山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

山东省德州市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．已知集合M={x||x−3|<1}，N={x|x2−3x+4<0}，那么“a∈MA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（）A．110−710i B．123．函数f(x)=(m2−m+1)xm2−2m−3A．8 B．4 C．2 D．14．如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（）A．(15+4)π B．(215+4)π C．5．已知菱形ABCD的边长为2，菱形的对角线AC与BD交于点O，BA⋅BO=1，点E是线段BD上靠近D的三等分点，则AEA．83 B．43 C．16．曲线4y−x2=0(xy≥0)上有两个不同动点M，N，动点M到P(0，4)的最小距离为dA．8 B．9 C．4+23 D．7．已知a=lna5+5，b=lnA．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b8．已知函数f（x）＝sinx的图像与直线kx−y−kπ=0(k>0)恰好有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2A．－2 B．－1 C．0 D．1二、多选题9．已知定义在R上的奇函数f(x)图象连续不断，且满足f(x+2)=f(x)，则下列结论正确的是（）A．函数f(x)的周期T＝2B．f(2022)=f(2023)=0C．f(x)在[−2，2]上有4个零点D．(1，0)是函数10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且A．S6=18 C．数列{an}为等差数列 D．11．设函数f(x)=xex，A．函数f(x)在(−∞，B．对∀x≠0，都有f(x)xC．对∀x∈R，都有f(x)+1≥g(x)恒成立D．函数F(x)=f(x)−g(x)有两个极值点12．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是2，A．DB．以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCCC．平面D1MND．D1B1与平面三、填空题13．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若在锐角14．已知直线x+2y−5k=0与圆C：x2+y2−4x+2y−3=0交于A、B15．已知正方形ABCD，边长为2，动点P自点A出发沿ABCDA运动，动点Q自点A出发沿ADCBA运动，且动点P的速度是动点Q的2倍，若二者同时出发，且P到达A时停止，另一个点Q也停止，则该过程中AP⋅AQ的最大值是16．如图所示，已知F1、F2分别为双曲线x24−y212=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则∠AF2O的取值范围为；记△AF1四、解答题17．设函数f(x)=sin（1）求函数f(x)的单调增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B为锐角，且f(B+π18．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，∠ABC=45∘，AB=2，BC=2，PC⊥底面ABCD，E（1）求证：AC⊥CE；（2）若E是PB的中点，直线CE与平面ABCD所成角的正弦值为63，求二面角P−AC−E19．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3=6，a2，a（1）求数列{an}（2）求k=1100（3）证明：2320．由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0，（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；（2）对任意的x∈[21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知A，B是椭圆C上的两个不同的动点，以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，是否存在以点O为圆心的定圆与AB相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由．22．设函数f(x)=e（1）当a<0时，判断函数y=f(x)的单调性；（2）若直线y=e是函数y=g(x)的切线，求实数a的值；（3）当a>0时，证明：g(

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由|x−3|<1可得−1<x−3<1，即2<x<4，所以M={由x2−3x−4<0可得(x−4)(x+1)<0，解得−1<x<4，所以因为集合M是集合N的真子集，所以“a∈M”是“a∈N”的充分不必要条件.故答案为：A

【分析】先化简集合M，N，再根据集合的包含关系及充分条件和必要条件的定义进行求解，即可得答案.2．【答案】D【解析】【解答】设复数z=a+bi，代入3z−1=(z+2)i，有(3a−1)+3bi=−b+(a+2)i，则3a−1=−b3b=a+2，解得a=110b=故答案为：D

【分析】设复数z=a+bi，代入已知等式，利用复数相等求解出a，b，可得答案.3．【答案】B【解析】【解答】m∈Z，0≤m≤3，m=0，1，2，在定义域内f(−x)=f(x)m2−2m−3=0时，f(只有m2−2m−3=−4满足，此时m=1，f(故答案为：B．

【分析】由m的值依次求出m2−2m−3的值，然后根据函数的性质确定m，得函数解析式，计算函数值，可得4．【答案】D【解析】【解答】设圆锥的母线为l，底面半径为r，高为h，则πrl=4π，4πr=4π，解得：r=1，所以h=4圆柱体的侧面积为2πr⋅2h=2π×215所以制作这样一个粮仓的用料面积为(45故答案为：D

【分析】求出圆锥的底面半径和高，再利用圆柱和圆锥的侧面积公式进行求解，可求出答案.5．【答案】B【解析】【解答】菱形对角线相互垂直，即∠AOB=90∘，根据数量积的定义，BA⋅BO=1=|BO|⋅(|BA|⋅cos∠ABO)=|BO|2，故BO=1，即cos∠ABO=12，又∠ABO为锐角，则故答案为：B

【分析】先根据数量积定义和已知条件BA⋅6．【答案】C【解析】【解答】设M(x，y)，则|MP|=x2+(y−4)2，结合关系式4y−x2=0由题知，曲线4y−x2=0(xy≥0)为抛物线在第一象限的部分以及原点，其焦点为R(0，1)根据抛物线定义，|NQ|+|NR|=|NQ|+|NG|，过Q作QH⊥准线，垂足为H，交抛物线于J，当N在运动时，结合下图可知，|NQ|+|NG|≥|QH|=4，当N运动到J(1，14)时取得等号，即|NQ|+|NR|的最小值为故答案为：C

【分析】对于d1可直接利用两点间的距离公式结合二次函数进行求解，对于d2可利用抛物线的性质，结合图象观察发现取得最值时的N的位置进行求解，可得7．【答案】B【解析】【解答】构造函数f(令f'(x)<0解得0<x<1所以f(x)=x−ln因为a=lna5+5，所以所以f(因为b=lnb4+4，所以所以f(因为c=lnc4+5，所以即f(因为f(x)所以f(5)所以f(c)>f(且a，b，c∈(0，故答案为：B.

【分析】构造函数f(8．【答案】A【解析】【解答】kx−y−kπ=0⇒k(x−π)−y=0，得直线过定点(π，0)，该点为f（x）＝sinx的对称中心，则x2=π，得x1−x又恰好有3个交点，则直线kx−y−kπ=0(k>0)为f（x）＝sinx在x=又kx则(x故答案为：A

【分析】求出直线恒过的定点，利用函数的导数求出切线方程，转化求解表达式的值，即可得答案.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】A.因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，所以函数是周期函数，周期T=2，故A正确；B.因为函数是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，且f(−1)=−f(1)，又函数是周期为2的函数，所以f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，f(2022)=f(1011×2)=f(0)=0，f(2023)=f(1011×2+1)=f(1)=0，所以f(2022)=f(2023)=0，故B正确；C.根据周期可知f(−2)=f(2)=f(0)=0，且f(−1)=f(1)=0，所以函数在区间[−2，2]上至少有5个零点，故C错误；D.因为函数周期为2的奇函数，所以f(x)=−f(−x)，且f(x)=f(x+2)，所以f(x+2)=−f(−x)，所以函数f(x)关于点(1，故答案为：ABD

【分析】求出函数的周期判断A；求出函数的值判断B；函数的零点个数判断C；函数的对称性判断D.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A选项，S6对于B选项，因为a1+a对任意的n∈N∗，由an+1上述两个等式作差可得an+2所以，数列{an}中的奇数项成以1数列{an}中的偶数项成以1当n为奇数时，设n=2k−1(k∈N∗)当n为偶数时，设n=2k(k∈N∗)综上所述，an对于C选项，a3−a对于D选项，当n为奇数时，设n=2k−1(k∈N∗)则S=2[1+3+⋯+(2k−1)]−(2k−1)==2×(故答案为：ABD.

【分析】利用并项求和法可判断A，D；利用等差数列的定义可判断B，C.11．【答案】B,C【解析】【解答】因为f(x)=xex，其中x∈R，则f'对于A选项，f'(x)=(x+1)ex，由所以，函数f(x)的减区间为(−∞，对于B选项，对∀x≠0，令h(x)=f(x)h'(x)=ex−1，由h'(x)<0所以，函数h(x)在(−∞，0)上单调递减，在所以，∀x≠0，h(x)>e对于C选项，∀x∈R，令p(x)=f(x)+1−g(x)=xe当x≤0时，ex≤1，则当x>0时，ex>1，则故∀x∈R，f(x)+1≥g(x)，C对；对于D选项，F(x)=f(x)−g(x)=xex−x−1，其中x∈R令t(x)=(x+1)ex−1，当x≤−1时，e故函数F(x)在(−∞，当x>−1时，t'(x)=(x+2)e故函数F'(x)在(−1，故答案为：BC.

【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数研究函数h(x)=f(x)12．【答案】A,C【解析】【解答】以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、对于A选项，D1(0，2，2)、D1M=(1，−2，−2)对于B选项，因为D1C1所以，以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以点C故交线长为12对于D选项，易知点B1(2，0，2)、设平面D1MN的法向量为n=(x，y则n⋅MN=x+y=0n⋅B1D1设直线B1D1与平面D1MN所以，cosθ=1−si因此，D1B1与平面D对于C选项，设平面D1MN交棱AA1于点E(0，因为ME⊂平面D1MN，所以，ME⋅n=−2+3t=0同理可知，平面D1MN交棱CC由空间中两点间的距离公式可得|D同理可得|ME|=|NF因此，平面D1MN截正方体所得的截面为五边形其周长是2+2×(故答案为：AC.

【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量法可判断A、D选项；分析可知以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以点C13．【答案】π【解析】【解答】由图可知，函数f(x)的最小正周期为T=4×(2π3−因为f(2π3)=sin(所以，2π3+φ=π2，可得因为A为锐角，则0<A<π2，则−π所以，A−π6=故答案为：π3

【分析】由图像可求得函数f(x)的解析式，由A的取值范围以及f(A)=114．【答案】-1≤k≤1【解析】【解答】圆C的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=8由勾股定理可知，圆心C到直线x+2y−5k=0的距离为d=r由点到直线的距离公式可得d=|−5k|故答案为：-1≤k≤1.

【分析】利用勾股定理可得出圆心C到直线x+2y−5k=0的距离d的取值范围，利用点到直线的距离公式可得出关于k的不等式，求解可得实数k的取值范围.15．【答案】9【解析】【解答】不妨设P点的运动速度为1，则Q点的运动速度为12，运动时间为t以A为坐标原点，AB，AD正方向为①当t∈(0，2]时，P(t，此时AP⊥AQ恒成立，∴AP②当t∈(2，4]时，P(0，∴AP则当t=4时，(AP③当t∈(4，6]时，P(6−t，∴AP则当t=5时，(AP④当t∈(6，8]时，P(0，∴AP⋅AQ综上所述：AP⋅AQ的最大值为

【分析】设P点的运动速度为1，则Q点的运动速度为12，运动时间为t，以A为坐标原点，AB，AD正方向为x，y轴，可建立平面直角坐标系，分别在t∈(0，2]，t∈(2，4]16．【答案】(π3【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为α，在双曲线x24−y212=1中，a=2若直线AB与x轴重合，则直线AB与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意，所以，直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+4，设点A(x1，联立x=my+43x2由题意可得3m2−1≠0由韦达定理可得y1+yx1+xx1x2所以，−33当−33<m<0时，tan当m=0时，AB⊥x轴，此时α=π当0<m<33时，tanα=综上，π3不妨设点A在第一象限，则∠AF设圆O1切AF1、AF2、F1F过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为(由切线长定理可得|AM|=|AN|，|F1M|=|所以，|A=|F2N|+|F2G|=2|F故点O1的横坐标也为2，同理可知点O2的横坐标为2，故故圆O1和圆O2均与x轴相切于G(2，0)，圆在△O1O2F∴∠GO1F2=∠所以，|O1G|所以|F即(c−a)2=r由直线AB的倾斜角取值范围为(π3，2π3则∠O故r1则S1+S令f(x)=x+16x，其中x∈(43，12)，则因为f(4)=8，f(43)=f(12)=403故S1故答案为：(π3，

【分析】分析可知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x=my+4，将直线AB的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出m的取值范围，可求得∠AF2O的取值范围；设圆O1切AF1、AF2、F1F2分别于点M、N、G17．【答案】（1）解：∵f(x)=sin令−π2+2kπ≤2x≤∴f(x)的单调增区间为[−π（2）解：∵f(B+π6)=∵B∈(0，π2)，∴2B+π由余弦定理得：cosB=a2+c∴△ABC的面积S=1【解析】【分析】（1）利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简可得f(x)，根据正弦型函数单调区间的求法可求得函数f(x)的单调增区间；

（2）根据f(B+π6)=−1218．【答案】（1）证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC．因为∠ABC=45∘，AB=2，由余弦定理可得AC所以AC2+B又BC∩PC=C，BC、PC⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC．因为CE⊂平面PBC，所以AC⊥CE．（2）解：因为PC⊥底面ABCD，AC⊥BC，以点C为原点，CB、CA、CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系，则C(0，0，0)、B(2，0，0)因为PC⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为u=(0由题意可得|cos<CE易知平面PAC的一个法向量为m=(1设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)由n⋅CA=2y=0因为cos<由图可知，二面角P−AC−E为锐角，故二面角P−AC−E的余弦值为63【解析】【分析】(1)证明出AC⊥平面PBC，利用线面垂直的性质定理可证得AC⊥CE；

(2)以点C为原点，CB、CA、CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设P(0，0，19．【答案】（1）解：设等差数列{an}由题意得S3=3a故数列{an}因为：Tn=2bn−n两式相减得bn又n＝1时，b1=T1=2因为bn+1=2bn+1即bn+1所以{bn+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，b（2）解：当k＝2m，m∈N*时，当k＝2m－1，m∈Na所以k=1==1+2+3+⋯+99+100=5050．（3）证明：由1可得i=1＝1−因为2n+1−1≥2所以23【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量求出等差数列{an}的通项公式，根据Tn-Tn-1找到数列{bn}的通项公式，然后再求出20．【答案】（1）解：由题意可得，y=80t−(48+7x+50t)+x=30t−48−6x=30k(7−=210k−所以A公司生产防护服的利润y（万元）与补贴x（万元）的函数关系为：y=210k−420kx+4−6x−48（2）解：由题意可知，问题可转化为y≥0对所有的x∈[即210k−420kx+4−6x−18≥0即k≥(令t=x+2，则t∈[此时(x+1令f(t)=t+任取2≤t1=(t1当2≤t1<t2当23≤t1