，若居、A、尸2、8四点共圆，则椭圆的离心率为（）

A."B.y/3C.y/3-1D.

32

22

3.（2024•贵州・三模）己知椭圆C:=+5=1（4>。>0）的左、右焦点分别为居,不，过点F?的直线/与椭圆C

ab

交于P,Q两点，若内。：国可：|月。=1：3:5,则该椭圆的离心率为（）

22

4.（23-24高三・云南•阶段练习，多选）椭圆C：T+2=l（a>0>0）的左、右两焦点分别是耳，耳，其中

ab

忖用=2c.过左焦点的直线与椭圆交于A,2两点.则下列说法中正确的有（）

A.AAB鸟的周长为4。

B.若48的中点为所在直线斜率为3则向”•左=-斗

C.若I的最小值为3c,则椭圆的离心率e=；

D.若福•它=3c?,则椭圆的离心率的取值范围是

5.（20-21•河南驻马店•模拟）已知鸟，工是双曲线。：+-我=1（。>0力>0）的左右焦点，过片且倾斜角

为60。的直线/与C的左、右两支分别交于A、8两点.若招工，则双曲线C的离心率为.

题型三：第三定义型（点差法）

指I点I迷I津

椭圆：设直线和椭圆广、,2的两个交点A（x1,％）,8（%,当），代入椭圆方程，得与+与=1

12

+ab

2b2

二+与=1；将两式相减，可得之亡+匚正=（）；&+可-々）=_（%+%?-%）；

a2b2a2b2a-b1

最后整理得：1-：…）…）nl=-^4-A

/7（再+%2）（再一天2）bXo

同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：］=：（』+%）（¥-%）ni=k•一•迎

/?（再+九2）（西一九2）bXo

A（X］,yJ,y；=2•］；

抛物线：设直线和曲线的两个交点B（x2,y2）,代入抛物线方程，得7n=2px2;

1--------二------kAB-%

可将Xi~X2

22

1.（22-23高三•山西长治•模拟）已知直线>=-尤+1与椭圆:>齐=l（a>b>0）相交于AB两点，且线段A3

的中点在直线尤-2y=0上，则此椭圆的离心率为（）

A6nJ_,也c布

A.D.C..U.

3222

22

2.（20-21高三・江西南昌•模拟）双曲线=-々=l（a>0,b>0）的右焦点为*4,0）,设A、8为双曲线上关

ab

于原点对称的两点，AF的中点为昉的中点为N,若原点。在以线段"N为直径的圆上，直线AB的

斜率为3旦，则双曲线的离心率为（）

7

A.4B.2C.qD.V3

fv21

3.（20-21高三•江西抚州•模拟）已知椭圆的方程为芯+==1（。>6>0）,斜率为的直线/与椭圆相交

于A,8两点，且线段A5的中点为M（L2）,则该椭圆的离心率为（

A1RV2g

A•D.L.L

3532

2

4.（2021•河北石家庄•二模，多选）已知双曲线C：三-/=1（。>0）,其上、下焦点分别为我1,F2,。为

坐标原点.过双曲线上一点作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸，。两点，且点M为PQ中点，

则下列说法正确的是（）

A.若轴，则|PQk2.

B.若点M的坐标为（1,2）,则直线/的斜率为:

C.直线尸。的方程为岑-x°x=l.

a

D.若双曲线的离心率为1，则三角形。尸Q的面积为2.

2

22

5.（23-24高三•黑龙江哈尔滨•模拟）已知直线y=-x+l与椭圆会+方=1（。>。>0）相交于A8两点，且

线段的中点在直线/：-4y=0上，则此椭圆的离心率为.

题型四：双曲线：渐近线型离心率

指I点I迷I津

双曲线渐近线性质：

（1）焦点到渐近线的距离为b

（2）定点到渐近线的距离为白

a

22/2

（3）一直线交双曲线3=1的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M,则七

aba

22

（4）过双曲线=-A=1上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，0为坐标原点则有如下结论:

ab

22

①OM・ON=a2+b2；②ON.OM=a+b；③S^ONM=ab

22

1.（2022高三•全国•专题练习）双曲线C:*•-==l（a>0,g0）的右焦点为尸，若以点尸为圆心，半径

为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）

A.fB.0C.2D.272

22

2.（2022•山西晋中•二模）已知双曲线C：斗=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为E（-c,0）,g（G。），

ab

4

平面内一点尸满足尸片,尸工，的面积为点。为线段尸1的中点，直线。。为双曲线的一条渐近

线，则双曲线c的离心率为（）

A.75B.百或好C.—D.2

22

22

3.（2024•全国•模拟预测）己知双曲线C：A一2=1（°>0,b>0）的左、右焦点分别为居，F2,过6

ab

作以F?为圆心，虚半轴长为半径的圆的切线，切点为若线段加耳恰好被双曲线C的一条渐近线平分，

则双曲线C的离心率为（）

A.72B.6C.2D.75

22

4.（22-23高三•河北保定•模拟，多选）己知双曲线。:鼻-2=1（。＞0]＞0）的左、右焦点分别为片，F2,

ab

点M为双曲线C右支上一点，且吗，M，若"与一条渐近线平行，则（）

A.双曲线C的离心率为遥

B.双曲线C的渐近线方程为y=±Vix

C.△〃耳鸟的面积为^

D.直线M1与圆。:/+丁=/相切

6.（21-22高三上•辽宁•阶段练习）等轴双曲线是一种特殊的双曲线，特点是渐近线互相垂直且离心率为四,

y=-（左WO）的图象是等轴双曲线，设双曲线＞=三的焦点为A、B,则直线的方程为,若。

xx+3

为坐标原点，则△OAB的面积为.

题型五：中点与离心率

指I点I迷I津

直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该

式子。主要有以下几种问题：

（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；

中点X（）=^L±^,/=必；%

22

1.（22-23高三上•浙江•模拟）已知双曲线C:*-2=1（。＞0,人＞0）的左右焦点分别为片，F2,过F2的直

ab

线/交双曲线的右支于A,8两点.点M满足衣+而=2丽7,且画？•明=0,若cos/A£2=；,则双曲

线的离心率是（）

A.gB.73C.2D.75

22

2.（23-24高三下•湖北武汉•阶段练习）已知双曲线片:二-2=1（。＞0）＞0）的右焦点为F,其左右顶点分

ab

别为A8,过产且与x轴垂直的直线交双曲线E于M,N两点，设线段的中点为尸，若直线族与直线⑷V

的交点在，轴上，则双曲线E的离心率为（）

A.2B.3C.也D.73

22

3.（2024•四川雅安三模）设片,旦分别为双曲线C:3-]=1（。＞0,6＞0）的左右焦点，过点F2的直线交双

ab

曲线右支于点M,交'轴于点N，且尸2为线段MN的中点，并满足而，而，则双曲线C的离心率为（）

A.B.退+1C.2D.75+1

22

4.（23-24高三•内蒙古巴彦淖尔•模拟，多选）已知。为坐标原点，歹是椭圆C:=+4=1（。＞6＞0）的右

ab

焦点，y=履与C交于A8两点，加,"分别为4尸,8尸的中点，若OMLON,则C的离心率可能为（）

22

5.（2025高三•全国•专题练习）已知椭圆A+2=1（。>6>0）的左焦点是耳，左顶点为A,直线y=履交

ab

椭圆于尸、。两点（P在第一象限），直线尸月与直线AQ交于点£）,且点。为线段AQ的中点，则椭圆的离心

率为.

题型六：a、b、c齐次型

指I点I迷I津

只需要根据一个条件得到关于。，6,C的齐次式，结合〃=4—°2转化为q,c的齐次式，然后等式（不等式）

两边分别除以a或02转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

22

1.（2022•山东临沂・模拟）耳，耳是双曲线C:0-3=l（a>0,b>0）的左、右焦点，直线I为双曲线C的一

ab

条渐近线，耳关于直线I的对称点为且点R在以F2为圆心、以半虚轴长b为半径的圆上，则双曲线C

的离心率为

A.V2B.y/5C.2D.V3

2

2.（2024•湖南•三模）己知耳,耳是椭圆。:?鼻+斗v=l（a>6>0）的左、右焦点，O是坐标原点，过耳作直线

与c交于48两点，若|你RABI,且AOA工的面积为9b2,则椭圆c的离心率为（

D,显

2

22

3.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知椭圆C：T+a=l（a>6>。）的左、右顶点分别为A,8,左焦点为£尸

为椭圆上一点，直线AP与直线x交于点的角平分线与直线x交于点N,若

7

的面积是△、出面积的万倍，则椭圆C的离心率是（）

1111

A.-B.—C.—D.一

8763

22

4.（22-23高三•辽宁铁岭•阶段练习，多选）如图，已知椭圆C：\+2=1（46>1）,A”为分别为左、

右顶点，耳，分别为上、下顶点，储，工分别为左、右焦点，点P在椭圆C上，则下列条件中能使C

的离心率为好二1的是（）

%X

I。4阕=1。⑷2/耳耳4=90°

轴，且PO//&4

四边形4月4坊的内切圆过焦点片，F2

22

5.（2024•福建•模拟预测）已知双曲线C:5-2=1（。>0,6>0）的左焦点为E过尸的直线/交圆尤2+/=/

ab

于A,B两点，交。的右支于点尸.若IA/1=1BPI,\PF\=2\AB\,则。的离心率为.

题型七：焦点三角形：内切圆型

22

1.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）如图，双曲线£：二一2=1的左右焦点分别为乙，F2,若存在

ab

过F2的直线/交双曲线E右支于A,8两点，且AAG居，月鸟的内切圆半径4，4满足"=44，则双曲

线E的离心率取值范围为（）

C.（2,4>/3）D.八4⑹

22

2.（2024・山东济宁•三模）已知双曲线C:3-斗=1（°>0,b>0）的左、右焦点分别为根据双曲线

的光学性质可知，过双曲线C上任意一点P（XO,%）的切线/:学-第=1（。>0,6>0）平分NRPF。.直线4过

F2交双曲线C的右支于A,8两点，设AA片工,力丹工,耳的内心分别为/“乙，/，若人与Ag/j的面

3

积之比为不，则双曲线。的离心率为（）

A.-B.巫C.-D.巫.

2333

22

3.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）已知椭圆。:今+4=1（（1>6>0）的左、右焦点分别为片，F2,点

a23bz

P（%,yl）是c上的一点，△尸月月的内切圆圆心为QO2,%），当玉=2时，A=垂>,则c的离心率为（）

A.—B.6一1C.—D.2->/3

23

22

4.（24-25高三・全国•模拟，多选）设。为坐标原点，耳月分别是双曲线C:1-与=l（a>0力>0）的左、

ab

右焦点，P是c上的一点，且（圾+痂>％=0,若4尸耳外的内切圆半径为。，设内切圆圆心/（毛,％）,

贝U（）

A.x0=2aB.AP与&为直角三角形

C.的面积为acD.C的离心率为G+I

22

5.（23-24高三•广东揭阳•模拟）已知椭圆£：3+与=l（a>b>0）的左、右焦点分别为《，工，尸为E上且不与

ab

3

顶点重合的任意一点，/为△。耳工的内心，。为坐标原点，记直线OR。/的斜率分别为匕，自，若尤=5网，

则E的离心率为.

题型八：焦点三角形：焦半径型

指I点I迷I津

圆锥曲线焦半径统一结论=——又——,（e二NPFX（PFY））,其中P为交点到准线的距离，对椭圆和

1-ecos^

双曲线而言p=P—

c

对于抛物线，则附=——,(，=/PFX(PFY))

1-cos^

22

1.（21-22高三上•全国•阶段练习）已知点加（3,屏）是椭圆£+'=1（4>匕>0）上的一点，工,尸2是椭

圆的左、右焦点，若49居为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（)

A.2B.W

34

C.。或£D.《或巫二

2333

22

2.⑵3高二下•重庆沙坪坝,阶段练习）设椭圆（a>b>0）的右焦点为R椭圆C上的两

点A、8关于原点对称，且满足丽.丽=0,|FB|<|/V1|<3|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围是（）

V2./io7D.［石-1,1）

B.，，丁c•惶H

3.（2024•陕西西安•一模）已知农历每月的第，+1天（OV/429jeN）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方

其中「为常数.根据以上信息，下列说法中正确的有（

①农历每月M6/（1<30,6?eN*）天和第30-4天的月相外边缘形状相同；

②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为2r；

。月相外边缘的离心率第8天时取最大值；

④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内.

A.①③B.②④C.①②D.③④

22

4.（23-24高三上・江西•模拟，多选）已知0为坐标原点，耳，尸2分别为双曲线C：二一当=1（°>0,b>0）

ab

的左、右焦点，点/为双曲线右支上一点，设月=0,过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P,Q,

则下列说法正确的是（）

A.\F2M\的最小值为

B.为定值

c.若当。=B时△。咋恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为2g-2

当。=：时若直线片加与圆尤?+/=/相切，则双曲线C的离心率为"21+66

D.

33

22

5.（23-24高三•河南许昌•阶段练习）已知椭圆J+A=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳居,P是椭圆上

ab

一点，APKB是以BP为底边的等腰三角形，且60°</尸片&<120。，则该椭圆的离心率的取值范围是.

题型九：焦点三角形：离心率范围最值

;指I点I迷I津

求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c,代入公式e=9；

a

②只需要根据一个条件得到关于瓦。的齐次式，结合Z?=a2—02转化为风。的齐次式，然后等式（不等式）

；两边分别除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

22

1.（20-21高三•新疆乌鲁木齐•阶段练习）已知乙，F?是椭圆=+2=1伍>方>0）的两个焦点，若存在点P

ab

为椭圆上一点，使得N耳PR=60。，则椭圆离心率e的取值范围是（）.

22

2.（22-23高三上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）已知椭圆二+2=1（4>万>0）的两个焦点为

ab

耳（-0,0）、片（c,0）,M是椭圆上一点，且满足耳求椭圆的离心率e的取值范围为（）

3.（22-23高三•广东湛江•模拟）椭圆C的两个焦点分别是Fi,F2,若C上的点P满足|FF1|F尤？I，

则椭圆C的离心率e的取值范围是

A.e<-^B.e>^

C.D.f或e<1

22

4.（20-21高三•江苏南京•阶段练习，多选）已知椭圆二+A=l（a>6>0）的离心率为e,片、只分别为椭圆

ab

的两个焦点，若椭圆上存在点P使得2可尸耳是钝角，则满足条件的一个e的值（）

22

5.（2020•山东枣庄•一模）已知椭圆=+2=l（a>b>0）的左右焦点分别为K（-G。），工（c,0）且b>c,若

ab

在椭圆上存在点P,使得过点P可作以耳鸟为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围

为.

题型十：焦点弦定比分点求离心率

指I点I迷I津

性质：过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为

6,且羽=4而,（注意方向）贝!Jecosg巴|（e为离心率）

22

1.（2023•湖北•模拟预测）已知鸟，F?分别是双曲线-方=1（。>0,>>0）的左、右焦点，过月的直线

分别交双曲线左、右两支于A,8两点，点C在x轴上，区=3季，3鸟平分则双曲线「的离心

率为（）_

A.77B.qC.6D.72

22

2.（22-23高二下•湖南岳阳・模拟）已知双曲线。:=-之=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片，工.点A

ab

在c上，点B在y轴上，率1而,KA=-JKB,则c的离心率为（）

.V5„375-73n2^/3

5533

22

3.（2024•浙江台州•二模）设片，F2是双曲线C：「-4=1（。>0*>0）的左、右焦点，点M,N分别在双

ab

曲线。的左、右两支上，且满足NM4N=。，丽=2而，则双曲线。的离心率为（）

7厂5

A.2B.-C.5/3D.一

32

22

4.（23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习，多选）已知双曲线C/>0）的右焦点为尸，过点

尸作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,该垂线与另一条渐近线的交点为8,若|冏=（4+1）1冏（X>0）,则

C的离心率e可能为（）

“I3A+30124+2I3A+3

'L+1'VA+2D.

V2Z

22

5.（23-24高三下•西藏拉萨•阶段练习）设双曲线C:三-2=1（。>0*>0）的左、右焦点分别为用，耳,A为左

ab

顶点，过点片的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点（点M在第一象限）.若帆=4丽，则双曲

线C的离心率e=,cosZFtMF2=.

题型十一：焦点三角形：余弦定理

指I点I迷I津

圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：

1.焦点四边形具有中心对称性质。

2.焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。

3.焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解

22

1.（2023・山西•模拟预测）已知双曲线E:1-与=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为乙，F2,尸是双曲线

ab

S5

E上一点，PF.VF^,/与P区的平分线与无轴交于点。，产^=鼻，则双曲线E的离心率为（）

^/\PF2Q3

A.J2B.2C.好D.有

2

22

2.（23-24高三•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知〃为椭圆：.+3=1（。>6>0）上一点，片，B为左右焦

ab

#sina-sinacos0_1

点，设/“耳工=。,则离心率6=（）

sin〃+cosasin'3’

1112

A.一B.—C.一D.-

4323

3.（23-24高二下•江苏•开学考试）双曲线C的两个焦点为耳、F2,以C的实轴为直径的圆记为。，过耳作

圆。的切线与C的两支分别交于M、N两点，且/与N鸟=45。，则C的离心率为（）

A.—B.—C.V3D.77

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4.（2024•广东广州•模拟预测，多选）已知椭圆E：二+当=1的左、右焦点为片，F2,过F?