【教案】角的概念（教学设计）七年级数学上册（人教版2024）

6.3.1角的概念教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第六章“几何图形初步”6.3角第1课时，内容包括角的定义，角的表示方法，用运动的方式描述角，周角、平角以及方位角等概念．2.内容解析角是重要而基本的几何图形，有关角的概念、表示方法、画法、计算等，都是重要的几何基础知识，也是学习后续图形与几何的知识以及其他数学知识的必备基础．通过丰富的实例引入角的概念，可以认识学习角的必要性．对于用旋转的方式描述角，能使学生认识到，角不仅仅看作是有公共端点的两条射线，还应该注意两条射线所夹的区域，应该注意两条射线的相对位置关系．这不仅对以后角概念的扩展有用，而且还能更好地帮助学生理解平角、周角的概念．正确掌握几何语言是学好几何知识的必要条件．本节角的概念的学习，经历了“实物和模型→几何图形→文字语言→符号表示”的转化过程．显然，首先建立的是图形语言，然后引入文字语言和符号语言，最后形成三种语言的综合运用，使几种几何语言优势互补，这有助于学生加深对角的认识，也体现了学习和掌握几何图形的一般方法．角的三种表示方法，规范了角的书写格式，为后面学习角的和差、角的平分线等奠定了良好基础．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：角、方位角等的概念及其表示方法．二、目标和目标解析1.目标（1）理解角的定义，能用运动的观点认识平角和周角，掌握角的表示方法．（2）体会角的三种不同几何语言的综合运用，培养识图能力．（3）了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题．2.目标解析达成目标（1）的标志是：能从静态和动态两个方面认识角，知道角、平角、周角的形成过程以及平角、周角、直角等特殊角的度数，会用不同的方法表示一个角．通过用旋转的方式描述角，感受用运动、变化的观点认识几何图形．达成目标（2）的标志是：会用文字、图形和符号语言表述一个角，能从较为复杂的几何图形中辨别角．达成目标（3）的标志是：能用方位角知识准确表示物体的位置及距离．三、教学问题诊断分析对于角的概念，虽然学生在小学阶段接触过，但认识是很粗浅的，仅停留在感性层面上，要提升到理性认知层面，需要有一个过程．特别是用旋转的方式描述角，对角的认识和理解从静态到动态是一次思维上的飞跃，并且，学生在小学对几何图形的运动变换接触少，所以学生在接受角的动态描述方法时会存有一些的困难．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：用旋转的方式描述角．四、教学过程设计（一）复习回顾问题1：（1）填表：（2）下图中，共有几条线段？图1师生活动：学生思考回顾，并完成解答．【设计意图】通过练习，起到复习的作用，为进一步学习角的知识作准备．（二）角的静态描述教师出示一些角的图片让学生欣赏．问题2：（1）通过以上生活中的实例以及小学对角的认识，根据你的理解，试给出角、角的顶点、角的边的定义．（2）角的两边是线段，射线还是直线？师生活动：教师提出问题，师生任意画一个角，体会画角的过程，由学生思考后归纳，教师完善，得到角的静态定义．【设计意图】从学生生活经验出发，创设情境，提出问题，激发学生学习数学的兴趣，认识到学习角的概念的必要性，通过观察抽象出角的几何图形，让学生体验图形是描述现实世界的重要工具．通过对角的定义的阐述，加深对角的认识.（三）角的动态描述动画演示：用旋转的方式描述角．问题3：（1）通过刚才的演示，你能否从动态的角度描述角呢？（2）射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角？师生活动：学生观看电脑演示，思考后归纳，得出角的动态定义，并复习锐角、直角、钝角、平角、周角的定义，知道它们的度数．【设计意图】用运动的观点识别角这个图形，加深对角的认识；通过动画演示，突破教学难点，使学生认识到，角不仅仅是有公共端点的两条射线，还应该注意两条射线所夹的平面区域．问题4：3时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？4时呢？3时30分呢？师生活动：学生分组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成此题．学生讨论后，组间交流．【设计意图】通过活动鼓励学生在独立思考的基础上，积极地参与到对数学问题的讨论中来，勇于发表自己的观点，善于理解他人的见解，在交流中获益；通过“钟表问题”的讨论，进一步从动态的角度认识角．（四）角的表示方法问题5：如图2是一个角，如何表示这个角？图2图3图4图5师生活动：学生讨论，教师鼓励学生大胆猜想，找到恰当的表示方法．通过讨论，得到角的几种表示方法：（1）用三个大写字母或用一个大写字母表示，如图3，表示为∠AOB或∠O；（2）用数字表示：如图4，表示为∠1；（3）用希腊字母表示，如图5，表示为∠α．【设计意图】在得出角的静态定义后，再给出角的表示方法，可以让学生体会到角的表示方法的合理性，有助于学生的理解和记忆，突出本节课的重点.通过紧密联系图形，结合角的文字描述，探索角的符号表示，让学生体会研究几何图形的程序．通过“几何模型→图形→文字→符号”这个抽象的过程，使抽象与直观结合起来，在图形的基础上发展几何语言．（五）针对训练1.判断下面各角的表示方法是否正确？（×）（×）（√）（√）（×）2.下面表示∠DEF的图形是（C）.3.仔细观察下图，思考并回答问题：（1）写出图中能用一个字母表示的角；（2）写出图中以B为顶点的角；（不包括平角）（3）将用∠1，∠2表示的角改为用大写字母表示.师生活动：学生回答问题，并相互补充．教师引导学生讨论，总结在表示角时的注意事项：（1）用三个大写字母表示时，中间字母是顶点字母；（2）用一个大写字母表示时，顶点处只能有一个角；（3）后两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角．【设计意图】巩固角的表示方法，明确各种方法适用的条件；通过从较为复杂的几何图形中辨别角，培养学生识别图形的能力，加深对角这一几何图形的认识.（六）角的度量问题6：（1）如图6，怎么知道这个角的大小？图6师生活动：师生共同归纳：角的度量工具——量角器．我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.（2）填空：1周角=°，1平角=°，1°=′，1′=″.教师介绍：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其他度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.（七）典例分析例：度分秒互化：（1）57.32°=°′″；解：57.32=57+0.32×60′=57+19.2′=5719′+0.2×60″=5719′12″（2）17°6′36″= °.解：17°6′36″=17°+6′+′′=17°+6.6′=17+°=17.11.针对训练：1.填空：（1）5°＝′＝″；（2）38.15°＝°′；（3）36″＝′=°；（4）38°15′＝°.（1）300；18000；（2）38；9；（3）0.6；0.01；（4）38.25．2.38°15′和38.15°相等吗？若不相等，它们的大小关系怎样？解：38°15′=38°+15÷60°=38.25°所以38°15′≠38.15°因为38.25°＞38.15°所以38°15′＞38.15°．（八）合作探究问题7：（1）借助三角尺，我们可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定度数（如36°、108°）的角.对于一个没有给出度数的角，怎样画一个角等于这个角呢？（2）如果你现在没有量角器，但是要画出以下几个角，你能画出来吗？30°；45°；60°；75°；120°．（3）这些角都有什么特点？（15°的整数倍的角）（九）方位角问题8：如图，说出下列方位（1）射线OA表示的方向为.（2）射线OB表示的方向为.（3）射线OC表示的方向为.（4）射线OD表示的方向为.（十）典例分析例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.解：画法：1.以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.2.同理画出射线OC、射线OD.射线OC、射线OD即为所求.（十一）当堂巩固1.下列语句正确的是（D）A.两条直线相交，组成的图形叫做角B.两条有公共端点的线段组成的图形叫做角C.两条有公共点的射线组成的图形叫做角D.从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角2.下列说法不正确的是（B）A.∠AOB的顶点是OB.射线BO，AO分别是∠AOB的两条边C.∠AOB的边是两条射线D.∠AOB与∠BOA表示同一个角3.判断（1）直线是一个平角（×）（2）如图①，点P不在∠AOB的内部（×）（3）如图②，∠ABC与∠DBE是同一个角（√）4.如图所示：（1）图中共有多少个角？请写出能用一个字母表示的角；（2）把图中所有的角都表示出来.（1）答案：8个；∠A，∠O．（2）答案：∠A，∠O，∠1，∠2，∠3，∠4，∠ABC，∠ACB．5.垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.（1）试在图中确定白色漂浮物C的位置；解：（1）（2）点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点A在点C的D方向上.A.南偏东30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°（十二）能力提升1.（1）以点O为端点引2条射线，此时图中共有多少个角？怎样表示？（2）以点O为端点引3条射线时，共有多少个角？怎样表示？（3）以点O为端点引4条射线时，共有多少个角？怎样表示？（4）以点O为端点引5条射线时，共有多少个角？怎样表示？（5）以点O为端点引99条射线，共有多少个角？（6）以点O为端点引n条射线，共有多少个角？角的个数＝（n为射线的条数）．【设计意图】体会、巩固类比的方法，本题的解决可以类比数线段的方法，通过总结公式，培养学生的归纳概括能力.（十三）感受中考1．（2024•广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°＝60°．故选：C．2．（2024•河南）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°【解答】解：根据“两直线平行线，内错角相等”可得，∠1＝50°，故选：B．【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（十四）课堂小结1.你对角有哪些新的认识？2.如何表示一个角？师生活动：学生回顾与思考，总结本节课所学知识，教师引导学生回顾，特别关注学生是否能够注意到研究一个几何图形的程序．（十五）布置作业P178：习题6.3：第1、2题.P179：习题6.3：第13题.五、教学反思对于角的概念是这样突破的：①正确理解角的静态定义．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边．角有两条边，角的边是射线，且这两条射线有公共端点．②明确了解角的动态定义的内涵及平角、周角的概念．角可以看作是一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边与始边成一条直线时，形成的角是平角；当终边旋转一周与始边重合时，形成的角是周角．对于角的表示方法是这样突破的：①让学生理解角的表示方法，主要是让学生理解角的表示方法的必要性和各种不同表示方法的合理性．在几何研究过程中，我们不能用口头语说一个角是“这个角”或“那个角”，而应如《第二章整式加减》表达单