第5章两点边值问题求解方法介绍

航空航天中的计算方法授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院2023最新整理收集do

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第二部分边值问题求解方法

第5章两点边值问题求解方法2024/12/17内容提要5.1 常微分方程边值问题的概念5.2 打靶法5.3 有限差分法5.4 有限元法[1]Part3:Two-PointBoundaryValueProblems.[2]DavidL.Darmofal,ComputationalMethodsinAerospaceEngineering(LectureNotes),MIT,2005.Chap11,12.[3]清华大学数学系编，现代应用数学手册•计算方法分册（第十一章，常微分方程边值问题的数值方法），北京出版社，1990.2024/12/175.1常微分方程边值问题的概念对于常微分方程：其中，x为标量，y和f为m维向量。在上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为：其中g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP，TwoPointBoundaryValueProblem）。如果边值条件形式可写为：其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。

5.1常微分方程边值问题的概念2024/12/175.2打靶法以二阶系统为例，考虑边值问题：变换：考虑初值问题：初值问题的解为：找到α满足：5.2打靶法如何求α？2024/12/17打靶法的几何解释：5.2打靶法打靶：求解初值问题2024/12/175.1.1割线法以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解：根据初值条件知：假设是α的线性函数，可取α为：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法2024/12/17割线法的几何解释：5.2打靶法线性近似：按割线求根2024/12/175.1.2牛顿法求解非线性方程（组）：在已知初值α0的处Taylor展开：线性近似：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法2024/12/17差分法求偏导数或采用其它数值微分方法。f可微时解偏导数微分方程微分方程对α求偏导：5.2打靶法初值问题，可解！（与割线法等价）割线代替切线2024/12/17每一步迭代求解初值问题其中：解得：得到的终端值和对α的偏导数：5.2打靶法2024/12/17作业题5：用牛顿打靶法求解两点边值问题迭代初始条件取。5.2打靶法2024/12/175.3有限差分法以二阶系统为例，边值问题：有限差分近似将区间等分为N个子区间将在xi处Taylor展开：5.3有限差分法用差分近似代替微分，将微分方程化为代数方程求解2024/12/17若取x=xi+1=x+ih：忽略二阶以上部分，得一阶导数的前向差分近似：若取x=xi-1=x-ih：忽略二阶以上部分，得一阶导数的后向差分近似：5.3有限差分法一阶精度一阶精度2024/12/17xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略三阶以上部分，得一阶导数的中心差分近似：xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相加，忽略四阶以上部分，得二阶导数中心差分近似：三阶导数的中心差分近似？5.3有限差分法二阶精度二阶精度2024/12/17xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分：xi+2和xi-2在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分：三阶导数的中心差分近似：四阶导数的中心差分近似：5.3有限差分法二阶精度二阶精度2024/12/17有限差分法解微分方程两点边值问题微分方程离散化，将区间等分为N个子区间：在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：5.3有限差分法2024/12/17有限差分法解微分方程两点边值问题的几何解释5.3有限差分法离散点：微分用有限差分近似2024/12/17例5.1：用有限差分法求解两点边值问题取离散化区间h=0.1，N=10。5.3有限差分法2024/12/17线性方程组：即：5.3有限差分法2024/12/175.4有限元法以二阶系统为例，考虑边值问题：5.4.1投影类方法的基本思想以一简单函数

近似y(x)，给出连续近似解，例如：一般形式：，已知，待定。残差：某种意义上使残差最小，则得到某种准则下最佳的近似解。5.4有限元法2024/12/17区间残差平方和最小：最小二乘法若干特定点处残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。5.4有限元法计算复杂，不常用为权函数2024/12/17例5.2：考虑两点边值问题解析解为：试用配点法和加强残差法求解该问题近似解。5.4有限元法2024/12/17

5.4有限元法解析解2024/12/17设近似解的形式：基函数的选择示例：

为满足边值条件要求

取二次函数

以及三次项

N=2（1）配点法

近似解的残差

令N个点处残差为零求解系数，如5.4有限元法线性函数不满足配点？2024/12/17（2）加权残差法

要求： Galerkin法，取

即：5.4有限元法2024/12/17

5.4有限元法配点法、Galerkin加权残差法与精确解的比较2024/12/175.4.2有限元法的基本思想将区域（区间）划分为小的单元，在单元上表示近似解以及求残差加权积分。第i个单元，Ei，，在每个单元上解用多项式近似；在每个单元上计算加权残差；根据各单元满足的方程确定多项式近似解的系数。5.4有限元法局部近似，分段光滑可以用简单的低阶近似2024/12/175.4.3有限元法：线性元为例解在每个单元上采用x的线性函数近似表示。

5.4有限元法2024/12/17线性函数具有2个自由度：由两个端点的函数值确定；N个线性单元，近似连续函数，N+1个自由度：由N+1个节点的函数值唯一确定。

设近似解表达为：

由

可知5.4有限元法线性函数2024/12/17近似解可以用节点基函数表示为：节点基函数

在节点j处：

由于近似表达式中取值的任意性，可知：5.4有限元法节点基函数的特性2024/12/17对于线性元，节点基函数在每个单元内是线性函数：

5.4有限元法第i个节点基函数的几何表示2024/12/17节点函数值的求解：加权残差Galerkin法近似解的节点基函数表示：

Galerkin法求，即解方程组：其中：（对于示例二阶系统）即：分部积分：5.4有限元法2024/12/17在第i个单元内，Ei：

5.4有限元法单元内为连续函数2024/12/17方程组：当时方程为：当时方程为：当时方程为：5.4有限元法2024/12/17给定边值条件：上述N+1个方程可解出N+1个未知量：最终得到问题的解：5.4有限元法2024/12/17例5.2（续）：两点边值问题用线性元和加权残差Galerkin法得到N+1个方程：给定：，可求解剩余N+1个未知数。5.4有限元法2024/12/17高斯求积

将积分表示为被积函数在若干点处的函数值加权和：若适当选取和，可使公式对次数≤2N+1的多项式被积函数均精确成立（具有2N+1次代数精度），这类公式称为高斯求积公式。节点称为高斯点。5.4有限元法2024/12/17例：N=0时，只能实现对1次多项式精确满足，对比系数，得：N=1时，不大于3次的多项式可精确满足，对比系数，得：N=……，高斯点和系数可查数学手册。5.4有限元法注意积分区间变换到[-1,1]！2024/12/175.4.4有限元法拓展高次元：分段高次插值多维问题

5.4有限元法2024/12/17作业题6：用有限元法，采用线性元，求解两点边值问题：将区间等分