上海市嘉定区第二中学2025届高三最后一模数学试题含解析

上海市嘉定区第二中学2025届高三最后一模数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4.给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．或 B． C． D．或3．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．5．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件6．设集合则（）A． B． C． D．7．已知数列满足，则（）A． B． C． D．8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知复数，若，则的值为（）A．1 B． C． D．10．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）（附：）A．个 B．个 C．个 D．个12．“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）A．75 B．65 C．55 D．45二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.14．若，则__________．15．已知，为虚数单位，且，则=_____.16．已知，则_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若,且,求证：．18．（12分）已知函数f(x)=x（1）讨论fx（2）当x≥-1时，fx+a19．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范围；（2）当时，有两个零点，证明：.(参考数据：)20．（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．（1）求矩阵；（2）求矩阵的特征值．21．（12分）已知函数．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．22．（10分）在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.【详解】已知对于命题，由得，所以命题为假命题；关于命题，函数，当时，，当即时，取等号，当时，函数没有最小值，所以命题为假命题.所以和是真命题，所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.故选：A.【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.2、D【解析】

根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.3、D【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.4、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.5、D【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，画出可行域如图所示，显然当经过时，最大.故选：D.【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.6、C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.7、C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时，；当时，由，可得，两式相减，可得，故，因为也适合上式，所以.依题意，，故.故选：C.【点睛】本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.8、B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.9、D【解析】由复数模的定义可得：，求解关于实数的方程可得：.本题选择D选项.10、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.11、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案.【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体，易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为cm，若想要盖上盖子，则需要满足，解得，所以最多可以装层球，即最多可以装个球．故选：【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12、B【解析】

计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.【详解】由图可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.14、【解析】

因为，由二倍角公式得到，故得到．故答案为．15、4【解析】

解：利用复数相等，可知由有．16、【解析】

化简得，利用周期即可求出答案．【详解】解：，∴函数的最小正周期为6，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.【解析】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可求出函数的极值；(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明，即证,令，根据函数的单调性证明即可．【详解】(Ⅰ)的定义域为且令，得；令，得在上单调递增，在上单调递减函数的极大值为，无极小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上单调递增，在上单调递减且，则要证，即证，即证，即证即证由于，即，即证令则恒成立在递增在恒成立【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，考查运算求解能力及化归与转化思想，关键是能够构造出合适的函数，将问题转化为函数最值的求解问题，属于难题．18、（1）见解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，当x=-1时，0≤-1e+1恒成立．当x＞-1时，a≤xe【详解】解法一：（1）f①当a≤0时，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)单调递增.②当a>0时，f'(x)=0的根为x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上单调递增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上单调递增，在综上：当a≤0时，f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增；当0<a<1e时，f(x)在(-∞,lna)，自a=1e时，f(x)在当a>1e时，f(x)在(-∞,-1)，(ln（2）因为xex-ax-a+1≥0当x=-1时，0≤-1当x>-1时，a≤x令g(x)=xex设h(x)=e因为h'(x)=e即hx=e又因为h0=0，所以g(x)=xex则g(x)min=g(0)=1综上，a的取值范围为-∞,1.解法二：（1）同解法一；（2）令g(x)=f(x)+a所以g'当a≤0时，g'(x)≥0，则g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1当0<a≤1时，令h(x)=e因为h'(x)=2ex+x又因为h-1=-a<0，所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘极小值↗g==-e当a>1时，g(0)=-a+1<0，不满足题意.综上，a的取值范围为-∞,1.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.【详解】（1）函数的定义域为，且.当时，对任意的，，此时函数在上为增函数，函数为最大值；当时，令，得.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）当时，，定义域为，，当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于函数有两个零点、且，，，构造函数，其中，，令，，当时，，所以，函数在区间上单调递减，则，则.所以，函数在区间上单调递减，，，即，即，，且，而函数在上为减函数，所以，，因此，.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.20、（1）（2）1或6【解析】

（1）设，根据变换可得关于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；【详解】（1）设，则，，即，解得，则．（2）设矩阵的特征多项式为，可得，令，可得或．【点睛】本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.21、（1）（2）【解析】

（1）求解不等式，结合整数解有且仅有一个值，可得，分类讨论，求解不等式，即得解；（2）转化，使得成立为，利用不等式性质，求解二次函数最小值，代入解不等式即可.【详解】（1）不等式，即，所以，由，解得．因为，所以，当时，，不等式等价于或或即或或，故，故不等式的解集为．（2）因为，由，可得，又由，使得成立，则，解得或．故实数的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化划归，分类讨论，数学运算