广东省汕头市2023届高三上学期数学期末考试试卷

广东省汕头市2023届高三上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合A={x|x≥0}，集合B={x|x>1}，则以下命题为真命题的是（）A．∃x∈A，x∈B B．∃x∈B，x∉AC．∀x∈A，x∈B D．∀x∈B，x∉A2．已知复数z满足(1+2i)z=2+i，则|z|=（）A．55 B．1 C．5 3．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（）A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差4．已知等差数列{an}且3(A．24 B．39 C．104 D．525．已知某运动员每次射击击中目标的概率是p，假设每次射击击中目标与否互不影响，设ξ为该运动员n次射击练习中击中目标的次数，且E(ξ)=8，A．0.6 B．0.8 C．0.9 D．0.926．如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC−A1B1C1中，A．3 B．4 C．42 7．(x+3y)(x−2yA．60 B．24 C．−12 D．−488．如图为函数f(x)=2sinA．函数f(x)的周期为4πB．对任意的x∈R，都有f(x)≤f(C．函数f(x)在区间[0，D．函数f(x−π二、多选题9．已知同一平面内的两个向量a=(3，−1)A．与b同向的单位向量是(B．{aC．a和b的夹角是πD．a在b上的投影向量等于b10．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查，得到下表：体育性别合计男性女性喜欢280p280＋p不喜欢q120120＋q合计280＋q120＋p400＋p＋q附：χ2=nα0.050.0250.0100.001x3.8415.0246.63510.828已知男生喜欢体育锻炼的人数占男生人数的710，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的3A．列联表中q的值为120，p的值为180B．随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能性喜欢体育锻炼C．根据小概率值α=0.D．根据小概率值α=0.11．在直四棱柱ABCD−A1B1C1DA．在棱AB上存在点P，使得D1P//B．在棱BC上存在点P，使得D1P//C．若P在棱AB上移动，则AD．在棱A1B1上存在点P，使得12．已知函数f(x)=x3−2A．函数y=f(x)的单调减区间为(−B．函数y=f(x)的极小值是−15C．当a>2时，对于任意的x>a，都有f(x)<f(a)+D．函数y=f(x)的图像有条切线方程为y=3x−1三、填空题13．若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=714．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为．15．写出符合如下两个条件的一个函数f(x)=．①f(−x)−f(x+2)=0，②f(x)在(−∞，16．剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一．如图，一圆形纸片直径AB=20cm，需要剪去四边形CEC1D已知点C在圆上且AC=10cm，∠ECD=30°．则镂空四边形CEC1D的面积的最小值为四、解答题17．已知数列{an}的前n项积为Tn，且（1）求证：数列{1（2）求数列{lnan18．设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=bcos（1）求证：B＝2A；（2）求b+ca19．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1C（1）求平面A1B1（2）求三棱柱ABC−A20．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．场上位置边锋前卫中场出场率0.50.30.2球队胜率0.60.80.7（1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率；（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；（3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．21．已知函数f(x)=lnx−1（1）讨论f(x)的单调性；（2）曲线y=f(x)上是否存在不同两点A(x1，y1)、22．已知椭圆C1：x24+y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、（1）试探究直线TP与TQ斜率之积是否为定值，并说明理由；（2）记点O为坐标原点，求证：P、O、Q三点共线．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题知，集合A={x|x≥0}，集合B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以∃x∈A，x∈B或∃x∈A，x∉B或∀x∈B，x∈A，只有A选项符合要求，故答案为：A.

【分析】利用集合的关系分析即可.2．【答案】B【解析】【解答】由题意z=2+i1+2i=故答案为：B.

【分析】根据复数的除法及模长公式运算求解．3．【答案】B【解析】【解答】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确，不符合题意；将甲成绩进行排序，又6×250将乙成绩进行排序，又6×750从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误，符合题意；甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，C正确，不符合题意.故答案为：B

【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.4．【答案】D【解析】【解答】由等差数列的性质可得：a3+a所以由3(a1+解得：a4所以数列{aS13故答案为：D.

【分析】根据等差数列的性质化简已知条件可得a4+a5．【答案】B【解析】【解答】由题意ξ∼B(n，p)故答案为：B．

【分析】由题意ξ∼B(6．【答案】A【解析】【解答】在图1中V水在图2中，V水∴4故答案为：A.

【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.7．【答案】B【解析】【解答】由(x−2y)6所以(x+3y)(x−2y)6故系数为4C故答案为：B

【分析】首先写出(x−2y)6展开式通项，再考虑通项与(8．【答案】C【解析】【解答】从图象可看出f(x)的最小正周期为T=3π因为ω>0，所以2πω=3π，解得：A不符合题意；f(x)=2sin(22sin因为0<φ<π2，所以故f(x)=2sinf(2π故不满足对任意的x∈R，都有f(x)≤f(2πx∈[0，5π]，则由f(x)=0可得：23x+π故函数f(x)在区间[0，f(x−π故答案为：C

【分析】A选项，利用函数图象求出函数解析式，利用正弦函数的周期性得到A错误；

B选项，计算f(2π3)=2sin11π18≠2，B错误；

C选项，整体法得到29．【答案】A,C,D【解析】【解答】b=(1，−2)则与b同向的单位向量是b|3×(−2)−1×(−1)≠0，故a=(3，−1)故{acos⟨因为⟨a，b故a和b的夹角是π4a在b上的投影向量等于a⋅故答案为：ACD

【分析】A选项，利用b→|b→|进行求解；

B选项，求出a=(3，−1)与10．【答案】A,C,D【解析】【解答】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35则280=710(280+q)B：补全2×2列联表如下：男性女性合计喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为P=460C：K2而6.所以根据小概率值α=0.D：由C知，根据小概率值α=0.故答案为：ACD

【分析】根据题意求出q、p，补全2×2列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出K211．【答案】A,B,C【解析】【解答】A选项，当P是AB的中点时，依题意可知C1D1//DC//PB，C1D1=DC=PB，所以四边形D1PBC1是平行四边形，所以DB选项，设E是AB的中点，P是BC的中点，由上述分析可知D1E//平面A1BC1.由于PE//AC//A1C1，PE⊄平面A1BC1，A1C1C选项，根据已知条件可知四边形ADD1A1是正方形，所以A1D⊥D1A，由于AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1=A，所以D选项，建立如图所示空间直角坐标系，A1A1B=(0，4，−2)，A1C1=(−2，2，0).设P(2，t，2)，t∈[0，4].故答案为：ABC

【分析】利用直四棱柱的结构特征，再结合已知条件和线线平行证出线面平行，从而证出线面平行，所以在棱AB上存在点P，使得D1P//平面A1BC1和在棱BC上存在点P，使得D1P//平面A112．【答案】A,B【解析】【解答】因为f(x)=所以f'(x)=3x所以f(x)的单调减区间为(−2A符合题意．令f'则x<−23所以f(x)在(−∞，−2在(−2所以函数的极小值为f(2)=−15，B符合题意；由f'若f(x)<f(a)+即x3−⇔⇔(x−a)[x+2(a−1)]<0⇔x+2(a−1)<0矛盾，C不符合题意．f'解的x=−1或73当x=−1时切点(−1，−6)不在当x=73时切点(7故答案为：AB．

【分析】对函数f(x)=x3−213．【答案】511【解析】【解答】由等比数列的性质可得：(S即(S6−7)2=7×(

【分析】利用已知条件结合等比数列的性质列式，即可求出S914．【答案】1【解析】【解答】由题知，2c=AB=4，解得c=2，AC=A由椭圆的定义知：2a=AC+BC=5+3=8，解得a=4，所以椭圆的离心率e=c故答案为：12

【分析】利用椭圆定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到椭圆的离心率.15．【答案】−x【解析】【解答】∵f(−x)−f(x+2)=0∴f(2−x)=f(x)∴函数的图象关于x=1对称，又∵函数在(−∞，∴符合条件的一个函数解析式可以是：f(x)=−x故答案为：−x

【分析】先求出对称轴，再结合单调性即可．16．【答案】150【解析】【解答】由对称性可得SCEC1如图所示，设O为圆心，连接AC，作CG⊥AB于G，由题意AC=AO=OC=10，所以∠OAC=60°，所以CG=CA⋅sin设CE=a，CD=b，ED=c，由面积公式由余弦定理32=a又根据基本不等式可得3ab=a2当且仅当a=b=300所以S△CED所以四边形CEC1D故答案为：150

【分析】由对称性可得SCEC1D=2SCED，所以求△CED面积的最小值即可，设CE=a，CD=b，ED=c17．【答案】（1）证明：∵数列{an∴T1=a∴∵a∴n=1时，a1+2T1∴∴Tn+1T故数列{1Tn（2）解：由（1）知1T所以Tn=1因此，lna所以Sn即S化简得：Sn【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；

（2）利用裂项相消法即可求解．18．【答案】（1）证明：a=bcos由正弦定理得：sinA=由积化和差公式可得：sinA=因为12所以sinA=因为三角形ABC为锐角三角形，故A，所以B−A∈(−π故A=B−A，即B=2A；（2）解：由（1）知：B=2A，由正弦定理得：b+ca其中sin3A=因为sinA≠0所以b+c=2cos由B=2A∈(0，π2由C=π−A−B=π−3A∈(0，π2结合A∈(0，π2)可得：故b+ca=4(所以b+ca即b+ca【解析】【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到sinA=sin(B−A)，结合角的范围，得到B=2A；

（2）利用正弦定理得到b+ca=4(cos19．【答案】（1）解：取AA1的中点D，连接DC1，DB因为AC=AA1=A故C1D⊥因为平面AA1C1C⊥平面AA1故C1D⊥平面因为∠AA1B1=60°所以A1则△DA1B因为AA1//在△B1DE故DE=3则DE故DE⊥B1E因为平面AA1C1C⊥平面AA1所以DE⊥平面AA1C以D为坐标原点，DE，则A1设平面A1B1则m⋅令x=1，则z=3故m=(1平面ABB1A设平面A1B1C1则平面A1B1C1（2）解：A点到平面A1B1由（1）知：平面A1B1C1故h=|【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而证明出DE，AA1，C120．【答案】（1）解：设A1表示“甲球员担当边锋”；A2表示“甲球员担当前卫”；A3则P(B)=P=0.该球队某场比赛输球的概率为1−P(B)=1−0.（2）解：由（1）知：P(所以P(A所以球员甲担当前卫的概率为6（3）解：同（2）P(P(由于P(【解析】【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可；

（2）根据条件概率的计算公式即可求解；

（3）由三个位置上的赢球几率，即可做出判断.21．【答案】（1）解：f(x)=lnx−1则f'当−1a=1，即a=−1此时f(x)在(0，当a<−1时，此时−1a∈(0，1)令f'(x)<0故f(x)在(0，−1当−1<a<0时，此时−1a>1，令f令f'(x)<0时，故f(x)在(0，1)，当a=0时，f'(x)=−x+1x，令令f'(x)<0，解得：故f(x)在(0，1)上单调递增，在当a>0时，−1此时，令f'(x)>0，解得：x∈(0，1)，令故f(x)在(0，1)上单调递增，在综上：当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在当−1<a<0时，f(x)在(0，