中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《角度问题（旋转综合题）》专项检测卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在等边中，点是上一点，点是上一点，与AD交于点，且．

(1)如图1，若

求的长度；(2)如图2，延长至点，使得连接，点为中点，连接，，求证；(3)如图3，点为中点，将沿折叠得到四边形，动点在线段上运动(包括端点)，连接、，将绕点顺时针旋转得到将绕点逆时针旋转

得到连接．点为的中点，求的取值范围．2．如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，．(1)求证：；(2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形；①在旋转过程中，当是直角时，求的度数；②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______．3．在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转．(1)将旋转至如图的位置时，连接，求证：．(2)若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长．4．已知线段和点，将线段绕点逆时针旋转α0°<α<90°，得到线段，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接为的中点，连接．

(1)如图1，点在线段上，依题意补全图1，直接写出的度数；(2)如图2，点在线段的上方，写出一个的度数，使得成立，并证明．5．如图，在中，，分别为的高．(1)如图1，若，，连接，求的长；(2)如图2，连接，将绕点E逆时针旋转到，连接，G为线段上一点，连接．若，求证：；(3)如图3，若，P是线段上一动点，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接．当取得最小值时，请直接写出的面积．6．已知:如图和都是等边角形．是延长线上一点，与相交于点．、相交于点，、相交于点．

(1)在图①中，求证:；(2)当绕点沿逆时针方向旋转到图②时，________．7．将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．

(1)求的度数；(2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒．①当旋转至图（2）时，此时，求a的值；②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值．8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．

(1)求证：；(2)若，证明：直线与互相垂直．9．已知和都是等腰三角形，，且，连接，且，直线交直线于点F．(1)如图1，猜想与的位置关系，并说明理由；(2)如图2，依次取的中点M、N，连接，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值．10．如图（1），在中，．点D是边上任意一点（不与B，C重合），连接，过点D作于点E，连接，点F为中点，连接．(1)当时，判断四边形的形状，并证明．(2)点D在线段上的什么位置时，的面积最大？请说明理由．(3)如图（1）中的绕点B旋转到如图（2）所示位置，得到，使得点A在直线上，连接，点为中点，与交于点G，其他条件不变．求证：．11．如图，中，经过点A，且，垂足为E，．(1)以点E为中心，逆时针旋转，使旋转后的的边恰好经过点A，求此时旋转角的大小；(2)在（1）的情况下，将沿向右平移．设平移后的图形与重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．12．如图1，中，，，点D、E分别在上，．将绕点A逆时针旋转度，使得B、D、E三点共线．(1)直接写出：_________________（用表示）；(2)若，当时，作于F，在图2中画出符合要求的图形，并探究之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，若，，当时，直接写出的最大值_________．13．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请直接写出结论：直线（平分或不平分）．(2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则的值为．（直接写出结果）(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转，请探究，当始终在的内部时（如图3），与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．14．在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以绕点C旋转，连接AE，BD(1)如图1①若BC=3DC，直接写出线段BD与线段AE的数量关系；②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；(2)如图2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长15．已知∠ABC=90°，BA=BC，在同一平面内将等腰直角△ABC绕顶点A逆时针旋转（旋转角小于180°）得△ADE．(1)若AE//BD如图（1），求旋转角∠BAD度数；(2)当旋转角为60°时，延长ED与BC交于点F，如图（2）．求证：AC平分∠DAF(3)点P是边BC上动点，将AP绕点A逆时针旋转15°到AG，如图（3）示例，设AB=BC=，求CG长度最小值（用含式子表示）参考答案1．(1)(2)见解析(3)【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵等边中，∴，∵，又∵∴，在中，∴∴在中，，，∴，在中，（2）解：如图所示，

延长至，使得，连接∵∴是等边三角形，∴，设，由（1）可得，∴，又∵，∴，∴，在中，∴∴又∵∴∵∴是等边三角形，∴，延长至，使得，∴∴在中，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接则是等边三角形，

∵将沿折叠得到四边形，∴四边形是菱形，依题意，三点共线，且，又，∴∴∵为的中点，∴，∵∴∴∴∵∴∴∴的轨迹为平行于的一条线段，且

∵点为中点，则，由（1）可得，则为的中点,则在中，∴，∵，∴∴，如图所示，当重合时，取得最大值，此时如图所示，

∵，，则共线，∴在中，如图所示，当重合时，最小，

在中，∴∴．2．(1)见解析(2)①当时，或；②【详解】（1）如图，延长交于，点是正方形两对角线的交点，，，四边形是正方形在和中，，，，，，，即；（2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况：如图2，由增大到过程中，当时，，在中，，，，，，即；由增大到过程中，当时，如图同理可求，，综上所述，当时，或；②如图，连接，四边形是正方形，，，正方形的边长为2，，，则，当时，、、在一条直线上，此时的长最大，最大值为，故答案为：．3．(1)详见解析(2)或【详解】（1）证明：将绕点顺时针旋转到图位置（2）由（1）知，如图，当点在上时，在中，由勾股定理得，如图，当点在的延长线上时，在中，由勾股定理得，综上所述：线段的长为或．4．(1)(2)，理由见解析【详解】（1）解：补全图1，如图，连接，，，即，，，，，，，F为的中点，，，，，同理，，，，；（2），证明：延长到点，使得，连接，连接并延长，与的延长线相交于点．

是的中点，．，，．．．．在中，．，，．．．，．．．．5．(1)(2)见解析(3)【详解】（1）解：如图，过点E作交于点H，

，分别为的高，，，是等腰直角三角形，，，，，，，即，，在中，，即，同理在中，，，，是等腰三角形，，，，在中，，，，在中，；（2）证明：连接，设与交点为点P，

，分别为的高，，，，，是等腰三角形，，将绕点E逆时针旋转到，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，是直角三角形，，，，，，，；（3）解：将绕点C逆时针旋转得到，连接，过点E作交于点H，设与交于点O，此时点Q在上运动，由旋转的性质得到，，是等边三角形，，，，，当时，有最小值，，∴，，∴，，，，，，，，，，，，．6．(1)见详解．(2)60°．【详解】（1）证明：和为等边三角形，，，在和中，，，；（2）解：和都是等边三角形，，，即，在和中，，，，，．故答案为：．7．(1)(2)①；②【详解】（1）解：，，；（2）解：①如图，

，，由（1）知，，，，，，如图，与延长线交于点，

由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转，三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转，，；解：②如图，当时，

，，，，a为或a为，（秒），（秒）．如图，当时，

，，a为或a为，（秒），（秒），．如图，当时，此时a为∴，综上所述，8．(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：绕点顺时针旋转得到，，，，，，，；（2）解：绕点顺时针旋转得到，，，由（1）可知，，若，则，，四边形是菱形，；，将绕点顺时针旋转得到，，即，，即直线与互相垂直．9．(1)，见详解(2)见详解(3)【详解】（1）解：,∵,∴，∵，∴，又∵,∴,∵,∵,又∵,∴,∴,∴（2）解：∵,∴,又∵M是的中点，∴,∵的中点分别是M、N，∴，∴．（3）解：由（2）得：，，，，，，，，当三点共线时，最长，此时，．10．(1)四边形是菱形，理由见解析(2)当时，的面积最大，理由见解析(3)见解析【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：∵在中，，∴，则，∵，∴，∴是的平分线，则，∴，∵点F为中点，∴，∴，∴四边形是菱形；（2）解：当时，的面积最大，理由如下：设，，则，，，，，，∵点F为中点，∴，∵，∴当时，有最大值，此时，即，∴当时，的面积最大；（3）解：作点A关于的对称点，点关于的对称点Ｈ，连接，则，，∴，由题意得，∴都是等边三角形，∵，∴，∴，∵点为中点，∴是的中位线，

∴，∴．11．(1)旋转角为度或度；(2)当旋转角为30°时，当旋转角为90°时，．【详解】（1）解：如图1，由旋转过程知，是等边三角形，．，即旋转角为；C'点与A重合，即旋转角为度；综上，旋转角为30°或90°；（2）解：当旋转角是为30°时：①当时．如图2，设与分别相交于点与相交于点P．作，垂足为．设，则，由平移过程知，．由知，，即．，，∴，．②当时，如图3，设与分别相交于点．作，垂足为．设，则．，即，则．．即．当旋转角为时，如图4中，当时，重叠部分是五边形，，如图5中，当时，重叠部分是四边形，，所以，．综上所述，当旋转角不是为时，当旋转角为90°时，．12．(1)(2)，图见解析(3)【详解】（1）解：连接，∵，∴，即，在和中，，∴，∵，∴，∴，故答案为：．（2）解：如图：∵，，∴为等边三角形，∴，∵，∴，则，由（1）可知，，∴，∵，∴．（3）如图，连接点E和中点，交于点F．∵，∴，∵，∴，则，∵，∴A、B、C、E四点共圆，为直径，故点E在以为直径的圆上运动，∵，∴点E在上运动，当点E为的中点时，最大，∵，，，∴，∴，∵点E为的中点时，∴且平分，∴，∵点O为，点F为中点，

∴，∴，∴，故答案为：．13．(1)平分(2)或(3)不变，差值是【详解】（1）解：直线平分．理由如下：设的反向延长线为，∵平分，∴，又，∴，∵，∴，∴平分，即直线平分，故答案为：平分；（2）∵，∴．∴．即旋转或时直线ON平分∠AOC．由题意得，或．解得：或，故答案为：或；（3）的差不变．∵，∴，∴．∴与的差不变，这个差值是．14．(1)①BD=3AE，②直线BD与AE所夹锐角为60°(2)【详解】（1）解：①BD=3AE∵在△ABC和△EDC中∴△ABC∽△EDC∴∠DCE=∠BCA，∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE∠BCD=∠ACE.在△AEC和△BDC中∴△AEC∽△BDC∴BD=3AE②夹角为60°如图，延长AE与BD交于点F∵∠ACB=60°∴∠CBA+∠CAB=120°由（1）中△AEC∽△BDC可得∠EAC=∠DBC∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°∴在△AFB中∠AFB=60°∴直线BD与AE所夹锐角为60°（2）解：如图，连接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，∴△ABC是等边三角形由（1）可得△ABC∽△EDC∴△DEC为等边三角形，∴DC=EC∵四边形ADCE是平行四边形∴平行四边形ADCE是菱形∵AC为菱