指对同构、对数与指数均值不等式-2025高考数学一轮复习

指对同构、对数与指数均值不等

式

1.指对同构

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利

用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的是

同一函数），无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为

同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.

⑴五个常见变形：

e%xe'

e*+in%—e""x+lnx=ln(xex),%—lnx=ln-.

“'x£=ein%r,

（2）三种基本模式

ae“WZdn匕二种胆典方式

①积型:

同左:aeaW(Inb)e1nb(x)=xex

e"lne"Wblnb-^^f(x)

<=

同右:xlnx9

通道/(x)=x+lnx.

I取对:a+如aWlnb+ln(InZ?)

e,b三种同构方式

②商型:

aInb

同左:

aInbJX

_e^x

<同右:

Ine"InZ?J'In%'

构造，(、i

I取对:tz—Intz<lnZ?—In(InZ?)----V(%)=%—Inx.

③和差型：ea±a＞6±lnb两种胆枸方式

同左：ea±a>eln"±ln(x)=exix,

、同右：ea±lne0>Z?±ln(x)=x±lnx.

2.对数与指数均值不等式

结论1对任意的a,》＞°（若"）,有迎（舟工＜三.

证明不妨设a>6>0(0Va<6时同理可得)

首先，由47<丁上~牝■等价于lna-lnb<g=暂，即In£<°一尸.

，Intz—Inb7而ba

^\lb

令x=NZ>I,只要证In%2Vx,

即证2xlnx—A2+KO.

令人工)=2xln%—x2+l(x>l),

2

则/(x)=21nx+2—2x,f\x)=--2<0,/(%)在(1,+8)单调递减，f(x)</(l)=O,

兀x)在(1,+8)单调递减,即。x)V;(D=O.

故—r-7.

、In。―Inb

a—b中等价于

其次,

Ina—Inb

2(4一方)

In〃一lnb>

a+b

即in1>

人arr、-2(x—1)

令只要证In%>一百^—,

即证(%+l)ln%—2x+2>0.

设g(x)=(x+l)lnx—2x+2(x>1),

同理可证g(X)在(1,+8)单调递增，

有ga)>g(i)=。

,,a~b4+6

ln〃—lnb<2*

需注意的是，在实际解题过程中，凡涉及这两个不等式的都需给出证明，以确保

考试不被扣分.

+

—mnQm一+.e〃

结论2对任意实数加，n(m^n)有e2<-----<---.

9m—n2

证明在指数均值不等式中，令e"=〃、e"=b,则加=ln〃，n=lnb,从而可得对

数均值不等式.

题型一同源函数的构造

例1已知函数«x)=lnx+%2—3%,对于任意九1,[L10],当％i<%2时，不等

m(Y7—Y1)

^>1)->2)>—；二二恒成立,求实数m的取值范围.

u,m(X2—xi)卜、

斛当XI<X2时，於1)—j[X2)>—；怛成立,

4142

所以对于任意XI,X2e[l,10],

当X1<X2时，兀U)—3>火了2)—恒成立，

41人，

所以函数y=Ax)—?ryj在[1,10]上单调递减.

令"(x)=/(x)—1Mlnx+r—Bx—[1,10],

1rvj

所以"(x)=，+2x—3+与WO在[1,10]上恒成立，

XX

则机W—Zx^+Bx2—%在[1,10]上恒成立.

设网x)=—ZV+Bx2—x(x£[l,10]),

则F(x)=—6X2+6X—1=—6(x—+1.

当x@[l,10]时，F'(x)<0,

所以产(x)在[1,10]上单调递减,

32

所以F(x)min=F(10)=-2X10+3X10-10=-l710,

所以mW—1710.

故实数机的取值范围为(-8,-1710].

感悟提升此类问题一般是给出含有XI,X2,>1),而⑵的不等式，若能通过变形,

把不等式两边转化为结构形式相同的代数式，即转化为同源函数，可利用该函数

单调性求解.

训练1已知函数«v)=lnx—'ax+1,对于函数图象上任意不同的两点A(xi,兀⑴),

5(X2,>2)),直线A3的斜率为上若xi+x2+%>0恒成立，求a的取值范围.

5,/(XI)—/(X2)

角牛由越思，k=,

XI-X2

I]b-6]、八、，,,f(XI)—f(X2)

则原不等式化为X1+X2+>0,

X1~X2

不妨设XI>X2>0,

则(XI+%2)(X1—X2)一火无2)>0,

即X?—+/(X1)—J(X2)>0,

即火元1)+6>7(%2)+%1

设g(x)=/(%)+x2=lnx+x2—ax+l,

由已知，当Xl>X2>0时，不等式g(Xl)>g(X2)恒成立，

则g(x)在(0,+8)上是增函数.

1,2A2—ax+1

则g'(%)=l+2x—。=---------,

所以当%>0时,g'(%)20,

即zf—ax+ieo,

曰L_2/+1I1L11、

即aW------=21+一怛成立，

xx

因为2x+：e2也，当且仅当2%=：,

JiJi

即x=坐时取等号，

所以卜x+口=2也.

\"min

故。的取值范围是(一8,2^2].

题型二指对同构

例2(2022・新高考I卷节选)已知函数«x)=ex—x和g(x)=x—lnx.证明：存在直

线y=b,其与两条曲线尸治)和尸g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的

三个交点的横坐标成等差数列.

证明兀乃=守一x,g(x)=x—lnx,

则兀0在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

/(X)min=g(%)min=1.

当直线y=b与曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同交点时，

如图，设三个交点的横坐标分别为I1,X2,X3,且％1<X2<X3,

则火XI)=火%2)=g(X2)=g(X3)=b.

*.*XX)=e%—%,g(x)=x—Inx=elnx—Inx=filnx),

•••汽打)=火%2)=/(lnX2)=/(lnX3).

由于X2:7Z-X1»X2111X29

・・％2=lnx3,xi=lnX2y

则filn%2)=elnx2—In%2=X2—InX2=X2—xi=b,

filnX3)—eln"3—lnx3=X3—InX3=%3-xz=b,

上述两式相减得X1+X3=2X2,

即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

感悟提升指对同构的关键是利用指数、对数恒等式将所给关系式凑配成同源函

数.

训I练2(2020・新高考全国I卷节选)已知函数加0=或厂1—ln%+lna,若兀c)21,

求a的取值范围.

解八%)的定义域为(0,+8),

fix)—aex~1—Inx+In<7=eln6r+x-1—Inx+ln

等价于elna+x~iJrlna+x~1^lnx+x=elnx+lnx.

令g(x)=e%+x,上述不等式等价于g(lna+x-l)^g(lnx).

显然g(x)为单调增函数，

所以又等价于Ina+x—l^lnx,

即Intz^lnx—x+1.

令/z(x)=ln%—x+1,

11--V

则w)=~-i=-

当x©(0,1)时,h'(x)>0,/z(x)单调递增；

当x©(l,+8)时,h'(x)<0,/z(x)单调递减，

所以/?(X)max=/l(l)=0,所以InoNO,

即。三1,所以a的取值范围是［1,+8).

题型三指数、对数均值不等式

例3已知函数y(x)=：—x+alnx.

(1)讨论Hx)的单调性；

(2)若兀0存在两个极值点XI,X2,

证明：HxG

Xl-X2

(1)解危)的定义域为(0,+8),

1,ax1~ax+1

①若aW2,则了(x)W0,

当且仅当a=2,x=l时，/(x)=0,

所以«v)在(0,+8)上单调递减.

②若。>2,令了a)=o,

用a—yja2—^4

fTXl=2或X2=2

当xG(0,X1)U(X2,+8)时，/(x)<0；

当X@(X1,X2)时，/(%)>0.

所以人X)在(0,Xl),(X2,+8)上单调递减，在(XI,X2)上单调递增.

(2)证明法一由(1)知，1%)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于X1X2=1,不妨设X1<X2,则X2>1.

由于y(xi)一/(X2)=~~xi+alnxi-\~—X2-\-aln%2j=2(x2-xi)+a(lnx\-InX2).

XI—X2x1—xi

利用对数均值不等式且m。.看—2…

法二由(1)知，人x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于/(x)的两个极值点xi,及满足/一奴+1=0,

所以X1X2=1,不妨设X1<X2,则X2>1.

,(XI)~f(X2),Inxi—In%2—21nx2

由于------------2+a---------2+。

X1~X2X1~X21

——X2

X2

f(_ri)—f(X?)1

所以JwJw<a—2等价于上一X2+21nx2<0.

XI—X2X2

设函数g(x)=~—%+21nx,

由⑴知，g(x)在(0,+8)上单调递减.

又g(l)=0,从而当尤£(1,+8)时,g(x)<0.

所以,一X2~\~2lnX2<0,

(XI)一于(%2)

V。一2.

XI—X2

感悟提升关键是凑配出利用对数均值不等式的形式.

训练3(1)若函数八光)=ln%一必有两个不同的零点%2,证明：xiX2>e2.

证明借助〃作为媒介，构造对数均值不等式.

依题意，Inxi—(2xi=0,InX2_6/X2=0.

两式相减，得Inxi—In%2=a(xi—xi),

.Inxi—lnx2

即a=---------,

X1~X2

两式相加，得Inxi+In%2=a(xi+xi).

故欲证xix2>e2,即证Inxi+lnx2>2,

即证a(x\+%2)>2,

In%lIn2

即证>

X\~X2Xl+%2

由对数均值不等式知上式显然成立.

综上，无1%2>匕2成立.

(2)(2022.新高考H卷节选)设〃£N*,证明:Titi…+?^皿"

+1).

证明先证对数均值不等式

a—b卜、

ab<■■—7(a>Z?>0)成立.

ma—mb

不等式47〈记■:_如b(〃>b>。)成立

,a-ba

=lna-Inb</—-<=^>lnT<

ylabb

=>21n其中x=

、H>D，

构造函数/z(x)=21nx—

21

则h\x)=--l--2=4

当x>l时，"(x)VO,

所以函数/z(x)在(1,+8)上单调递减，/z(x)<A(l)=O,从而不等式成立.

1

法一令a=l+《，b=l,则有n

1+-<

n皿+力-山1

整理可得，皿+1也击，

n

故苫n叩十另1<£了石,

即亡…+赤匕>皿〃+1)成立.

法二因为21n%<%一1(%>1),

JC

所以对任意的〃GN*,

〃+1n~\~1n

有2hf

nnn~\-1'

整理得ln(n+l)—Inn<—j===,

yjn十几

,,1,1,,1

故后1+不裁+…+赤心

>ln2—In1+ln3-In2+***+ln(n+1)—Inn

=ln(n+l),

故不等式成立.

「利用切线放缩法解决不等式问题微点突破

1.切线放缩是指曲线y=/(x)在某点处的切线方程为丁=履+。，若y=/U)的图象

恒在直线y=kv+人的上方或下方，则有人或成立，当且仅

当x与切点横坐标相等时等号成立.

2.利用切线放缩法得到的常见不等式有：

(De^x+L当且仅当x=0时取等号；

(2)e*2ex,当且仅当x=l时取等号；

(3)ln@+l)Wx,当且仅当x=0时取等号；

(4)lnxWx—1,当且仅当x=l时取等号；

(5)lnxWex—2,当且仅当时取等号.

一'用切线放缩法求参数值

例1已知y(x)=ex—ax—l(a>0),若«v)NO对任意xGR恒成立，求实数a的值.

解由切线放缩法可知ex>x+l,

当且仅当x=0时等号成立，

所以«x)三九+1—ax—1=(1—d)x,

要使兀0>0,则只需(1—a)x》O对任意x£R恒成立,

所以1一。=0,即a=l.

可验证当a=l时，恒成立.

二、用切线放缩法求参数范围

例2已知函数八1)=才7+%—ln(ax)—2(a>0),若«x)在(0,+8)上存在零点，求

实数a的取值范围.

Z7Y

解令人元)=。，得-^T=ln(Qx)—%+2,

所以eln(dLX)-%+1=ln(6zx)—x+2,

令t=ln(ax)—x+l,则et=t+l,

由切线放缩法得e，2%+l,当且仅当1=0时等号成立，

因为et=t+l,所以t=0,

即ln(ax)—》+1=0有解，

所以ln(ox)=x—1,即Ina+lnx=x—l,

因为曲线y=lnx在x=l处的切线方程为y=x-l,

所以当a=l,即lna=0时，直线y=x—1与曲线y=lnx有一个交点，

即方程ln(ax)—x+l=0有一个解，

结合图象可知，当。>1时，直线y=x—l与曲线y=lna+lnx有两个交点,

即方程ln(ax)—x+l=0有两个解，所以a'l.

三'用切线放缩法证明不等式

例3已知函数I/(x)=aex—lnx—1,证明：当。三/时，段)三0.

证明因为a〉：，

所以J[x)^——\nx-1=e「i—Inx-l.

因为y=e*-i在x=l处的切线方程为y=x,

因此用切线放缩法可得不等式ex-Nx,

当且仅当x=l时取等号，

所以得exT—ln龙一1Nx—lnx—1,

当且仅当x=l时取等号.

设gQ)~x—Inx—1,

1V—1

则g,(x)=l--=——.

当0<x<l时，gr(x)<0,所以g(x)单调递减；

当x>l时，g，(x)>0,所以g(x)单调递增.

所以x=l是g(x)的最小值点.

故当x>0时，g(x)2g(1)=0.

因此，当时，/(x)N0.

cix^x—1

训练已知函数人为二-2一二，证明：当。三1时，/(x)+eN0.

cix^x—1

证明因为«x)+e20=--------+e^0»tzx2+x—1+ex+1^0.

因为函数y=e*+i在x=-1处的切线方程为y=x+2,

因此用切线放缩法可得不等式e-+1>x+2,

当且仅当x=-l时取等号，

所以ax1~\~x—1+ex+1ax2~\~x—1+x+2=af+2x+1,当且仅当x=-1时取等号.

又因为心1,

所以ax2+2x+12x2+2x+1=(x+1)2>0,

当且仅当x=-l取等号.

故当。三1时，有火x)+eNO.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.若不等式xe*—'oNlnx+x—1恒成立，求实数。的取值范围.

解xe%—a^lnx+x—1,

eln"x—a》lnx+x—1,

令/=ln无+x,

则U—a-t—1恒成立,

则a^d—t+l恒成立，

令(p(f)=d—1+1,—1,

当/G(—8,0)时，夕，⑺V0;

当/e(o,+8)时，。，⑺>0,

.,.夕⑺在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

♦♦9(7)min=0(0)=2,

・•.所求a的取值范围是(-8,2].

2.(2023•常德模拟改编)已知函数於尸十一x.

证明：当x>0时，y(x)—Inx^l.

证明要证y(x)—lnxNl,

即证%ex—%—InxN1,

即证eA+ln*一(x+Inx)三1,

令t=x+\nx,

易知/©R,待证不等式转化为e，一

设n(t)=ef—t,则u'(t)=e?—1,

当。<