海南省部分学校2024-2025学年高一上学期阶段教学检测（一）数学试题

2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（一）数学1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.2.考查范围：必修第一册第一章、第二章.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.高一（1）班视力比较好的同学可以构成集合B.方程的解构成的集合与相等C.D.方程的实数解构成的集合为2.命题：，使是素数，则命题的否定为（）A.，使不是素数 B.，是素数C.，不是素数 D.，使不是素数3.下列命题中真命题的序号为（）①若，则，；②若，则；③存在不全等的三角形，使它们的面积相等；④面积相等的两个三角形一定是全等三角形.A.②③ B.①④ C.①③ D.②④4.不等式的解集为，则（）A.， B.， C.， D.，5.定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的.下列论述错误的是（）A.若，则对于加法“＋”封闭 B.若，则对于减法“－”封闭C.若，则对于乘法“×”封闭 D.若，则对于除法“÷”封闭6.不等式的解集为（）A. B.C. D.7.已知集合，，则（）A. B. C. D.8.已知，，，则的最小值为（）A.11 B.10 C.9 D.8二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知集合，，则下列说法正确的是（）A.有2个子集 B.中任意两个元素差的最小值为C. D.11.已知集合，，，，若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的值可能为（）A. B0 C.1 D.2三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.不等式的解集为______.13.若，则的最大值为______.14.若集合，，且，则实数______.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（13分）已知，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.16.（15分）在中，.（Ⅰ）若，求面积的最大值；（Ⅱ）若，求周长的最小值.17.（15分）已知二次函数，，不等式的解集为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，不等式的解集为，求实数的取值范围.18.（17分）已知二次函数，方程2有且仅有一个实数根.（Ⅰ）求，，的关系；（Ⅰ）若的图象过点，且图象的对称轴与轴正半轴相交.证明：方程的两个不同实根之和大于2的充要条件为.19.（17分）已知集合，.（Ⅰ）若，且，求实数，的值；（Ⅰ）若集合，均为非空集合，且，求的取值范围.

2024—2025学年海南高一年级阶段性教学检测（一）数学・答案1.B视力比较好是相对的，没有确定性，故不能构成集合，故A错误.由，解得或，故B正确.，属于点集，两个集合中的元素不是同一个点，故，故C错误.当时，方程的实数解构成的集合为，故D错误.故选B.2.C含有量词的命题的否定应否定两部分：一是对量词否定；二是对结论否定，所以命题的否定为，不是素数.故选C.3.A当，时，，故①为假命题.∵，，∴，故②为真命题.存在不全等的三角形，它们的面积相等，比如，边长为2的等边三角形，与直角边长分别为2，的直角三角形，虽然不是全等三角形，但是它们的面积相等，故③为真命题.由③中的例子可知，面积相等的三角形，不一定是全等三角形，故④为假命题.故选A.4.C将代入，得，则.将代入，得，则.故选C.5.D，，则，故A正确.，，则，故B正确.，，则，故正确.当，时，，故D错误.故选D.6.A原不等式可化为，即，解得.故选A.7.B∵，，∴，.故选B.8.D由，得，即.则，当且仅当，时等号成立.故选D.9.CD对于A，若，，则，故A错误.对于B，当，时，则，故错误.对于C，∵，∴，∴，故C正确.对于D，∵，∴，故D正确.故选CD.10.ABD因为，所以它的子集个数为2，故A正确.，它的任意两个元素差的最小值为，故B正确.，故C错误.，故D正确.故选ABD.11.BC∵，，∴即.方程有两个不相等的实数解，等价于直线与二次函数的图象有两个交点，又，，∴.故选BC.12.原不等式可化为，即，即，解得.13.3，当且仅当时等号成立，所以的最大值为3.14.0或1，∵，且，∴或解得或.15.思路点拨（Ⅰ）由条件，，判定四个式子，，，与0的大小关系，得以证明.（Ⅱ）利用作差法比较两个式子的大小.参考答案（Ⅰ）∵，，∴，，，，∴.（Ⅱ），∵，，∴，，∴，即.16.思路点拨（Ⅰ）根据勾股定理得出的关系，并运用基本不等式得出，即可求得面积的最大值.（Ⅱ）将周长用三边表示出来，并转换为两直角边的表达式，再运用基本不等式求周长的最小值.参考答案（Ⅰ）设，，由题意知.∵，∴，当且仅当时等号成立，∴，即面积的最大值为.（Ⅱ）由题意知，∵，∴，则的周长，当且仅当时等号成立，即周长的最小值为.17.思路点拨（Ⅰ）由题设条件列出关于，，的方程组，求解即可.（Ⅱ）由于的二次项系数含参数，因此对二次项的系数为0与不为0进行讨论，若二次项的系数为0，判断得到的解集不为，舍去.若二次项的系数不为0，要使的解集为，应满足两个条件：①二次项的系数为正，②判别式.参考答案（Ⅰ）依题意知解得所以.（Ⅱ），当，即时，，显然不等式的解集为不可能成立.当，即时，依题意得解得.综上，实数的取值范围是.18.思路点拨（Ⅰ）由题意得方程的判别式，化简得，，的关系.（Ⅱ）由题设条件可得到的值及，的正负号，再从必要性和充分性两方面来证明充要条件问题.参考答案（Ⅰ）依题意知，方程有且仅有一个实数根，∴，即.（Ⅱ）∵的图象过点，∴，∴，∴，，∵对称轴，∴.证明：必要性：设方程的两个不同实根为，，则，∴，∴，即，解得.充分性：∵，∴，即，∴.又，由，可得，∴.证毕.19.思路