重庆市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

1PAGE第1页重庆一中高2026届高二上期期中考试数学试题卷注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时、必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂需，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.过抛物线焦点的直线与交于、两点，则的最小值是（）A. B. C. D.2.若直线与直线平行，则的值为（）A B.或 C. D.3.将正奇数按照如图排列，我们将……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）A.55 B.75 C.111 D.1354.数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（）A.9 B.8 C.8或9 D.7或85.在四棱锥中，底面，底面是正方形，,，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.6.已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（）A. B. C. D.7.已知椭圆的左焦点为，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线的斜率为，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知数列满足：对任意成立，令是数列的前n项和，若对任意的恒成立，则整数t的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若，则C是椭圆，其离心率为C.若，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D.若，则C是双曲线，其离心率为10.已知数列满足：，对任意的成立，，其前n项和记为，则（）A.是等比数列 B.是等差数列C. D.存在实数，使得为等比数列11.双曲线具有以下光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（）A.B.平面上点最小值为C.若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为D.过点作，垂足为H，则三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.已知实数，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则的值为_______．13.设等比数列的前项和为，，，则_______14.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，若为定值，则实数的值为_______．四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知为等差数列，其公差为，前项和为，为等比数列，其公比为，前项和为，若，，，．（1）求公差和；（2）记，证明：．16.如图，点D在平面内的射影点H在线段上，E为中点，F为中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17.已知数列的前项和满足：,．（1）求；（2）若，求的前项和．18.已知的周长为定值，、、，的最大值为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）为的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，的外心为，求的最大值．19.双曲线离心率为，焦点到渐近线的距离为，斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点，过作直线垂直于轴，交曲线的另外一个点为，过作平行于的直线交曲线的另外一个点为，以此类推，直线垂直于轴，直线平行于，得到点列；记点的坐标为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若过双曲线的右焦点，证明直线过定点；（3）若且为双曲线右顶点，，记，求的值．重庆一中高2026届高二上期期中考试数学试题卷一、单选题（本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.【答案】AD10.【答案】AC11.【答案】ABD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12.【答案】13.【答案】14.【答案】四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.【小问1详解】因为为等差数列，其公差为，前项和为，则，又因为，，则，因为，即，可得，解得，故，所以，，则，可得.综上所述，.【小问2详解】由（1）可得，所以，，因此，.16.【小问1详解】在中，由，得，则，由点D在平面内的射影点H在线段上，得平面，平面，则，而平面，，于是平面，又平面，则，由E为中点，得，而平面，因此平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面内过作，由（1）知，平面，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，，，则，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面所成锐二面角大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.17.【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得.【小问1详解】因为数列的前项和满足：，则，则，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，令，可得，则，解得，所以，，且，所以，数列为等比数列，首项为，公比为，所以，，故.【小问2详解】因为，对任意的，，问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为，，则，上式下式得，化简得，因此，.18.【小问1详解】设，，设，即，且，由三角形的三边关系可得，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为余弦函数在上为减函数，且，故当取最大值时，取最小值，所以，，解得，所以，，因此，曲线是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为，焦距为，所以，，因此，动点的轨迹的方程为.【小问2详解】易知点，根据题意，设直线的方程为，其中，设点Mx1,联立可得，，由韦达定理可得，，则，故点，所以，，线段的中点为，，所以，线段的中垂线方程为，同理可得，线段的中垂线方程为，其中，，联立，可得，所以，，要求的最大值，只需考虑即可，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为.19.【解析】【分析】（1）利用双曲线的焦点到渐近线的距离求出的值，结合离心率可得出的值，由此可得出该双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为，由题意可知，，将直线的方程与双曲线方程联立，列出韦达定理，由对称性知，直线过轴上的定点，求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可证得结论成立；（3）将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理可得出，再结合，可得，推导出数列为等比数列，确定该舒蕾的首项和公比，即可求得的值.【小问1详解】双曲线的渐近线方程为，即，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为，又因为，可得，因此，双曲线的标准方程为.【小问2详解】由（1）可得，则，若直线与轴重合，则与双曲线的右支只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，由题意可知，，联立可得，由题意可