2024-2025学年江苏省南通市通州高级中学高一（上）第二次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市通州高级中学高一（上）第二次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=(

)A.{x|−1≤x≤1} B.{x|x≥−1} C.{x|x>2} D.{x|1≤x<2}2.设f(x)是定义域为R的函数，命题p：“∀x>0，f(x)>0”，则命题p的否定是(

)A.∀x>0，f(x)≤0 B.∃x≤0，f(x)≤0

C.∃x>0，f(x)≤0 D.∀x≤0，f(x)≤03.函数f(x)=x+x|x|的大致图象是(

)A. B.

C. D.4.已知函数f(x)=x2−x,x>0,f(x+2),x≤0,则A.0 B.1 C.2 D.125.已知实数a，b，c满足a<b<0<c，则下列不等式中成立的是(

)A.a+1b>b+1a B.2a+ba+2b6.下列运算中正确的是(

)A.当a>0时，3a2⋅a3=a B.lo7.已知不等式x2−ax+4≥0对于任意的x∈[1,3]恒成立，则实数a的取值范围是(

)A.(−∞,4] B.[4,+∞) C.(−∞,5] D.[5,+∞)8.已知函数f(x)=x3+x−1，且f(a)+f(b)+2<0，则A.a+b<0 B.a+b>0 C.a−b+1>0 D.a+b+2<0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知全集U=A∪B，集合A={1,2,4}，B={x∈N|x2∈N}，则下列说法不正确的是A.集合A的真子集有7个 B.{1}∈U

C.A⊆B D.∀x∈∁U10.已知函数f(x)=1+x21−A.f(x)的定义域为{x|x≠1} B.f(x)是偶函数

C.f(x)的值域为(−∞,−1)∪[1，+∞) D.f(x)+f(−11.已知2a=3bA.a+b>4 B.ab>2

C.a2+b三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设x，y∈R，使1x>113.已知f(12x−1)=2x−5，且f(a)=3，则a=14.已知函数f(x)=x2+2x,x≥0x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在①B∩∁RA=⌀；②∁RB∪A=R；③∁RA⊆∁RB这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答．

问题：已知集合A={x∈R|(x−1)(x+2)>0}，B={x∈R|y=x+a,y∈R}16.(本小题15分)

已知命题：“∃x∈{x|−1<x<1}，使等式2x2−x−m=0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合M；

(2)设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x|x|+1．

(1)证明：函数f(x)是奇函数；

(2)用定义证明：函数f(x)在(0,+∞)上是增函数；

(3)若关于x的不等式f(ax2+3ax)+f(1−ax)>0对于任意实数x18.(本小题17分)

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．

(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

(2)19.(本小题17分)

我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.若函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2−2ax+2a．

(1)求f(0)+f(2)的值；

(2)设函数g(x)=x2−x．

①证明函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称；

②若对任意x1∈(0,2)，总存在x2参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.B

6.D

7.A

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ABD

12.y>x>0(答案不唯一)

13.1

14.{x|−2≤x≤0}

15.解：(1)集合A={x|(x−1)(x+2)>0}={x|x<−2或x>1}，

当a=1时，B={x∈R|y=x+1,y∈R}={x|x≥−1}，

所以∁RB={x|x<−1}，

所以A∩∁RB={x|x<−2}．

(2)由集合A={x|x<−2或x>1}和B={x|x≥−a}，

若选择①：由A={x|x<−2或x>1}，得∁RA={x|−2≤x≤1}，

要使B∩∁RA=⌀，则−a>1，解得a<−1，所以实数a的取值范围是{a|a<−1}；

若选择②：由∁RB∪A=R，即B⊆A，可得−a>1，解得a<−1，所以实数a的取值范围是{a|a<−1}；

若选择③：由16.解：(1)由2x2−x−m=0，可得m=2(x−14)2−18，

∵−1<x<1，∴−18≤m<3，

∴M={m|−18≤m<3}；

(2)由(x−a)(x+a−2)<0，

当a>2−a，即a>1时，N={x|2−a<x<a}，

∵x∈N是x∈M的必要条件，∴M⫋N，

∴2−a<−18a≥3，解得a≥3；

当a=2−a，即a=1时，N=⌀，不满足题设条件；

当17.解：(1)证明：根据f(x)=x|x|+1，可得其定义域为R，关于原点对称，

又根据f(−x)=−x|−x|+1=−x|x|+1=−f(x)，

因此f(x)为定义域R上的奇函数．

(2)证明：当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=xx+1=1−1x+1，

任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，

所以f(x1)−f(x2)=1−1x1+1−(1−1x2+1)=1x2+1−1x1+1=x1−x2(x2+1)(x1+1)，

由于x1，x2∈(0,+∞)，x1<x2，所以x1−x2<0，

因此f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，18.解：(1)由题意得：10(1000−x)(1+0.2x%)≥10×1000，

即x2−500x≤0，又x>0，所以0<x≤500．

即最多调整500名员工从事第三产业．

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(a−3x500)x万元，

从事原来产业的员工的年总利润为10(1000−x)(1+1500x)万元，

则10(a−3x500)x≤10(1000−x)(1+0.2x%)

所以ax−3x2500≤1000+2x−x−1500x2，

所以ax≤2x2500+1000+x，

即a≤2x19.解：(1)∵y=f(x+1)−1为奇函数，

∴f(x+1)−1=−f(−x+1)+1，得f(x+1)+f(1−x)=2，

则令x=1，得f(0)+(2)=2；

(2)

①证明：令t(x)=g(x+2)+1=x+22−(x+2)+1=−2x，

∵t(x)=−2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，

且t(−x)=2x=−t(x)，

∴t(x)为奇函数，

∴函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称．

②g(x)=22−x−1在区间(0,2)上单调递增，∴g(x)在区间(0,2)上的值域为(0,+∞)，记f(x)在区间(0,2)上的值域为B，

由对∀x1∈(0,2)，总∃x2∈(0,2)，使得f(x1)=g(x2)成立知B⊆(0,+∞)，

(i)当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，由对称性知，f(x)在(1,2)上单调递增，∴f(x)在(0,2)上单调递增，

只需f(0)=2a≥0即可，得a≥0，∴a=0满足题意；

(ii)当0<a<1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，由对