2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（七）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（七）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|−1≤x≤2}，B={x∈R|x3≥x}，则A∩B=A.{1,2} B.{0,1,2} C.{−1,1,2} D.{−1,0,1,2}2.设a，b为两个非零向量，则“a|a|=b|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的60%分位数是(

)A.16 B.30 C.32 D.514.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=cos2x⋅(ex−e−x)

5.已知a=sin13,b=A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.b<a<c6.对于f(x)=cos2(x−πA.f(x)关于直线x=π3对称 B.f(x)是偶函数

C.f(x)的最小正周期为2π D.f(x)7.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若DA=m，DC=n，AF=1A.25m+15n B.18.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699块

B.3474块

C.3402块

D.3339块9.斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了“数学之美”.斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列{an}满足：a1=aA.a2024是奇数

B.3an=an−2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知复数z=2−ii(i为虚数单位)，则z11.(1−2x)(1+3x)6的展开式中，含x2的项的系数为______.(用数字作答12.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，且EG=13EF，若AG=λAB13.已知角α，β∈(0,π2)，tanαtanβ=2，sin(α−β)=51314.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次由甲将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P3=______；Pn15.设a∈R，若关于x的方程2x|x|−(a−2)x+|x|−a+1=0有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，btanA+btanB=3ccosA．

(Ⅰ)求B的大小；

(Ⅱ)若a=8，b=47．

(i)求c的值；

17.(本小题12分)

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求点N到直线PM的距离．18.(本小题12分)

已知过点(0,−23)，斜率为3的直线l过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点，椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线x=a22上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点E(−2,0)的直线19.(本小题12分)

设{an}是公比大于0的等比数列，{bn}是等差数列，已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a520.(本小题12分)

已知函数f(x)=(1−x)e2x，g(x)=11−x，−1≤x≤0．

(1)求曲线y=f(x)与y=g(x)的一条公共切线方程；

(2)证明：f(x)≤g(x)；

(3)若f(x)≥x2−ax−2xsinx+1参考答案1.B

2.A

3.C

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.D

10.−2

11.99

12.5913.−414.0.25

2315.(9,+∞)

16.解：(Ⅰ)因为btanA+btanB=3ccosA，

由正弦定理得sinBsinAcosA+sinBsinBcosB=3sinCcosA，

整理得，sinB(sinAcosB+sinBcosA)cosAcosB=3sinCcosA，

即sinAsin(A+B)cosAcosB=3sinCcosA，

因为sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，C∈(0,π)，

因为tanA有意义，

所以cosA≠0，

所以sinBcosA=3cosAcosB，

即tanB=3，又B∈(0,π)，B=π3；

(Ⅱ)(i)因为a=8，b=47，

由余弦定理得17.解：(1)证明：连接EM，因为AB/​/CD，PQ/​/CD，

所以AB/​/PQ，

又因为AB=PQ，

所以四边形PABQ为平行四边形，

因为点E和M分别为AP和BQ的中点，

所以EM/​/AB且EM=AB，

因为AB/​/CD，CD=2AB，F为CD的中点，

所以CF/​/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，

即四边形EFCM为平行四边形，

所以EF/​/MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，

所以EF/​/平面MPC．

(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

依题意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，

则n⋅PM=0n⋅PQ=0，即x+y−z=0y=0，不妨设z=1，可得n=(1,0,1)，

设m=(a,b,c)为平面PMC的法向量，

则m⋅PC=0m⋅CM=0，即2b−2c=0a−b+c=0，不妨设c=1，可得m=(0,1,1)．

所以cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=12，

设平面PQM与平面PMC夹角为θ，

所以sinθ=1−(12)2=32，

即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为32，

故平面PQM与平面PMC夹角为60°．

(3)设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,−2λ)，

则N(0,λ+1,2−2λ)．

18.解：(1)∵过点(0,−23)，斜率为3的直线l过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点，

∴直线l的方程为y=3x−23，

令y=0，得椭圆焦点坐标为(2,0)，

∵椭圆C的中心关于直线l的对称点在直线x=a22上，

设椭圆C的中心关于直线l的对称点为(m,n)，

则n2=32m−23nm=−33m=a22，解得n=−3，m=3，a2=2m=6，

∴b2=a2−c2=6−4=2，

∴椭圆C的方程为x26+y22=1．

(2)①当直线m的斜率不存在时，满足tan∠MON=463OM⋅ON，此时直线m19.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，设等差数列{bn}的公差为d．

∵a1=1，a3=a2+2，∴q2=q+2，

∵q>0，∴q=2，∴an=a1qn−1=2n−1．

∵a4=b3+b5，a5=b4+2b6，∴2b1+6d=83b1+13d=16，

∴b1=d=1，∴bn=b120.解：(1)f(x)=(1−x)e2x，g(x)=11−x，−1≤x≤0，

f′(x)=(−1+2−2x)e2x=(1−2x)e2x，g′(x)=1(1−x)2,−1≤x≤0，

注意到f(0)=g(0)=f′(0)=g′(0)=1，

所以曲线y=f(x)与y=g(x)的一条公共切线可以是经过(0,1)且斜率为l的直线，

故所求为x−y+1=0；

(2)证明：由f(x)=(1−x)e2x≤g(x)=11−x⇒e2x(1−x)2−1≤0，−1≤x≤0，

设ℎ(x)=e2x(1−x)2−1，−1≤x≤0，则ℎ′(x)=e2x(2x2−4x+2+2x−2)=2x(x−1)e2x≥0，−1≤x≤0，

所以ℎ(x)在[−1,0]上单调递增，从而，ℎ(x)≤ℎ(0)=0⇒e2x(1−x)2−1≤0，

故原命题得证；

(3)第一步：m(x)=f(x)−x−1=(1−x)e2x−x−1，−1≤x≤0，

m′(x)=(−1+2−2x)e2x−1=(1−2x)e2x−1，−1≤x≤0，

设m′(x)=m1(x)，−1≤x≤0，

则m1(x)=(1−2x)