高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法（1）教学实录 北师大版选修2-2

高中数学第一章推理与证明1.3反证法（1）教学实录北师大版选修2-2一、教学背景

授课内容：高中数学第一章推理与证明1.3反证法（1）

授课年级：高二

教材版本：北师大版选修2-2。

本节课主要引导学生理解并掌握反证法的基本原理及其在数学证明中的应用。通过分析具体例题，使学生能够运用反证法解决实际问题，提高学生的逻辑思维能力。二、核心素养目标

课程目标设定

1.让学生能够理解反证法的概念及其在数学证明中的应用。

2.培养学生运用逻辑推理分析问题和解决问题的能力。

3.提升学生数学抽象思维和严谨论证的科学态度。三、教学内容分析

1.主题内容：本节课的主题是反证法，主要包括反证法的定义、步骤以及在数学证明中的应用。通过讲解和例题演示，使学生掌握反证法的基本原理，能够独立运用反证法解决一些简单的数学问题。

2.重点难点：

-重点：理解反证法的定义和步骤，掌握反证法在数学证明中的应用。

-难点：如何灵活运用反证法，特别是在解决复杂问题时，如何确定反设的正确性以及如何从反设推导出矛盾。

本节课将围绕以下几个部分展开：

-反证法的概念引入，通过简单实例让学生感受反证法的基本思想。

-分析反证法的步骤，包括假设命题的否定、推导出矛盾、得出原命题成立。

-通过典型例题，展示反证法在证明不等式、几何题、代数题等方面的应用。

-设计课堂练习题，让学生在实践中巩固反证法的应用，培养解决问题的能力。

-最后通过课堂小结，回顾反证法的核心要点，强化学生的理解和记忆。四、教学方法与策略

1.采用讲授与讨论相结合的方式，首先通过讲授介绍反证法的概念和步骤，然后引导学生进行讨论，分析反证法的应用案例。

2.设计课堂练习环节，让学生在小组内进行问题解决，通过合作学习促进学生互动，加深对反证法的理解。

3.利用多媒体教学工具，展示反证法解题过程的动态演示，增强直观性，帮助学生更好地理解抽象概念。五、教学过程设计

1.情境导入（5分钟）

内容：教师通过一个简单的数学谜题来吸引学生的注意力，谜题的解答需要用到反证法。教师引导学生思考并尝试解答，从而自然引入反证法的概念。

2.新知探索（20分钟）

内容：教师首先介绍反证法的定义，然后通过几个简单的例子，逐步解释反证法的步骤。接着，教师展示一些典型的反证法应用案例，引导学生探索反证法的内在逻辑和适用条件。

-示例1：证明一个数不能同时是偶数和奇数。

-示例2：证明对于任意三角形，两边之和大于第三边。

教师引导学生分析每个步骤的目的和意义，让学生理解反证法在证明过程中的作用。

3.互动体验（15分钟）

内容：学生分小组，每组选择一个反证法的题目进行讨论。每个小组需要按照反证法的步骤，尝试证明题目中的命题。小组成员轮流发言，解释自己的思路，其他小组成员提供反馈和补充。教师在旁听并提供必要的指导。

-题目1：证明如果一个数的平方是偶数，那么这个数也是偶数。

-题目2：证明不存在两个不同的质数，它们的乘积加1还是一个质数。

4.实践应用（5分钟）

内容：教师给出几个练习题，要求学生在纸上独立完成，并简要说明使用反证法的步骤。学生在规定时间内完成练习，教师随机抽取几份作业进行点评，强调反证法的关键要点和易错点。

-练习题1：证明如果一个多项式的次数是奇数，那么它的图像与x轴至少有一个交点。

-练习题2：证明如果两个整数a和b满足a^2+b^2=2，那么a和b都不能是奇数。

整个教学过程设计旨在通过情境导入激发兴趣，通过新知探索建立知识框架，通过互动体验加深理解，通过实践应用巩固技能。六、教学反思

这节课通过情境导入、新知探索、互动体验和实践应用四个环节，让学生对反证法有了更深刻的理解。在互动体验环节，我发现部分学生对反设的概念理解不够深入，导致在证明过程中出现逻辑错误。接下来，我计划加强对这部分学生的个别辅导，确保他们能够熟练掌握反证法的应用。此外，我也注意到在实践应用环节，部分学生对于解题步骤的表述还不够规范，我会在后续的教学中加强对学生解题表达的训练。整体来看，学生对反证法的兴趣和参与度较高，这让我感到欣慰。七、评价与反馈

1.课堂表现评价

参与度：学生们在课堂上的参与度较高，尤其是在互动体验环节，大多数学生能够积极发言，参与到小组讨论中，表现出良好的合作能力。

准确性：学生在回答问题和完成练习时，能够较为准确地运用反证法的原理，但在逻辑推理的严密性和步骤的条理性上还有待提高。

2.作业与测试评价

作业质量：学生的作业质量参差不齐，部分学生能够条理清晰地展示反证法的解题过程，但也有一些学生在逻辑表达上存在模糊不清的问题。

测试成绩：测试结果显示，大部分学生对反证法的基本概念有了较好的掌握，但在复杂问题的解决上，部分学生还未能达到预期水平。

3.反馈与改进

学生反馈：学生们普遍反映课堂互动有助于理解反证法，但希望在逻辑推理的细节上有更多的指导。

教师反思：在教学过程中，我意识到需要更多地关注学生的个性化需求，特别是在逻辑推理的细节指导上。未来，我计划增加一些针对性的辅导，同时引入更多的练习题来巩固学生的逻辑推理能力。八、九结语

同学们，今天我们一起学习了反证法，这是数学中一种非常重要的证明方法。通过这节课的学习，我希望你们不仅理解了反证法的基本概念，还能够在实际问题中灵活运用它。记住，数学是一门需要严谨思考和逻辑推理的学科，反证法正是培养这些能力的一个有效工具。在接下来的学习中，我希望你们能够继续练习，不断提高自己的逻辑思维和解决问题的能力。如果你们在作业或者练习中遇到任何问题，随时可以来找我，我们一起讨论，一起进步。加油，我相信你们都能够做得很好！九、教学资源与技术支持

教学资源库：为了更好地进行逻辑推理教学，我建立了一个逻辑推理教学资源库。这个资源库包括了与教材相关的课件、案例、视频和文章等。课件涵盖了反证法的基本概念、步骤解析以及典型例题，方便教师在备课时能够快速找到所需的教学材料。案例部分则收录了一些经典的反证法应用题目，以及学生的解题过程分析，有助于学生理解反证法在实际问题中的应用。视频资源包括了一些专家讲解反证法的讲座和教学演示，文章则涉及反证法在数学史上的发展以及在各个领域的应用。

在线学习平台：我积极利用在线学习平台进行远程教学和互动。平台上设置了逻辑推理的专门课程，学生可以随时随地登录平台进行学习。除了课程内容，平台还提供了在线测试、讨论区、作业提交等功能。学生可以在讨论区提问，与其他同学交流学习心得，教师也可以通过平台监控学生的学习进度，及时给出反馈。这种远程教学和互动模式大大提高了教学的灵活性和学生的学习便利性。

技术支持：为了确保教学活动的顺利进行，学校提供了稳定的教学设备和网络环境。学校的信息技术部门负责定期检查和维护教学设备，确保其正常运行。同时，为了保障网络环境的安全性和稳定性，学校安装了防火墙和杀毒软件，定期更新系统，以防止网络攻击和数据丢失。在技术支持方面，学校还为教师提供了必要的技术培训，帮助教师熟练掌握各种教学软件和工具的使用方法，以便更有效地开展教学工作。

在教学资源和技术支持的基础上，我还计划开展以下活动：

-定期更新教学资源库，收录最新