2025年中考数学技巧专项突破：圆的综合（27类题型）（解析版）

专题3-6圆的综合（27类题型）

题型•解读/

圆的综合问题常用的规律方法

模块一圆中常见辅助线

【题型1］遇到弦时

【题型2】遇到有直径时

【题型3］遇到有切线时

【题型4】遇到两相交切线时

【题型5】遇到三角形的内切圆时

【题型6】遇到三角形的外接圆时

模块二切线证明

类型1有公共点：连半径，证垂直

【题型7】特殊角计算证垂直

【题型8】勾股定理逆定理证垂直

【题型9】通过平行线代换证垂直

【题型10】利用等角代换法证明垂直

【题型11】利用三角形全等证明垂直

类型2无公共点：作垂直，证半径

【题型12】角平分线的性质证半径

【题型13］特殊角计算证垂直

模块三圆中求线段长度

【题型14］结合勾股定理求线段长

【题型15］结合三角函数求线段长

【题型16］结合相似求线段长

【题型17］利用旋转变换求线段长

模块四以圆为背景的阴影部分面积问题

【题型18】和差法（割补）

【题型19］拼接法（等积变形）

模块五其它类型

【题型20】与圆锥的相关计算

【题型21］圆内接四边形

【题型22］圆与相似综合1：等积式相关证明

【题型23］圆与相似综合2:线段积问题

【题型24】圆中线段间的数量关系（和差倍分）

【题型25】选填压轴以圆为背景的多结论判断问题

【题型26】求圆周角的三角函数值

【题型27］圆中的翻折

MR/满分•技巧/

圆的综合问题常用的规律方法:

技法01:第一问常考考点——切线，对应规律

①切线的判定：常用方法

有切点，连半径，证垂直！

无切点，作垂直，证半径！

☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证_L,先找J_

②切线的性质：常用方法T见切点，连半径，得垂直！

因切线所得结论必为J_,故常以直角三角形来展开后续问题

技法02:考题常见结合考点

角平分线'

①知2得1：平行线知2得In常用于第1问关联“切线”

等腰△

一△相似'

常因相似得对应边成比例

②三角形相似:/字、8字相似结合的可能性最大n

进而求长度

母子△相似

③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似;

特殊之处是：给三角函数，必“找"RtA

④特殊角及其转化：

’15。T■推30。、75。、75。的等腰4

也回国有4，30。—推等边△（圆心角为60。亦可得）

当圆周角为V

45。.推等腰及△（圆心角为90。亦可得）

60。-＞推1:1：力型等腰△（圆心角为120。亦可得）

技法03:常见辅助线

①连半径----有关切线时，连接的是过切点的半径

②作弦心距——构造RtZ\,进而用知2得3

----或做两条弦心距，构造矩形或正方形

③连接弦——使直径所对的圆周角=90°,进而在Rt△中展开问题

技法04:圆中等积式证明(三角形相似)

圆中的等积式证明主要有下面几种形式：

(1)BEEF=DE-AE

(2)CF~=CGCE

(3)CE2=kDEBO

(4)MN-MC=a(证a为定值)

BEAECFCE

其中第(1)(2)的形式属最简单的形式，只需要将线段乘积写成比例的形式(----=,=)

DEEFCGCF

然后找到对应的两个三角形相似即可，稍复杂的题目还会有将等积式中的线段替换为其他相等的线

段情况;

第(3)种形式和第(2)种类似，建议先写成线段比例的形式，然后再考虑数字的归属问题，将系

数分配给某一线段；

MN()

第(4)种情况难度最大，题目中只给两条线段，另外两条需要自己找，建议写成(-=布的形式,

括号内的一般填入的是题中可求值的线段，再根据题中条件具体分析即可。

【圆中的相似模型】

(1)圆周角定理推论(直径所对圆周角为90。;同弧所对圆周角相等)

(2)圆的内接四边形对角互补(通常是圆内外两个三角形相似)

(3)已知线段比例关系，利用公共角及两边对应成比例证相似

技法05:求阴影部分面积

求阴影部分面积主要有2种形式：①割补法，②等级变形(拼接)

核心•题型/

模块一圆中常见辅助线

【题型1］遇到弦时

处理方式：常添加弦心距

1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如

图1.唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水能利物，轮乃曲成”.如图2,己知圆心。在水面上方,

且。。被水面截得弦4B长为8米，若点C为运行轨道的最低点，点C到弦4B所在直线的距离

是2,则。。的半径长为米.

RII

【答案】5

【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直

角三角形解决问题.连接。C交力B于点£.利用垂径定理得ZE=4,再利用勾股定理即可求出半径.

【详解】解：连接。C交4B于点E.设。4=。。=r,

由题意0C1AB,

：.AE=BE=^AB=4(米),

VCE=2,

：.0E=r-2,

在Rt△AEO中，r2=42+(r—2)2,

.•.丁=5米，

故答案为：5.

2.如图，O。的半径为10V2,弦力B的长为16vLp是弦力B上一动点，则线段0P长的最小值为（）

【答案】D

【分析】过O点作。H1AB于连接。B,如图，根据垂径定理得到4"==8,再利用勾股定

理计算出。然后根据垂线段最短求解.

【详解】解：过。点作OH_L48于〃，连接。B,如图，

在Rt△BOH中，。口=VOS2-BH2=J（1OV2）2-（8V2）2=6五,

二线段。P长的最小值为6V2.

3.（2022•安徽中考）已知。。的半径为7,48是。O的弦，点尸在弦48上.若巴4=4,尸2=6,

则OP=（）

A.V14B.4C.V23D.5

【答案】D

【分析】连接CM,过点。作OCL/B于点C,如图所示，先利用垂径定理求得NC=3C=；/8=5,

然后在中求得℃=2几，再在放APOC中，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：连接04,过点。作OC_L43于点C,如图所示，

则NC=8C=g/8,CM=7,

"PA=A,PB=6,

Z8=P/+P8=4+6=10,

/.AC=BC=^AB=5,

2

：.PC^AC-PA=5-4=\,

在RtAAOC中，QC=yjoA2-AC2=A/72-52=2屈，

在RtNPOC中，OP=A/(9C2+PC2=J(2网2+F=5,

故选：D

4.如图，4B是。。的直径，弦CD交力B于点P,N4PC=30。，点P是。力的中点，且ZP=2,则

【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30。角的直角三角形的性质.如图，作。H_LCD

于H,连接。C,根据垂径定理得HC=HD,由题意得OP=2,。4=4,在RtAOPH中，根据含30。

的直角三角形的性质计算出。"=OP=1,然后在RtAOHC中，利用勾股定理计算得到C"=小，

即CD=2CH=2位.解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算.

:.HC=HD,则CD=2CH,

•：AP=2,点P是。4的中点，

：.AP=OP=2,则。4=。3=4,

：.AB=8,则。C=4,

VOW1CD,^APC=30°,则NOPH=30°,

1

：.OH=-OP=1,

2，

在RtAOHC中，

VOC=4,OH=1,

/.CH=VOC2-OH2=V15,

ACD=2CH=2V15

5.已知。。的半径是5cm,弦48||CD,AB=6cm,CD=8cm,贝与CD的距离是（）

A.7cmB.7cni或lcmC.5cm或2cmD.lcm

【答案】B

【分析】有两种情况，需分类讨论，即力B,CD在圆心。的同侧或两侧两种情况.

【详解】解：如图①，过。作。FJ.4B于F交CD于E,连接04，0C,

•••AB||CD,

0E±CD;

由垂径定理得4F=FB=^AB=3,CE=DE=；CD=4,

OF=VOX2-AF2=4,OE=VOC2-CE2=3,

①

如图②，过。作。于F交。。于E,连接。4,0C,

-AB||CD,

•••OE1CD;

同理可得。F=4cm,OE=3cm,

当49,CO在圆心。的两侧时，

EF=OF+OE=7（cm）,

AB与CD的距离为7cm或lcm.

故选B.

6.如图，已知。。的直径为26,弦ZB=24,动点P、Q在。。上，弦PQ=10,若点M、N分别是

弦ZB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）

A.7<MN<17B.14WMNW34C.7<MN<17D.6<MN<16

【答案】A

【分析】连接。M、ON、。力、OP,由垂径定理得到，。M_L48,ON1PQ,AM=^AB=12,PN=gPQ=

5,由勾股定理得到。M=5,ON=12,当4BIIPQ时，M、O、N三点共线时，当48、PQ位于点。

的同侧时，线段MN的长度最短，当4B、PQ位于点。的两侧时，线段MN的长度最长，分别求解即

可.

【详解】解：连接。M、ON、。4OP,如图所示，

■,•O。的直径为26,

:.OA=OP=13,

■:点M、N分别是弦力B、PQ的中点，AB=24,PQ=10,

:.OMLAB,ON1PQ,力M=[AB=12,PN=*Q=5,

.■.OM=V132-122=5,ON=V132-52=12,

当4BIIPQ时，M.O、N三点共线，

当月B、PQ位于点。的同侧时，线段MN的长度最短=OM—ON=12—5=7,

当4B、PQ位于点。的两侧时，线段MN的长度最长=OM+ON=12+5=17,

二线段MN的长度的取值范围是7<MN<17

【题型2】遇到直径时

处理方式：常添加（画）直径所对的圆周角

作用：利用圆周角的性质得到直角或直南三角形。

7.如图，在△ABC^,AB=AC,NC=70°,以4B为直径的。。交BC于点，则BD的度数为

【分析】连接4。，OD,根据4。是o。的直径，可得乙408=90。，再根据NC=70。，可

得NB的值，然后求得Z£MB,从而求出ADOB即可.本题考察圆周角定理，解题的关键是正确添加辅

助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半.

【详解】解：连接AD,OD,如图所示：

是。。的直径，

：.^ADB=90°,

"：AB=AC,ZC=70°,

:.乙B="=70°,

"DAB=20°,

:.乙DOB=40°,

丽的度数为40°.

8.如图，点力、B、C、。均在O0上，AB为直径,BC=CD.若=50。，求NB的度数.

【答案】乙B=65°

［分析］本题考查了直径所对的圆周角是直角，弦与圆周角的关系；根据已知可得ABAC=I乙BAD=

25°,根据48为直径，可得乙4cB=90。，进而即可求解.

【详解】解：如图，连接4C.

'：BC=CD,ABAD=50°,

：.^BAC^-Z.BAD=25。，

•・・/8为直径，

：.^ACB=90°,

AZB=90°-ABAC=90°-25°=65°.

9.如图，在△48。中，AB=AD,以A8为直径作。。，交线段BD于点C,过点C作CF1AD于点E.

(1)求证：CF是。。的切线.

(2)当乙D=30°,CE=旧时，求应1的长.

【答案】(1)见解析

(2)|兀

【分析】(1)连接。C,根据等边对等角得出NB=N。，再结合圆的基本性质得NO=NOCB,从而得

到。CIIAD,再根据平行线的性质进行证明即可；

(2)连接力C,由等腰三角形的性质得CD=2CE=2百，NB=ZD=3O。，再根据圆周角定理得出

^AOC=2ZB=60°,设力C=x,根据勾股定理求出半径，最后根据弧长公式求解即可.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

CF1AD,

：.ACED=90°,

"：AB=AD,

:,乙B=Z.D,

•：OB=OC,

Z-B=(OCB,

Z.D=Z.OCB,

：.OC||AD,

：./-OCE=乙CED=90°,

：.OClCFf

又・.・OC为。。的半径，

・・・CF是。。的切线；

(2)解：如图，连接ZC,

VCF1.AD,ND=30。，CE=V3,

ACD=2CE=2V3,

••ZB为直径，

：.AC1BD,

5LU：AB=AD,

：.BC=DC=2V3,LB=LD=30°,

・・・乙4。。=248=60。，

・・,在RMZBC中，43=30。，

：.AB=2AC,

设ZC=x,则48=2%,

由勾股定理，^AB2=AC2+BC2,即（2x）2=/+（2遮），

解得x=2或x=—2（舍去），

：.AC=2,

：.AB=4,

AOA=2,

【题型3］遇到有切线时

处理方式：添加过切点的半径（连结圆心和切点）

10.如图，CD切。。于2,若NC=30。，则N4BD的度数是

【答案】60°

【分析】此题考查了切线的性质，连接。B,由切线的性质知△OBC是直角三角形，可求出NCOB的

度数，由于NC08是等腰△AOB的夕卜角，由此可求出N0B4的度数，已知NOB力和44BD互余，即可得

解，解题的关键是熟练掌握切线性质，直角三角形性质和三角形外角性质及其应用.

【详解】如图，连接。B,

:CD与。。相切于8,

：.^OBC=90°;

在RtACOB中,乙C=30°,

:•乙COB=9O°-ZC=60°,

VOA=OB,

：.^0BA=Z.0AB=-/.COB=30°,

2

：.^ABD=90°-乙OBA=60°

11.如图，在o。中，AB切。。于点4连接。B交。。于点C.过点4作力DII0B交。。于点D,连接

A.21°B.24°C.25°D.30°

【答案】A

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.连接04,

如图，根据切线的性质得到N04B=90。，则利用互余可计算出乙4。8=42。，再利用圆周角定理得

到N4DC=21°,然后根据平行线的性质得到N0CD的度数.

【详解】解：连接。力，如图，

•••4B切。。于点力，

•••OA1AB,

•••^OAB=90°,

1.,Z.B=48°,

.­.Z.AOB=90°-48°=42°,

.­.Z.ADC^-/.AOB=21。，

-AD||OB,

•••2L0CD=AADC=21°.

12.如图，半圆。。的圆心在BC上，力C、分别与。。相切于点C、D,半圆。。交BC于另一点E.连

接困A0,求证：DE||A0.

【答案】见解析

【分析】本题考查圆的切线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，连接证明出

乙40C=ZDE。或乙4。。=NODE即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证

明出结论

【详解】连接0D,

AC,4B分别为。。的切线，

'.AC=AD,/.OCA=^ODA=90°,

在Rt△。4C和Rt△OAD中，

(OA=OA

VAC=AD'

：.RtAOACmRt△OAD(HL),

：.Z.AOC=Z.AOD,

；OD=OE,

:."DE=乙OED,

:4COD=乙ODE+乙OED,

：.^AOC=AOED,

：.DE||AO

【题型4】遇到两相交切线时

处理方式：常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点（切线长定理）

13.如图，PA,PB分别与。。相切于点4、B,连接力B.若力B=PB,点C为圆上一点（异于4、B）,

则"CB=度.

【答案】60。或120°

【分析】本题考查了切线的性质及圆周南定理，分当点C在劣弧力B上时与当点C在优弧力B上时两种

情况进行讨论，根据圆周角定理计算乙4cB的度数，掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：②当点C在劣弧48上时，如图所示，连接。4、OB,

,：PA.PB分别与。。相切于4、B两点,

：.OA1PA,OB1PB,PA=PB,

：.^OAP=乙OBP=90°,

'：AB=PB,

：.PA=PB=AB,

."P=60°,

：.^AOB=180°一乙P=180°-60°=120°,

J.Z.ACB=g(360。—120°)=1x240°=120°；

②当点C在优弧上时，如图所示，连接。力，OB,同②可得NP=60。，^AOB=120°,

故答案为：60°或120°.

14.如图，从点P向。。引两条切线PA,PB,切点为A,8,作直径BC,连接AC,若NP=60°,PB=2,

则AC=

p

【分析】根据PA、PB是切线，4P=60°,判断出AABP是正三角形，根据CB1BP,判断出NCBP=

90°,进而得出乙4BC=30°,再利用勾股定理求出4c的长.

【详解】解：如图，连接48,

PA,PB是O。的切线，

:.乙OBP=90°,PA=PB,

又；乙P=60°,

.•.△4PB是等边三角形，

•••AB=PB=2,乙PBA=60°,

•••Z4BC=30°,

•••BC是。。的直径，

:.乙BAC=90°,

■.AC^^BC,

设4C=%(%>0),则BC=2x,

222

vAC+AB=BCf

x2+22=(2%)2,

.・.X=—2V3,

即ac的长度为苑.

3

15.如图，PZ、尸8是。。的切线，儿B为切点,2LOAB=30°.

A

⑴求乙4PB的度数；

(2)当月P=3时，求。。的半径.

【答案】⑴乙4PB=60°;

(2)0。的半径为百.

【分析】本题考查了切线长定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质.

(1)根据等腰三角形等边对等角可得4。48=/。84=30。，根据圆切线的性质可得NP4。=

APB0=90°,从而得到NP4B=NPB4=60。，求得△P力B是等边三角形，据此求解即可；

(2)根据切线长定理得到乙4P。=NBP。=30°,根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理

计算即可求解.

【详解】(1)解：=OB,

：./.OAB=Z.OBA=30。，

'：PA,PB是。。的切线，

."P力。=乙PBO=90°,

：.^PAB=APBA=60°,

...△P4B是等边三角形，

C.^APB=60°;

(2)解：连接OP,

"：PA,PB是。。的切线,

，OP平分乙4PB,

：.^APO=乙BPO=30°,

：.OP=2OA,

'：AP=3,OP2=OA2+AP2,

：.(20A)2=OA2+32,

AOA=V3,

...O。的半径为四.

【题型5】遇到三角形的内切圆时

处理方式：连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段

作用：利用内心的性质，可得①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;

②内心到三角形三条边的距离相等。

16.（2023•湖北天门中考）如图，在“8C中，ZACB=70°,△4BC的内切圆。。与ZB8c分别

相切于点。，E,连接。E,/。的延长线交。£于点尸，则//阳=.

C

【答案】35°

【分析】如图所示，连接。£,OD,OB,设OB、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定

理求出//。3=125°,再由切线长定理得到,进而推出08是。E的垂直平分线，即

ZOHF=90°,则/4FD=/4OH-/OHF=35。.

【详解】解：如图所示，连接OE,OD,OB,设08、DE交于H,

'：QO是^ABC的内切圆，

OA.分别是NG4B、NCR4的角平分线，

ZOAB=-Z.CAB,AOBA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

ZCAB+ZCBA=180°-Z^CS=110°,

ZOAB+ZOBA=-Z.CBA+-ZCAB=55°,

22

ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=125°,

；OO与AB,BC分别相切于点D,E,

：.BD=BE,

又：OD=OE,

.•.08是。E的垂直平分线，

：.OBLDE,即NO"/=90。，

AAFD=ZAOH-ZOHF=35°,

故答案为：35°.

17.如图，在一张Rt△4BC纸片中，乙4cB=90。，BC=5,AC=12,。。是它的内切圆.小明用

剪刀沿着。。的切线DE剪下一块三角形力DE,则△力DE的周长为（）

A.19B.17C.22D.20

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线

的性质.设△力BC的内切圆切三边于点F,H,G,连接。F,OH,OG,得四边形。HCG是正方形，由

切线长定理可知4F=AG,根据DE是。。的切线，可得MD=MF,EM=EG,根据勾股定理可得48=

13,再求出内切圆的半径：Q4C+BC—4B）=2,进而可得AADE的周长.

【详解】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G,连接OF、OH、OG,

...四边形。HCG是正方形，

由切线长定理可知4F=AG,

「DE是。。的切线，

：.MD=DF,EM=EG,

"：^ACB=90°,BC=5,AC=12,

：.AB=yjAC2+BC2=13,

：o。是△ABC的内切圆，

1

内切圆的半径+=2,

ACG=2,

：.AG=AC-CG=12-2=10,

：.AF=AG=10,

・・・ZL40E的周长为：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=10+10=20.

18.已知：如图，。。是At△48。的内切圆，ZC=9O°.若AC=12CTH,BC=9cm,求。。的半径

r；若AC=b,BC=a,AB—c,求。。的半径r.

【答案】r=3;r=|(a+b—c)

【分析】连接。D,OF,证明四边形。FCD是正方形，由切线长定理得：AD=AE,CD=CF,BE=BF,

求出r=CD=CF=g(4C+8C—48),然后可得答案.

【详解】解：在Rt△力BC,NC=90°,AC=12cm,BC=9cm,

根据勾股定理得：AB='AC?+BC2="22+92=15cm;

连接。D,OF,

'：o。是Rt△ABC^J内切圆，

:.“DC=乙OFC=90°,

在四边形。FC。中，OD=OF,4ODC=4OFC=KC=9。°,

...四边形。FCD是正方形；

：.0D=CD,

由切线长定理得：AD=AE,CD=CF,BE=BF,

则CD=CF=^AC+BC-AB),

，r=：x(12+9-15)=3,

若力C=b,BC-a,AB=c,

由以上可得：r=1(a+b—c).

【题型6】遇到三角形的外接圆时

处理方式：连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等(角平分线交点)

19.如图，△ABC内接于。。，AB=AC,连接40.

⑴求证：AO1BC；

(2)若。A=5,BC=8,求AB的长.

【答案】(1)见解析

(2)475

【分析】(1)如图，连接。8、0C,由△ABC内接于。。，可知。A=OB=OC,进而可知4。是线段BC

的垂直平分线，进而结论得证；

(2)如图2,延长力。交BC于D,由(1)知，AD1BC,OB=OA=5,由垂径定理可得，BD=^BC=4,

由勾股定理得，0D='OB2一BD2=3,则力。=8,由勾股定理得，AB=y/AD2+BD2,计算求解

即可.

【详解】(1)证明：如图1,连接。8、0C,

图I

•.•△ABC内接于。。，

AOA=0B=0C,

"：AB=AC,

到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上,

；.力。是线段BC的垂直平分线，

：.A01BC-,

(2)解：如图2,延长4。交BC于D,

图2

由(1)知，AD1BC,。8=。4=5,

由垂径定理可得，BD=；-1BC=4,

由勾股定理得，0D=VOB2-BD2=3,

：.AD=8,

由勾股定理得，AB=<AD2+BD2=4V5,

.♦.4B的长为4V5.

20.如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80CM,腰长为50cm.

(1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径：

(2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm?

(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离.

【答案】喈cm

(2)40cm

(3)25cm

【分析】(1)由于三角形ABC是等腰三角形，过力作4D1BC于D,根据勾股定理得到力D=30,又从

这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在力。上，分别

连接力。、BO,CO,然后利用三角形的面积公式即可求解；

(2)由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R,根据

垂径定理和勾股定理即可求解

⑶根据⑴和⑵再利用线段之间的等量关系即可求得.

【详解】(1)解：如图，过4作于D

AB=AC=50,BC=80

根据等腰三角形和圆的对称性可得：4、。、。三点共线

：.BD=CD=40,

：-AD=y/AB2-BD2=30

设最大圆半径为T,

则SfBC=S^ABO+S^BOC+S.。。，

11

**.S>ABC=5xBCxAD="(<AB+BC4-CA}T

80x30=^(50+80+50)r

解得：r=与cm;

(2)设覆盖圆的半径为R,圆心为。'，

「△ABC是等腰三角形，过力作4DJ.BC于D,

：.BD=CD=40,AD=V502-402=30,

二。’在4。直线上，连接。£,

在Rt△。力C中，

2

由R2=40+(R-30)2,

.•.R=竽；

若以BD长为半径为40cni,也可以覆盖，

最小为40cm.

(3)如图，。。'即为内心与外心的距离.

。。'=4。—。=苧*=25cm,

故这个等腰三角形的内心与外心的距离为25cm.

模块二切线证明

根据条件确定是否有明确交点

根据有无交点作出相应的辅助线

解题模板：

利用切线的判定方法进行证明

推导证明

类型1有公共点：连半径，证垂直

【题型7】特殊角计算证垂直

21.如图，为。。的直径，点C,。在。。上，AC=CD=DB,DELAC.

求证：是。。的切线.

A

11

【分析】连接0D,根据已知条件得到NBOD=jx180°=60°,求得NE4D=4DAB=j^BOD=30°,

根据等腰三角形的性质得到NADO=NDAB=30°,求得NEZX4=60。，根据切线的判定定理即可得

到结论.

【解答】证明：连接。。，

"：AC=CD=DB,

1

:,乙BOD=^义180°=60°,

,:丽=DB,

1

：.£.EAD=乙DAB=RBOD=30°,

9

：OA=ODf

：.ZADO=ZDAB=30°,

9：DE1.AC,

AZE=90°,

：・NEAD+NEDA=90。,

：.^EDA=60°f

：.NEDO=NED4+N4DO=90。,

IODIDE,

・・・。。是。。的半径，

:・DE是OO的切线.

22.如图，4C是。。的直径，5在。。上，BD平分NABC交OO于点、D,过点。作QE〃/。交

BC的延长线于点E.

求证：。£是。。的切线.

【分析】连接。，根据圆周角定理的推论得到N4?C=90。，根据角平分线的性质求出NQ5E=45。,

根据圆周角定理得到N。。。，根据平行线的性质求出N8£=90。，根据切线的判定定理证明结论;

【解答】证明：连接。。，

・・ZC是。。的直径，

・•・ZABC=90°f

:BD平分N4BC,

；・NDBE=45。,

：.NDOC=2NDBE=90。,

9：DE//AC,

：・/ODE=NDOC=9。。,

：.DE是OO的切线；

23.如图，在。。中，A8为OO的直径，4c为弦,0C=4,

ZOAC=60°.

（1）求//O。的度数；

（2）在图（1）中，尸为直径氏4的延长线上一点，且SAP4c=4四，求证：尸。为。。的切线;

【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到A/C。是等边三角形，则N/OC

=60°;

（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的

性质得出NPd=30°,进而得出答案；

【解答】（1）解：在ACMC中，

•.Q=OC=4,NCMC=60°,

...△GUC是等边三角形，

N4OC=60°;

（2）证明：过点C作CD_LN。于点，

「△/OC是等边三角形，CD-LAO,

1

：.AD=DO=^OA=2,ZACO=60°,

••CD=VOC2—OD2=V42-22=2V3,

,•'S△切°=4\氏

1

・・・一E4・CQ=4H,

2

：.PA=A,

：.PA=AC,

1

NP=NPCA=*NO4C=30。，

JNPCO=ZPCA+ZACO=30°+60°=90°,

・•・OC-LPC,

・・・OC是。。的半径，

・••尸。为。。的切线.

c

DO

24.已知：在O。中，力B是O。的直径，AC是弦，ND=60。，点P是力B延长线上一点，且CP=AC.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)若P8=*,求。。的直径.

【答案】(1)见解析

(2)275

【分析】(1)连接。C,BC,根据圆周角定理得到乙4BC=60。，乙4cB=90。，从而得到4a4c=30。,

再根据等边对等角得到NP=4BAC=30。，推出乙4cp=120。，利用半径相等证明=30。，从

而可得NOCP=90°,即可证明结论；

(2)证明BP=BC,得到NBCP,根据NOCP的度数求出NOCB,再证明△OCB是等边三角形，得到。B

的长，可得直径.

【详解】(1)解：连接。C,BC,

：.^ABC=60°,

：力8是直径，

C.^ACB=90°,

：.^BAC=30°,

'：AC=CP,

：.LP=Z.BAC=30°,

J./.ACP=120°,

VOA=OC,

J./.OAC=/.OCA=30°,

J.Z.OCP=90°,即PC是。。的切线;

(2)YOC=OB,

：.AOCB=乙OBC=60°,

:.乙BCP=30°=",

:.BP=FC=V5,

'：OC=OB,A.OBC=60°,

；.△OBC是等边三角形，

：.OB=BC=BP=底

.♦•O。的直径为2代.

【题型8】勾股定理逆定理证垂直

25.如图，C是。O上一点，点P在直径AB的延长线上，。。的半径为6,PB=4,PC=8.求证:

PC是。O的切线；

【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得AOCP是直角三角形，即OC_LPC,PC是。0的切线;

【解答】解：如图，连接OC、BC,

:。O的半径为6,PB=4,PC=8.

/.OC=OB=6,OP=OB+BP=6+4=10,

.".OC2+PC2=62+82=100,OP2=102=100,

.,.OC2+PC2=OP2,

AOCP是直角三角形，

.,.OC±PC,

/.PC是。o的切线

26.如图，。是。。上一点，点。在直径力B的延长线上，。。的半径为6,DB=4,DC=8.求证:

DC是O。的切线.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了切线的判定定理，勾股定理的逆定理，连接。C,根据边长之间的关系，证明出

来△OCD为直角三角形，即。C1CD,掌握切线的判定定理是解题的关键.

【详解】证明：连接。C,如图所示：

：。。的半径为6,

0C=0B=6,

"DB=4,

：.0D=OB+DB=6+4=10,

'：DC=8,

：.0C2+DC2=OD2,

；.△OCD为直角三角形，

：.0C1CD,

是。。的切线.

27.如图，AD,BD是。。的弦，AD1BD,且BD=2AD=8，点C是BD的延长线上的一点，CD=2,

求证：AC是。。的切线.

【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.

【解答】证明:连接AB,

VAD±BD,且BD=2AD=8,

AAB为直径,AB2=82+42=80,

VCD=2,AD=4,

AAC2=22+42=20,

CD=2,BD=8,

.*.BC=102=100,

.".AC2+AB2=CB2,

AZBAC=90°,

AAC是。。的切线

28.如图，AD,AD是。。的弦，ADLBD,且AD=2/D=8,点C是AD的延长线上的一点，CD

=2,求证：/C是。。的切线.

【分析】先根据圆周角定理得到为的直径，再利用勾股定理计算出/2、AC,接着利用勾股

定理的逆定理证明△/3C为直角三角形，N3/C=90°,所以然后根据切线的判定定理得

到结论.

【解答】证明：

NADB=90。,

:.AB为©0的直径，

,:BD=2AD=8,

：.AD=4,

在RtAADB中,AB2=AD1+BD2=42+82=80,

在ViLADC中，AC^^AD^+CD1=42+22=20,

'：BC2=（2+8）2=10,

:.AC2+AB2=BC2,

...△/8C为直角三角形，NBAC=90°,

：.AC.LAB,

；AB为直径，

二/C是的切线.

【题型91通过平行线代换证垂直

29.己知：48是。。的直径，AD是。。的弦，延长3。到点C,使连结/C,过点。作

DELAC,垂足为E.求证：为。。的切线.

CD^~-----f

【分析】连接。£）,根据。4=。2,CD=BD,得出OD〃ZC,NODE=NCED,再根据OE_L/C,

即可证出ODLDE,从而得出答案.

【解答】证明：如图，连接。£>.

CDB

是。。的直径，

NADB=90°,

;AB=AC,

:.CD=BD,

•：OA=OB,

：.OD//AC.

：.NODE=NCED.

"DE^-AC,

NCEO=90。.

ZODE=90°,

：.OD±DE,

,：OD是。。的半径,

:.DE是©O的切线.

30.如图，四边形48CD内接于。。,48为。O的直径，过点C作CE_LAD交AD的延长线于点E,

延长EC,4B交于点F,ZECD=ZBCF.

求证：CE为。。的切线；

【分析】连接OC,BD,可推出既〃3D,进而可证前=就，进而得出CE为。。的切线;

【解答】证明：如图1,

图1

连接OC,BD,

\'AB是。。的直径，

NADB=90°,

；CELAE,

：.NE=90°,

：.NE=NADB,

：.EF//BD,

：.ZECD=ZCDB,ZBCF=ZCBD,

NECD=NBCF,

：.NCDB=NCBD,

：.CD=BC,

半径OC-LEF,

:.CE为0)0的切线

31.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点D,过点。作DE1AC于点

E.

\H

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若NC4B=120。，。。的半径等于5,求线段DE的长.

【答案】(1)见解析

⑵DE=|百

【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形三线合一、含30度角的直角三角形的性质等知识点，

解题的关键是作出恰当的辅助线.

(1)连接。。、AD.由直径AB可知4B£M=Z_C£M=90°,再由AB=4C可知BD=CD,再结合。4=。8

可知。。是△力BC的中位线，则。D||AC,X£)F1AC,因此NODE=NCED=90°,故可证DE是切线.

(2)由已知条件可知4B=10,由等腰三角形△ABC三线合一可知NC4D=ABAD=60°,解RtA/WB

可得BD=CD=5V3,最后解含30。的RtACDE可得DE==|V3.

【详解】(1)解：如下图所示，连接。。、AD.

是直径，

：.^BDA^CDA=90°,

5L-：AB^AC,

：.BD=CD,

,：OA=OB,

，。£)是△力BC的中位线，

：.OD||AC,

•：DE1AC,

"ODE=乙CED=90°,

；.DE是。。的切线；

(2);。。半径是5,

：.AB=10,

ABC是等腰三角形，SLAD1BC,Z.CAB=120°,

：.ACAD=ABAD=60°,zC=AABD=30°,

.•.在Rt△ADB中，AD=^AB=5,CD=BD=y/AB2-AD2=5侃

•.•在RtACDE中，ZC=30°,

.\DE=-CD=-s/3.

22

【题型101利用等角代换法证明垂直

32.如图，48是0O的直径，点。在直径4B上（。与/,3不重合），CDLAB,且CD=/8,连

接C2,与。。交于点凡在CD上取一点E,使得跖=EC.

求证：M是。。的切线；

【分析】连接OF,根据垂直定义可得NCDB=90°,从而可得NB+NC=90°,然后利用等腰三角形

的性质可得NB=NOFB,NC=NEFC,从而可得NOFB+NEFC=90°,最后利用平角定义可得N

OFE=90°,即可解答；

【解答】证明：连接OF,

ZCDB=90°,

NB+NC=90°,

：OB=OF,EF=EC,

NB=NOFB,NC=NEFC,

NOFB+NEFC=90°,

AZOFE=180°-(ZOFB+ZEFC)=90。，

VOF是。O的半径，

AEF是。O的切线

33.如图，力B是O。的弦，ODL0B,交AB于E,且AD=ED,求证：力。是。。的切线.

B

【答案】见解析

【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，根据。。_L0B可得+=90。，根据

等边对等角，可得N0BE=404E,^AED=2LEAD,结合对顶角相等，通过等量代换可得404E+

/-EAD=4。40=90°,即可证明40是。。的切线.

【详解】证明：如图，连接。4

0A=OB,AD=ED,

•••Z-0BE=Z-0AE,Z.AED=Z.EAD,

•・•乙0EB=Z-AED,

Z.0EB=Z-EAD,

v0D10B,

・•・(BOE=90°,

・•・乙OBE+乙OEB=90。，

・•.AOAE+^EAD=90°,

・•.Z.OAD=90°,

又•・,。4是。。的半径，

・•・AD是。。的切线.

34.如图，在RtAABC中，乙4c8=90。，点。在力C边上，以AD为直径作O。交于点E,连接CE,

且CB=CE.求证：CE是。。的切线.

【答案】证明见解析

【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形的判定和性质，连接。E、DE,根据等腰三角形的性质

和直径所对圆周角是直角得NOEC=90。，即可得到结论，掌握切线的判定定理是解题的关键.

【详解】证明：如图，连接。E、DE,

・・・乙4+48=90°,

•・・4）是0。的直径，

：.^AED=乙DEB=90°,

工乙DEC+乙CEB=90。，

VCE=BC,

:,乙B=Z.CEB,

."DEC+ZLB=90°,

Z-A=乙DEC,

9：OE=OD,

：.Z.OED=“DE,

・・•乙4+乙4OE=90。，

：.£.DEC+/-OED=90°,

即NOEC=90°,

：.OE1CE,

TOE是。。的半径，

二•CE是。。的切线.

35.如图，48是。。的直径，点C是圆上一点，CDL/3于点。，点E是圆外一点，C4平分N

ECD.求证：CE是。。的切线.

【分析】利用切线的