直线和圆、圆锥曲线综合测试卷（新高考专用）（解析版）-2025年高考数学一轮复习

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

I.（5分）（2024•河南新乡•三模）已知直线/i：2x+my—1=0,l2'.（m+l）x+3y+l=0,贝=2”是

Z〃/2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.

【解答过程】当爪=2时，直线":2x+2y—1=0,Z2:3x+3y+1=0,则///G

当人〃%时，^-=7*T,解得爪=2,

所以“m=2”是“I"/%”的充要条件.

故选：C.

2.（5分）（2024・广东惠州・模拟预测）已知椭圆的方程为曰+?=1,过椭圆中心的直线交椭圆于/、8

两点，&是椭圆的右焦点，则△力BF2的周长的最小值为（）

A.8B.6+2V3C.10D.8+2V3

【解题思路】根据题意结合椭圆定义可得的周长为2a+|48|,结合椭圆的性质分析求解.

【解答过程】椭圆的方程为9+?=1,则a=3,b=2,c=后二京=遥，

连接g,BF],

则由椭圆的中心对称性可知|0*=\0B\=|叫|=|0F2|>

可知力F1BF2为平行四边形，则田外|=|4乙|，

可得△力的周长为MF2I+\BF2\+\AB\=\AFr\+\AF2\+\AB\=2a+\AB\,

当位于短轴的端点时，取最小值，最小值为2b=4,

所以周长为2a+|4B|>6+4=10.

故选：C.

3.（5分）（2024•全国•模拟预测）已知直线A：y=2x和12：y=kx+l与x轴围成的三角形是等腰三角形,

则k的取值不可能为（）

A.-2B.-JC..D.3

322

【解题思路】分为围成的等腰三角形底边在X轴上、底边在直线％上和底边在直线〃上三种情况，分别求解

即可.

当围成的等腰三角形底边在X轴上时，6-u—a,k=tan（TT—a）=—tana=—2；

当围成的等腰三角形底边在直线h上时，e=^e='+f,

2tan—ct（Y1

因为tana=«=2,且tan^>0,解得tan^=—

所以k=tan®=tan7=或々=tan0=tanf-+->）=—

z2\22）tdn~22

当围成的等腰三角形底边在直线k上时，6=2a,则k=tan。=tan2a=

故选：D.

22

4.(5分)(2024•四川•模拟预测)已知双曲线立今一左=1(。＞06＞0)尸/分别为石的右焦点和左顶点,

点M(—2,3)是双曲线E上的点，若△4MF的面积为5,则双曲线E的离心率为()

A.V3B.2C.苧D.V6

Q

【解题思路】根据S^MF=万、点M(—2,3)在E上，求出a,c可得答案.

1QQ

【解答过程】由题设知，\AF\=a+c,则以的=5yMi4F|==p

3

所以a+c=3,且c＞a,易知0＜。＜万，

又因为点火一2,3)在E上，所以《一卷=1,所以4炉一9层=小拉，

因为44-b2=c2,所以4(。2—a2)—9a2=a2(c2—a2),

则d-13a2=c2(a2-4)=(3-a)2x(a2-4),化简得

a3—3a2—4a+6=(a—l)(a2—2a—6)=0,

解得a=1或a=1±(舍去).所以a=l,c=2,

5.（5分）(2024・西藏拉萨・二模)已知点M(3,—3),N(3,0),动点P在圆。：/+y2=I上，则|PM|+QPN|

的最小值为()

A.亨BC-等D.曾

【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可.

【解答过程】令|PM|=]|PN|,即求|PM|+|PV|的最小值.

设尸(血刀)，则J(%-m)2+(y_九/=38+y2,

整理，得点P的轨迹方程为/+为一哼为一手丫+9m2+；*-9=0.

又点P在圆。：汽2+y2=1上，

9m—3_

-y=0

9m2+9n^—9

{8-

所以|PM|+\PN'\2|MM|=](3—弓2+(-3)2=苧，

即|PM|+g|PN|的最小值为等.

6.(5分)(2024•湖南邵阳•三模)已知抛物线C：必=2pxQ>0)的焦点为F,点4―1,?在C的准线上,

点B在C上且位于第一象限，FA1FB,则|力封=()

AW5B8V1UC1。西D10国

.3333

【解题思路】由点力(—1()在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，可得p=2,凡41FB得出斜率关系求出

点昆最后应用两点间距离结合勾股定理计算即可.

【解答过程】

由点-1,|)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，可得I=1,即p=2,

所以抛物线C的方程为产=4刈焦点F(l,0),准线方程为x=-l,

设8(配,、0),则劭>O,yo>3由FALFB,可得加4岫8=-1，即豆1,

—1—140

整理得Vo=%—%又岔=4沏，所以（|久0-?=4沏，解得血=9或xo=

1717

点B位于第一象限，所以Xo>0,x0=9=>y0=6,且&=-=>y0=*显然（否）不满足垂直，

所以|BF|二J（9—+（6—0）2=10,|XF|-J（-l-1）2+Q-0）2=y,

所以|2B|2=\AF\2+\BF\2=102+管）2=当，所以|4B|=竺普

故选:D.

7.（5分）（2024•江西宜春•模拟预测）已知动点P到原点。与到点4（2,0）的距离之比为3:2,记P的轨迹为

E,直线1:5%—5®+2=0,则（）

A.E是一个半径为弓的圆

B.E上的点到/的距离的取值范围为［|留

C.1被E截得的弦长为嗜

D.E上存在四个点到/的距离为|

【解题思路】设p（%y）,则7（£^笆=1，整理得（X—装Y+y2=詈，所以E是一个圆心为得，0）,半径

为蓝的圆，判断A；再利用点到直线的距离公式，求得圆心（费，0）到直线1的距离为2,得到E上的点到直线

/的距离的取值范围，判断B；由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形求出弦长，判断C；由圆心（蔡，0）

到直线1的距离为2,半径为5则9一2=今即圆E截斯得的劣弧上只有一个点到/的距离为a所以圆E上

存在三个点到［的距离为|,判断D.

【解答过程】对于A,设P（x,y）,则

V（x-2）2+y22

整理得（久—?y+y2=詈，

所以E是一个圆心为得，0）,半径为冷的圆，故A错误；

z、|5x^+2|

对于B,因为圆心1喈Q，0）到直线/的距离为=2,

所以E上的点到直线I的距离的取值范围为［0,2+刍即［0,第，故B错误；

对于C,圆心得，0）到直线［的距离为2,

所以俅皮E截得的弦长为2盛厂22=噜，故C正确；

对于D,因为9一2=(,所以E上存在三个点到2的距离为今故D错误.

故选：C.

8.(5分)(2024•陕西商洛•三模)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为尸，过尸的直线交£于/,8两

点，点尸满足加=4方(0<2<1),其中。为坐标原点，直线4P交E于另一点C,直线AP交E于另一

点。，记APAB,△PCD的面积分别为Si，S2,则言=()

A.2B.22C.3D.2/L2

【解题思路】设直线的方程为x=ty+5,A(X1,yi),B(x3,y3),联立抛物线方程结合韦达定理有y/3=—

p2,同理y2y3=-旬落从而丫2=为1，同理以=久乃，结合三角形面积公式即可得解.

【解答过程】根据已知条件作出图形，如图所示

由题意知尸弓,0),又方=4函;。<2<1),所以P俘,0).

显然直线N8的斜率不为0,设直线N8的方程为x=ty+*A(X1,yi),B(x3,y3),

由｛t；他，得必一2pty-p2=0,显然4>0,所以yi%=-p2.

显然直线5D的斜率不为0,设。(冷)2)，直线8。的方程为％=磔+勺，

y2=2pxr

,得fV—2pmy—即2=o,显然』>o,所以y2y3=—用？，

(r=y2

又y，3=—p2,所以y2=4yi，设。(%4，丫4)，同理可得、4=入、3，

S,=||PC|-|PD|sinzCPD=\PD[\PQ=虫.之=弛,也=入2

Si^\PA\-\PB\sin^APB\PB\\PA\y3yi为^

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.（6分）（2024•黑龙江大庆•三模）已知点P（l,«）是双曲线C:3/—f=1上一点，过p向双曲线的两条

渐近线作垂线，垂足分别为48,则下列说法正确的是（）

A.双曲线的浙近线方程为'=±遮乂

B.双曲线的焦点到渐近线的距离为1

1

C.|^|-|P5|=-

D.△P48的面积为噂

16

【解题思路】首先根据双曲线方程求渐近线方程，判断A,再根据点到直线的距离判断BC,最后根据几何

关系，求N4PB,再代入面积公式，即可求解.

【解答过程】因为双曲线的方程为。3久2—y2=1,所以手力=1,所以双曲线的渐近线方程为y=士?

%=±遍汽.故A正确；

双曲线的右焦点（竽,0）到渐近线了=百万的距离为d=|=1,故B正确：

由点到直线的距离公式可得|P*•|PB|=吗②x吟②=；.故C错误.

如图，因为KCM=K，所以=60°.在△P40和△。80中，乙PAD=4OBD=90°,

乙PDA=4ODB,所以N4P。=48。。=60°,所以

S^PAB=|X\PA\­|PB|sin60°=|Xix^=^|,故D正确.

故选：ABD.

2

10.（6分）（2024•山东青岛・三模）已知动点M,N分别在圆前:（久一+（y—2尸=1和C2:（x-3）+

（y-4）2=3上，动点P在%轴上，则（）

A.圆。2的半径为3

B.圆Ci和圆C2相离

C.|PM|+|PN|的最小值为2机

D.过点P做圆Ci的切线，则切线长最短为旧

【解题思路】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆Q关于x对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值

判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.

【解答过程】圆G的圆心1(1,2),半径万=1,圆C2的圆心。2(3,4),半径下=班,

对于A,圆C2的半径为遮，A错误；

对于B,|CiC2|=2V2>1+V3,圆Ci和圆C2相离，B正确；

对于C,圆Ci关于x轴对称的圆为Co：(x-l)2+(y+2)2=1,Co于,-2),连接C0C2交x于点Pi，连接PiQ,

由圆的性质得，\PM\+\PN\>|PCI|-1+|PC2|-V3=|PCO|+|PC2|-1-V3

>|C0C2|-1-V3=2V10-1-V3,当且仅当点P与Pi重合，

且M,N是线段PiC]PiC2分别与圆Ci和圆的交点时取等号，C错误；

对于D,设点P(t,O),过点P的圆Ci的切线长伊用=JPCl-ACl=V(t-l)2+22-l>V3,

当且仅当t=L即P(1,O)时取等号，D正确.

11.(6分)(2024•福建龙岩•三模)已知抛物线。铲=2px(p>0)与圆0:久2+>2=20交于4,8两点，且

|4用=8.过焦点F的直线I与抛物线C交于M,N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线

C的准线与坐标轴的交点，则()

A.若而=3前，则直线I的斜率为土苧B.|MF|+4|NF|的最小值为18

C.NM0N为钝角D.点P与点尸的横坐标相同时，禺J最小

【解题思路】根据抛物线与圆的方程可得4(2,4),代入抛物线方程可得好=8羽即可根据向量的坐标关系

求解坐标，由斜率公式即可求解A,根据焦点弦的性质同+而=1=：,结合基本不等式即可求解B,联

立直线与抛物线方程，根据数量积即可求解C,根据焦半径公式以及点点距离公式可得由F|,|PQ|,即可结合

不等式求解D.

【解答过程】因为抛物线C：y2=2px（p>0）与圆。：%2+、2=20交于/,台两点，且|力用=8,

则第一象限内的交点/的纵坐标为4,代入圆方程得横坐标为2,即4（2,4）,

所以42=4p,p=4,即抛物线方程为y2=8x,焦点为F（2,0）.

设M（Xi，yi）,N（X2，y2）,

对A,由丽=3前得（2—%i，—y。=3（X2—2》2），

'"2=|

则^又因为走=8孙秃=8x,解得

2H=±啜

I4V3_0

所以直线’的斜率为干=±行故A错误;

1121

对B,由抛物线定义得两+丽=6=5,

所以|MF|+4|NF|=2（|MF|+4|NF|）（意+高）

=1。+2糊+需）>10+8=18,

当且仅当睛=概，即|MF|=2|MF|时等号成立,

因此|MF|+4|NF|的最小值为18,故B正确；

对C,如图，不妨设M在第一象限，

设M(Xi,yD，N(X2,y2)，设直线1：久=my+2,联立抛物线的方程消x,

2

得y2-Qmy_16=0,又4=(—8m)+4X16>0,

所以y，2=-16,%1X2=曾・普=空普=4,

+、1丫2=4—16=—12V0,

•••cos^OM^ON)<0,/MON为钝角，故C正确；

对D,(2(-2,0),F(2,0),设P(Xo，yo)，则羽=8%0的20,

由抛物线的定义可得|PF|=x0+2,

\PQ\=J(%o+2)2+(y。-0)2=JXQ+4xo4-44-8%。=JXQ+12XQ+4,

又％o>0,

则四■二72X°"一.=lx^+4x0+4_L8x0

、|PQIJ》o+12久o+41就+12&+41%Q+12X0+4

=11____4—>8=返,

Jx°+可+12j2m+122

当且仅当%o=2时取等号，所以裔J的最小值为名，故D正确.

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024•山东•二模)过直线x+y+1=0和3x—y—3=0的交点，倾斜角为45。的直线方程为.

【解题思路】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.

12

【解答过程】联立％+y+1=0与3;r—y-3=0可得久=-,y=-

故交点为G，—|)，倾斜角为45。，所以斜率为1,

■21

故直线方程为y+T=x—a即y=x—2，

故答案为：y=x-2.

13.(5分)(2024•辽宁沈阳•模拟预测)已知圆C:/+*=1,直线〃x+y+2=0,p为直线［上的动点，

过点P作圆C的两条切线，切点分别为4B,则直线48过定点.

【解题思路】设出P点坐标，可得以PC为直径的圆的方程，与圆C方程作差即可得公共弦方程，即可得定点

坐标.

【解答过程】根据题意，P为直线2：x+y+2=0上的动点，设P的坐标为9―2—t),

过点P作圆C的两条切线，切点分别为4B,则P414C,PBLBC,

则点4B在以PC为直径的圆上，

又由C(0,0),P(t,—2—t),则以PC为直径的圆的方程为x(比一t)+y(y+2+t)=0,

变形可得：x2+y2—tx+(t+2)y=0,

则有可得：1—tx+(t+2)y=3

变形可得：l+2y-t(x-y)=0,即直线力B的方程为1+2y——y)=0,

_1

则有｛:七半二J，解可得久［工，故直线4B过定点

«2

14.（5分）（2024•内蒙古呼和浩特•二模）已知椭圆时卷+俨=1,经过坐标原点的两条直线分别与椭圆M

相交于4、B、C、。四个点，若该两条直线的斜率分别为的、七，且=—今则44。。的面积为.

【解题思路】设出点4C的坐标，将△AOC的面积用坐标表示，再利用已知条件及点在椭圆上进行坐标运

算求解即可.

【解答过程】设4（%i,yi）,c（x3,y3），因为的七=-p

所以。4、0c的斜率存在且不为0,即工63月乃丰0,

直线。4方程：y=点，即月万一Xiy=0,

所以点C到。4的距离为d=场篇言

因此△AOC的面积为S&4"=与好+资」=jksyi-/为1，

而点2、C在椭圆J+y2=i上，且七七=黑=一】所以

Z人1人3Z

慧="为尸=3化简得好+超=2,

所以（右外-%/3）2=xjyl+xlyl-2久63丫,3

=域1—日）+好（1—苧）-2型3（一等）=好+始=2，

所以S/V1OC—张3yl—^1X31—挈

故答案为：挈

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2024•陕西西安•二模)解答下列问题.

(1)已知直线，i：a久一3y+4b=0与直线L：2x+by—2a=0相交，交点坐标为(1,2),求a,6的值；

(2)已知直线2过点P(2,3),且点M(3,l)到直线1的距离为1,求直线1的方程.

【解题思路】(1)利用直线的交点坐标同时在两直线上解方程组即可得到结果；

(2)分直线的斜率存在与否，不存在时，直接验证即可；存在时利用点斜式设出直线方程，再由点到直线

的距离解出斜率，得到直线方程即可.

【解答过程】(1)由题意得/*公)。,即｛北二曾二：解得聘:1.

•••a=2,b=1；

(2)显然直线2：x=2满足条件.此时，直线/的斜率不存在.

当直线/的斜率存在时，设E:y—3=k(x—2),ipz：fcx-y-2/c+3=0.

・••点见3,1)到直线l的距离为1,

得直线Z:3x+4y-18=0

综上所述，直线，的方程为/：x=2和3%+4y—18=0.

16.(15分)(2024•山东•二模)已知双曲线的中心为坐标原点。，点P(2,—鱼)在双曲线上，且其两条渐

近线相互垂直.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若过点Q(0,2)的直线，与双曲线交于E,F两点，△OEF的面积为2vL求直线1的方程.

【解题思路】(1)设所求双曲线方程为川=小，(巾70),把点P(2,—a)代入，即可得出答案.

(2)根据题意设直线/的方程为y=kx+2,联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长

公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案.

【解答过程】(1)因为双曲线C的两条渐近线互相垂直，

所以双曲线C为等轴双曲线，

所以设所求双曲线方程为%2-y2=血，(m0),

又双曲线C经过点P(2,一何，

所以4—2=血，即m=2,

所以双曲线的方程为炉一产=2,即9=1.

(2)根据题意可知直线1的斜率存在，又直线/过点Q(0,2),

所以直线/的方程为y=kx+2,

2

所以原点。到直线/的距离d=-=,

-vfc2+l

联立修二笔2刍,f#(fc2—l)x2+4kx+6=0,

所以M丰1且A=16k2-24(fc2-1)=24-8/c2>0,

所以卜2<3,且忆2片1,

所以IEFI=日”•严言严=VI”•告叵，

11\k2—l\|/c2-1|

；

所以△OEF的面积为｝•|EF|,d=1-Vl+fc2,2^3~<2,/JTT=2V2,

zz|fcz-1|VK2+1

所以小=1,解得H=2,所以k=±VL

所以直线/的方程为y=V2x+2或y=-V2x+2.

17.(15分)(2024•山西太原•二模)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点D(2,l)且斜率为

1的直线经过点F.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若48是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点O),使得当直线经过点

M时，满足。41。8?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得p=2,

(2)联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.

【解答过程】(1)由题意过点。(2,1)且斜率为1的直线方程为y—l=%—2,即y=%—1,令y=0,则

x=1,

点尸的坐标为(1,0),《=1,

■■-P=2.抛物线C的方程为y2=4%.

(2)由(1)得抛物线C：丫2=4心假设存在定点

设直线48的方程为刀=ty+6(teR,m0),i4(x1,y1),外物及)，

m

由｛"/24%,得VTty—4nl=0,

2

.,.yi+y2=4t,yiy2=—4m,△=16t+16m>0,

•：OA1OB,：.OA-OB=0,

22

■■OA-OB=%i%2+7172=(tyi+m)(ty2+m)+yiy2=(t+1)%丫2+tm(y1+y2)+m

=—4m(t2+1)+4mt2+m2=m2—4m=0,

.,.TH=4或?n=0(舍去)，

当m=4时，点A/'的坐标为(4,0),满足。41。8,A=16t2+16m>0,

•••存在定点”(4,0).

*BL>

18.(17分)(2024•江苏苏州•三模)已知圆。:/+产=%直线。：*=根，直线=x+b和圆交于/,

8两点，过，，8分别做直线。的垂线，垂足为C,D.

(1)求实数6的取值范围；

(2)若m=—4,求四边形/8DC的面积取最大值时，对应实数b的值；

(3)若直线ND和直线2c交于点E,问是否存在实数小，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实

数M的值;若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)利用圆。与直线L相交可建立关于b的不等式，求解即可；

(2)联立圆。与直线L的直线方程，利用韦达定理和匕表示出四边形/2DC的面积，再构造函数，利用导数

求解即可；

(3)表示出直线和直线2C交的直线方程，联立方程组得到y的值，再结合韦达定理可得实数椁

【解答过程】(1)圆。的半径为2,因为直线%和圆。交于42两点，

所以圆心到直线6的距离d=号<2,

解得一2&'<b<2VL

则实数b的取值范围为一2立<b<2V2；

⑵设4(久1，月)凤%2/2)，则C(-4,%),D(-4,y2)，

由｛31/七1得2/+2版+炉_4=0,

所以X1+%2=一仇％62=号>yi-y2=Xi-X2,

则|yi—yzl=J(xi—肛)2—J(%1+))2—4xj%2=V8—b2>

因为四边形280C为直角梯形，

所以四边形48DC的面积S=l(\AC\+|DB|)|yi-y2|

=1(xi+4+肛+4)|%-加=T=(8—炉)(8—匕)2,

令/(b)=(8-炉)(8-切2(-2V2<b<2V2),

尸(6)=4(8—b)(/_4b_4),令/(6)=0,解得b=2—2五,

当-2V2<b<2-2a时，「(b)>0,/(b)单调递增，

当2—2鱼<6<2四时，f'(b)<0,f(b)单调递减,

所以当b=2—2鱼时四边形NADC的面积最大，

且最大值为(6+272)7272-1；

(3)AQX1,yi),B(x2,y2),则。(犯月),。(犯丫2)，且直线A。、BC的斜率存在,

由(2)%1+%2=—瓦11%2=，yi=+b,丫2=12+b，

y一、2

直线ZD:擀2，直线=上添,

yi-y2

丫2久1+久2丫1一小丫1一如丫2。2+1)01-九)+01+5)02-九)

联立得y=

x1+x2—2mXi+X2~2m

2

2%2%I+(%i+汽2)(b—m)—2bmZ)—4—b(b—m)—2bmbm+4

%1+x2~2m—b—2mb+2m

若怒为常数，贝必巾+4=做6+2巾)，其中k为常数,

，解得卜