专题4.5 图形的位似【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

PAGE1专题4.5图形的位似【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1辨别位似图形】 2【题型2确定位似中心】 4【题型3由位似图形的性质判断结论正误】 6【题型4求位似图形的相似比】 9【题型5画位似图形】 12【题型6求位似图形的线段长度】 17【题型7求位似图形的周长】 20【题型8求位似图形的面积】 23【题型9求位似图形的坐标】 28【题型10与位似图形相关的规律】 31知识点：图形的位似变换1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。注意：a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；b．两个位似图形的位似中心只有一个；c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。【题型1辨别位似图形】【例1】（2024·河北廊坊·三模）在研究相似问题时，嘉嘉和淇淇两同学的观点如下：嘉嘉：将边长为1的正方形按图1的方式向外扩张，得到新正方形，它们的对应边间距为1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似；淇淇：将边长为1的正方形按图2的方式向外扩张，得到新正方形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新正方形与原正方形相似，同时也位似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）

A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，淇淇不对 D．嘉嘉不对，淇淇对【答案】A【分析】根据相似与位似的定义进行判断即可．【详解】解：由题意知，嘉嘉向外扩张得到的新的正方形的边长为3，且仍为正方形，故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．淇淇向外扩张得到的新的正方形的边长为2+1故新正方形与原正方形相似，同时也位似，位似中心为正方形对角线的交点．故两人说法正确，故选：A．【点睛】本题考查了相似与位似．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式1-1】（2024·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（

）

A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似【答案】D【分析】根据位似的定义，即可解决问题．【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．【变式1-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“

”均是相似图形，其中不是位似图形的是（

）

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④【答案】B【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）已知：△ABC∽△A′B′CA． B． C． D．【答案】D【分析】根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．【详解】解：A、△ABC与△A'B、△ABC与△A'C、△ABC与△A'D、△ABC与△A'B'C'故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．【题型2确定位似中心】【例2】（23-24九年级·辽宁葫芦岛·期末）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′BA．点D B．点E C．点F D．点G【答案】A【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．【详解】根据题意，得位似中心为点D，故选A．【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（

）A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置【答案】D【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D.【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法.【变式2-2】（2024·四川乐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为．

【答案】2【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．【详解】解：如图，点P为位似中心，P2

故答案为：2，【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．【变式2-3】（2024九年级·浙江·专题练习）下列图形中位似中心在图形上的是（）A．B． C． D．【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【详解】A、，位似中点在图形内部，不合题意；B、，位似中点在图形上，符合题意；C、，位似中点在图形外部，不合题意；D、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．【题型3由位似图形的性质判断结论正误】【例3】（2024·浙江金华·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1【答案】D【分析】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；∵将△ABC的三边缩小到原来的12∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；∵面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．【变式3-1】（23-24九年级·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（

）A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④【答案】A【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意；位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意；位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意．位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意．故选：A．【变式3-2】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．AE︰AD是位似比D．点B与点E、点C与点D是对应位似点【答案】C【详解】∵BC∥DE，且CD与BE相交于点A，∴A、两个三角形是位似图形，正确，不合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，正确，不合题意；C、AE：AC是位似比，故此选项错误，符合题意；D、点B与点E，点C与点D是对应位似点，正确，不合题意，故选C．【变式3-3】（23-24九年级·安徽·期中）如图，△ABC的三个顶点A(1，2)、B(2，2)、C(2，1).以原点O为位似中心，将△ABC扩大得到△A1B1C1,且△ABC与△A1B1C1的位似比为1:3.则下列结论错误的是(

)A．△ABC∽△A1B1C1 B．△A1B1C1的周长为6+3C．△A1B1C1的面积为3 D．点B1的坐标可能是(6，6)【答案】C【分析】根据位似图的性质可知，位似图形也是相似图形，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方，对应边之比等于位似比，据此判断即可.【详解】A.△ABC∽△A1B1C1，故A正确；B.由图可知，AB=2-1=1，BC=2-1=1，AC=2，所以△ABC的周长为2+2，由周长比等于位似比可得△A1B1C1的周长为△ABC周长的3倍，即6+32C.S△ABC=12×1×1=12,由面积比等于位似比的平方，可得△A1B1D.在第一象限内作△A1B1C1时，B1点的横纵坐标均为B的3倍，此时B1的坐标为（6,6），故D正确；故选C.【点睛】本题考查位似三角形的性质，熟练掌握位似的定义，以及位似三角形与相似三角形的关系是解题的关键.【题型4求位似图形的相似比】【例4】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点AA．16 B．13 C．12【答案】B【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．【详解】解：延长A′B′交BC于点E，如图．∵在正方形ABCD中，AC＝32，∴BC＝AB＝3，∵点A′的坐标为（1，2），∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，∴CE：BC＝2：3，∵A′E∥AB，∴△A′CE∽△ACB，∴CA′：AC＝2：3，∵正方形A′B′C′D′∴AA′＝CC′，∴AA′＝CC′＝A′C′，∴A′C′：AC＝1：3，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是13故选：B．【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．【变式4-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形是（用图中字母表示），△ABC与该三角形的位似比为．​【答案】△GEH12/【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断△ABC的位似图形是△GEH，然后计算OB与OE的比得到位似比．【详解】解：以点O为位似中心，△ABC的位似图形是△GEH，△ABC与△GEH的位似比为OBOE故答案为：△GEH，12【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．【变式4-2】（23-24九年级·山西临汾·期中）△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′(1,2)，B′【答案】1：3【分析】本题考查了位似图形的性质．由△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′(1,2)，【详解】解：∵△ABC三个顶点A(3,6)、B(6,2)、C(2,−1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为∴AB=3−62+6−22A′B′=1−2∴A′∴△A∴△A′B′C故答案为：1：【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′【答案】1:2/1【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得P′Q′∥PQ，P′R′【详解】解：∵P′，Q′，R′∴P′Q′∥PQ，P′∴△P又∵P′，Q′，R′∴点P′与点P，点Q′与点Q，点R′与点R∴△P′Q′R∵P′∴△P′Q′R故答案为：1:2．【题型5画位似图形】【例5】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为A(−2,2)，B(−4,0)，C(−4,−4)，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个△A′B′(1)请画出△A(2)请直接写出△A(3)若△ABC内部一点M的坐标为（a,b），则点M的对应点【答案】(1)见解析(2)A′(1,−1)，B(3)(−【分析】本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由位似变换可得，点M的横纵坐标分别除以−2，即可得点M′【详解】（1）解：如图，△A（2）解：由图可得，A′(1,−1)，B′（3）解：由题意可得，点M′的坐标为(−故答案为：(−a【变式5-1】（23-24九年级·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，点A、B、C都在格点上，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）(1)在图1中，以C为位似中心，位似比为1:2；请画出放大后的△A(2)在图2中，线段AB上作点M，利用格点作图使得AMBM(3)在图3中，利用格点在AC边上作－个点D，使得△ABD∽ACB．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】本题考查了作位似图形，平行线分线段成比例定理在作图中的应用，相似三角形在作图中的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据位似图形的定义，延长CA到点A1，使得CA1=2CA，延长CB到点B1，使得CB1=2CB，连结A1（2）在点C的左侧作水平线段BC=5个单位长度，连结AC，在BC上取点N，使BN=2个单位长度，过点N沿格点线作NM∥AC，交AB于点M，根据平行线分线段成比例定理，可得（3）过点A作AE⊥AC，使得AE=AC，点E恰为格点，过点B作BF∥AE，使得BF=AE，点F恰为格点，BF与AC交于点D，则AC⊥BF，同时可证得∠ABC=90°，由此即可证明△ABD∽△ACB，所以点【详解】（1）如图，△A（2）如图，点M就是所求的点；（3）如图，点D就是所求的点．【变式5-2】（23-24九年级·陕西渭南·期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O和点A1在格点上，△ABC(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点(2)△A1B【答案】(1)作图见解析；(2)3∶1【分析】（1）由点A、A1可得△ABC与△A（2）根据位似图形的性质即可求解；本题考查了作位似图形，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】（1）解：如图，△A（2）解：∵OA∴△A1B1C∴△A1B1C故答案为：3∶1．【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A,B,C都是格点，点P在BC上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．(1)在图1中，将线段AB沿BC的方向平移，使点B与点C重合，画出平移后的线段CD，再将PC绕AC的中点顺时针旋转180°，得到GA，画出线段GA；(2)在图2中，将△APC以点C为位似中心缩小为原来的12得到△EFC，画出△EFC(3)在图3中，在AC上画一点M，在AB上画一点N，使得PM+MN最小．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用平移性质可画出CD，利用平行四边形的性质，连接P和AC的中点并延长交AD于点G，即可得到答案；（2）根据位似图形的性质得到CE=12AC，CF=12CP，取AC中点E和AP上一点G，连接EG并确定其中点Q，取AP上一点H，连接HQ并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形EHGM，连接EM并延长交BC于点F，根据平行线分线段成比例得到点（3）首先确定点P关于AC的对称点P′：取格点B′，连接CB′，B′P，B′P交AC于点K，连接BK并延长交CB′于点P′，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点P、P′关于AC对称；过点P′作AB的垂线，确定点M、N：取格点C′，使得△B′CC′为等腰三角形，连接【详解】（1）（2）（3）【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键．【题型6求位似图形的线段长度】【例6】（2024·浙江温州·三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形ABCD与矩形EFGH位似可得EHAD【详解】解：∵OH:HD=1:2，∴OHOD∵矩形ABCD与矩形EFGH位似，∴EH∵EH=2，∴AD=6．故选C．【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到EHAD【变式6-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′CA．1:2 B．1:3 C．2:3 D．3:2【答案】B【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，即可判断，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点∴AO:AA故选：B．【变式6-2】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，DE是△ABC的中位线，D′E′是△A′B′C′的中位线，连结AA′、BB′A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，通过中位线的性质得出DE=12BC=2，再证明△ABC∽△A′【详解】∵DE是△ABC的中位线，D′E′∴DE=12BC=2∵2OA=OA′，2OB=OB∴△ABC∽△A∴相似比为12∴BC=1∴DE=1∴D′故选：B．【变式6-3】（23-24九年级·吉林长春·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．若矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，则点C、F之间的距离为．【答案】5【分析】连接AC，先由勾股定理求得AC=4，再根据矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，得AFAC=34，即可求出AF长，然后由CF=【详解】解：如图，连接AC，∵矩形ABCD，∴∠B=90°∴AC=AB∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，点F在矩形ABCD的内部，且相似比为3:4，∴点F在AC上，∴AFAC=3∴AF=35，∴CF=AC-AF=45-35=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．【题型7求位似图形的周长】【例7】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（

）

A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2【答案】D【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比．【详解】解：以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，∴AB∥∵AD=OA，∴AB:∴△ABC与△DEF的位似比为1:∴△ABC与的周长之比为1:故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比．【变式7-1】（2024·重庆·三模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若OCOF=2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得△ABC∽△DEF，ACDF【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．∴△ABC∽△DEF，∴AC∴△ABC的周长:△DEF的周长=2:1，∵△ABC的周长为8∴△DEF的周长为4．故选：D．【变式7-2】（23-24九年级·重庆南岸·期末）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，OA：OD＝1：3，且△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．18【答案】B【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3知△ABC与△DEF的位似比是1:3，从而得出△ABC周长：△DEF周长=1:3，由此即可解答．【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且OA:OD=1:3，∴△ABC与△DEF的位似比是1:3．则△ABC周长：△DEF周长=1:3，∵△ABC的周长为2，∴△DEF周长=2×3=6故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比．【变式7-3】（2024·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知OA【答案】28【分析】根据位似的性质，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA【详解】∵OAA∴OAO∵四边形ABCD与四边形A′∴四边形ABCD∽四边形A′B′∴△OAB∽△OA∴ABA∴四边形ABCD的周长∶四边形A′B′∵四边形ABCD的周长是8，∴四边形A′故答案为：28．【点睛】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．【题型8求位似图形的面积】【例8】（23-24九年级·浙江·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心．若OEEA=23，四边形A．4 B．10 C．1009 D．【答案】A【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到EFAB=OEOA，四边形ABCD与四边形【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心，∴EF四边形ABCD与四边形EFGH相似，∵OE∴OE∴EF∴S∴解得：S四边形故选：A．【变式8-1】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，以C为位似中心，作平行四边形ABCD的位似平行四边形PECF，且与原图形的位似比为2:3，连接BP，DP，若平行四边形ABCD的面积为20，则△PBE与△PDF的面积之和为【答案】8027/【分析】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质．连接AC，根据平行四边形的性质先求出S△ACD，由PF∥AD证得△CPF∽△CAD【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为20，∴S△ACD∵▱ABCD和▱ECFP是以B为位似中心的位似图形，∴点A、P、C在同一条直线上，PF∥∴△CPF∽△CAD，∴CFCD∴S△CPF∴S△DPF同理S△BPE∴△PBE与△PDF的面积之和为8027故答案为：8027【变式8-2】（2024·重庆九龙坡·一模）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】D【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴△OBA∽△OED，∴ABDE=OAOD=13∴△ABC与△DEF的面积比＝(13)故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【变式8-3】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图1，正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′A．2+2 B．4+22 C．6+32【答案】C【分析】由正方形的性质及旋转性质可得DF=DG=D′F=C′G=1，且△DFG为等腰直角三角形，可以推出【详解】如图，∵正方形ABCD绕中心O逆时针旋转45°得到正方形A′∴DF=DG=D′F=∴FG=2∴图2中整个图形面积：S∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为12∴图2中间空白部分面积为：1图2中阴影部分面积为：8+4故选：C【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、位似图形等几何知识点及其应用；应牢固掌握旋转变换的性质、正方形的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．【题型9求位似图形的坐标】【例9】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，Rt△ABC与Rt△EFG是关于y轴上一点的位似图形，若B−4,4，FA．0,1 B．0,2 C．0,3 D．0,【答案】B【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键，直接利用位似图形的性质得出PCPG【详解】解：如图所示，连接BF，交CG于点P，∵对应点B和F的坐标分别为−4,4，2,1，∴C0,4，G0,1，CB=4，FG=2，由题意可得：△BCP∽∴CBGF∴2GP=3−GP，解得：GP=1，∴位似中心到点G的距离是1，∴位似中心的坐标为0,2，故选：B．【变式9-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点E4,2,F2,2，以O为位似中心，按2：1的相似比把EFO缩小为EFO，则点E的对应点E的坐标为.【答案】（2，-1）或（-2，1）．【分析】由在直角坐标系中，点E（-4，2），F（-2，-2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．【详解】解：∵点E（-4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，∴点E的对应点E′的坐标为：（2，-1）或（-2，1）．故答案为（2，-1）或（-2，1）．【点睛】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解此题的关键．【变式9-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为2，3，点E的横坐标为−1，则点P的坐标为

【答案】−2,0【分析】根据位似图形的概念得到DEBC=ODAB，求出OD=32，再证明【详解】∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为2，∴AB=OC=3，∵点E的横坐标为−1，∴DE=OF=1∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，∴DEBC∴12∴OD=3∵∠COP=∠CDE=90°∴DE∥∴△CDE~△COP，∴CDCO∴3−3解得：OP=2，∴点P的坐标为−2，故答案为：−2，0．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出DEBC【变式9-3】（2024·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0,0，B2,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B

A．12,32 C．4,43 D．2,23【答案】D【分析】根据题意可得OA=OB=2，如图：过A作AC⊥x轴于C，再根据等边三角形的性质可得OC=12OB=1,AC=32OA=3【详解】解：∵等边三角形OAB的顶点O(0,0),B(2,0)，∴OA=OB=2，过A作AC⊥x轴于C，

∵△AOB是等边三角形，∴OC=∴A(1,∵△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且∴△OA′B∴点A的对应点A′的坐标是(2,23)或故选：D．【点睛】本题考查主要考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．【题型10与位似图形相关的规律】【例10】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作