江西省萍乡市2023届高三上学期理数期末考试试卷

江西省萍乡市2023届高三上学期理数期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二四总分评分一、单选题1．设集合A={−1，0，A．{1，2} B．[12，2] 2．已知i为虚数单位，则复数11+iA．-1 B．0 C．1 D．23．在各项均为正数的等差数列{an}中，aA．−1或2 B．2 C．1或−2 D．14．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．m⊥n，n⊂α，则m⊥αB．m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nC．若m//α，m⊥n，则n⊥αD．若m⊥α，m//β，则α⊥β5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p；“乙得第二”为命题q；“丙得第三”为命题r.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，(¬p)∧r为假命题，则下列说法一定正确的为（）A．甲不是第一B．乙不是第二C．丙不是第三D．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6．在二项式(a−2x)6的展开式中，若xA．−1 B．1 C．34 D．7．函数y=kx与y=lnx的图象有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为（）A．k=1 B．k=1e C．k=1e或k≤0 8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同.谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次.如图，进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如图，从正方形ABCD内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．19 B．1781 C．299．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f'(x)是其导函数.当x≥0时，f'(x)−x²A．[−2，+∞) B．[−2，2] C．[2，10．点M为抛物线y2=8x上任意一点，点N为圆x2+y2−4x+3=0A．2 B．2 C．3 D．2+11．已知函数f(x)=ax+lna，A．(e，e2] B．(e二、多选题12．下列关于函数f(A．函数f(B．函数f(x)C．函数f(D．函数f(x)三、填空题13．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，已知角α终边过点P(−2，1)，则sin2α=14．在平面直角坐标系中，向量a，b满足a=(1，1)15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，16．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则PA⋅PB的取值范围为四、解答题17．记Sn为数列{1（1）求数列{a（2）求数列{an⋅18．如图在五面体ABCDE中，△ABC为等边三角形，平面ABC⊥平面ACDE，且AC=2AE=2DE=2，∠DEA=∠EAC=90∘，F为边（1）证明：DF//平面ABE；（2）求EF与平面ABE所成角的正弦值.19．甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为p(0<p<1)，两人答每道题都相互独立，答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得（1）若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为f(p)，求f(p)的最大值和此时乙答对每道题的概率p0（2）以（1）中确定的p0作为p的值，求乙在第二轮得分X20．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的△ABC的顶点，A(−3（1）求椭圆E的标准方程；（2）椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点P(m，2)(m∈R，m≠0)，21．已知函数f(x)=a（1）若a=0，求f(x)（2）若f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：θ=（1）写出曲线C2的直角坐标方程，并求出θ（2）求1|OP|23．已知函数f(x)=−a|x−1|+b(a>0，（1）求实数a，b满足的关系式；（2）若对任意x∈R，不等式f(x)

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】当x=−1时，y=1当x=0时，y=1，当x=1时，y=2，当x=2时，y=4，所以B={所以A∩B={故答案为：A

【分析】先求出集合B={2．【答案】B【解析】【解答】因为11+i所以实部与虚部之和为12故答案为：B.

【分析】根据复数除法运算可得11+i3．【答案】B【解析】【解答】由题意可得(a3即a所以(d+1)由题意an>0，则d>0所以d+1=a2故答案为：B

【分析】由题意可得出(a3+1)4．【答案】D【解析】【解答】由题意可知，在A中，若m⊥n，n⊂α，则m与α相交或平行或m⊂α，A不符合题意；在B中，若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//n或m与n异面，B不符合题意；在C中，若m//α，m⊥n，则n与α相交或平行或m⊂α，C不符合题意；在D中，若m⊥α，m//β，则平面β内存在一直线平行于m，该直线垂直于平面α，则α⊥β，D符合题意.故答案为：D.

【分析】依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理逐项进行判断，可得答案.5．【答案】C【解析】【解答】∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴命题p与命题q中，恰有一个为真命题，另一个为假命题；（1）若命题p：“甲得第一”为真命题，命题q：“乙得第二”为假命题，则甲得第一，乙未得第二，∴乙得第三，∴命题r：“丙得第三”为假命题，此时(¬p)∧r为假命题满足题意，前三名的顺序为：甲得第一，丙得第二，乙得第三；（2）若命题p：“甲得第一”为假命题，命题q：“乙得第二”为真命题，则乙得第二，甲未得第一，∴甲得第三，∴命题r：“丙得第三”为假命题，此时(¬p)∧r为假命题满足题意，前三名的顺序为：丙得第一，乙得第二，甲得第三.对于A，第（1）种情况中，甲得第一，满足题意，A说法不正确；对于B，第（2）种情况中，乙得第二，满足题意，B说法不正确；对于C，（1）、（2）两种情况中，丙均不是第三，C说法正确；对于D，（1）、（2）两种情况中，存在两种不同顺序，故根据题设不能确定甲、乙、丙的顺序，D说法不正确.故答案为：C.

【分析】p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定命题p与命题q中，一真一假，再结合命题内容，进行辨析即可.6．【答案】A【解析】【解答】因为二项式(a−2x)6的展开式的通项为T所以x3的系数为C故答案为：A.

【分析】利用(a−2x)6的展开式的通项公式Tr+1=7．【答案】C【解析】【解答】解：当k≤0时，在同一坐标系中，作出y=kx与y=lnx的图象，如图所示：由图象知：函数y=kx与y=lnx的图象有且只有一个公共点，当k>0时，令f(x)=kx−lnx，则当0<x<1k时，f'(x)<0，当所以f(x)在(0，1k所以当x=1k时，f(x)取得最小值因为函数y=kx与y=lnx的图象有且只有一个公共点，所以f(1解得k=1综上：实数k的取值范围为k=1e或故答案为：C

【分析】当k≤0时，在同一坐标系中，作出y=kx与y=lnx的图象判断；当k>0时，令f(x)=kx−ln8．【答案】B【解析】【解答】解：设大正方形的边长为9，则每个小正方形的边长为1，则大正方形的面积为9×9=81，则每个小正方形的面积为1，则所有黑色正方形的面积之和为3×3+8=17，则该点取自阴影部分的概率为P=17故答案为：B.

【分析】设大正方形的边长为9，分别求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．9．【答案】C【解析】【解答】设g(可得g因为当x≥0时，f'所以g(x)又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)所以g(x)在R上递增，又因为f(2)=3，所以g(则f(x)≥13(所以x≥2，即f(x)≥13(故答案为：C.

【分析】构造函数g(x)=f(x)10．【答案】A【解析】【解答】如图所示：由y2=8x知，抛物线焦点由x2+y即为以(2，又ax−y−a−1=0，得y=a(x−1)−1，恒过定点(1，过点M作ME垂直于抛物线的准线：x=−2交于点E，连接PE，则|MP|+|MN|≥|MP|+|MF|−1=|MP|+|ME|−1≥|PE|−1，当P，M，所以|MP|+|MN|的最小值为：3−1=2，故答案为：A.

【分析】数形结合，找出抛物线焦点，化简圆的普通方程为标准方程，结合抛物线定义以及共线性质分析得出最值.11．【答案】D【解析】【解答】显然a>0，由f(x)>g(得eln令y=ex+x，x>0所以函数y=ex+x所以eln(ax)+ln(ax)>ex所以关于x的不等式a>exx令g(x)令g'(x)>0，得x>1所以g(x)在(因为关于x的不等式a>exx结合图形可知，满足题意的整数解只能是1和2，所以g(2)故答案为：D

【分析】将f(x)>g(x)化为eln(ax)+ln12．【答案】B,C,D【解析】【解答】因为f(−x)所以f(x)为偶函数，又f因为f(所以函数f(x)因为f(所以函数f(x)故答案为：BCD

【分析】由f(−x)=f(x)13．【答案】−【解析】【解答】由三角函数的定义可得cosα=−2(−2)由二倍角的正弦公式可得sin2α=2故答案为：−4

【分析】由三角函数的定义可得出cosα=−255，14．【答案】0【解析】【解答】因为a=(1，1)，2所以b=(−1故答案为：0

【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求出b=15．【答案】3【解析】【解答】由△ABC的周长为7，即a+b+c=7，则a+b=7−c由ab+8c=28，可得ab=28−8c由余弦定理可得：cos由0<C<π，则sinC=又S=12又ab=28−8c=4，解得c=3故答案为：3

【分析】由条件根据余弦定理可得出cosC=−18，求出sin16．【答案】[0【解析】【解答】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF中，设四面体内切球球心为O，

内切球半径为r，取EF中点为G，则DG=1−14=3因为VC−DEF所以13S△DEF因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以r≤PO≤CO，即612因为PA⋅因为AB为球O的一条直径，所以OA=−所以PO2因为612≤PO≤6所以0≤PO故答案为：[0，

【分析】利用等体积法求出内切球的半径r=612，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得61217．【答案】（1）解：由an⋅S当n≥2时，Sn−1由（1）−（2）得1ana当n=1时，a1所以a（2）解：设bn=T则3两式相减得−2=3+2×所以T【解析】【分析】（1）由题意得到Sn=n(2n−1)an，Sn−1=(n−1)(2n−3)an−1，然后两式相减并化简可得18．【答案】（1）证明：取线段AC的中点O，连接OD、OF，∵O、F分别为AC、BC的中点，则OF//AB，∵OF⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴OF//平面ABE，在侧面ACDE中，∠DEA=∠EAC=90∘，则DE//AC，即又因为AO=12AC=DE，所以，四边形AEDO∵OD⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴OD//平面ABE，∵FO∩OD=O，FO、OD⊂平面ODF，所以，平面ODF//平面ABE，∵DF⊂平面ODF，∴DF//平面ABE.（2）解：因为四边形AEDO为平行四边形，∠EAO=90所以，四边形AEDO为矩形，则DO⊥AC，因为平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE=AC，DO⊥AC，DO⊂平面ACDE，∴DO⊥平面ABC，连接OB，因为△ABC为等边三角形，则OB⊥AC，以点O为坐标原点，OB、OC、OD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0，−1，0)、B(3设平面ABE的法向量为m=(x，y，z)则m⋅AB=3x+y=0因为EF=(32因此，EF与平面ABE所成角的正弦值为34【解析】【分析】（1）取线段AC的中点O，连接OD、OF，证明出平面ODF//平面ABE，再利用面面平行的性质可证得结论成立；

（2）连接OB，证明出DO⊥平面ABC，OB⊥AC，以点O为坐标原点，OB、OC、OD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，EF=(32，32，−1)，求出平面19．【答案】（1）解：因为乙答对每道题的概率均为p(0<p<1)，所以，乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为f(p)=C32f'(p)=6p−9p2=3p(2−3p)当0<p<23时，f'当23<p<1时，f'所以，f(p)max=f(（2）解：由题意可知，随机变量X的可能取值有5、0、10，X=5表示甲抢到且甲答错，X=0表示甲抢到且甲答对或乙抢到且乙答错，X=10表示乙抢到且乙答对，所以，P(X=0)=12×13所以，E(X)=0×5【解析】【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可得f(p)=3p2−3p3，求导f'(p)=6p−9p2=3p(2−3p)，利用导数研究f(p)的单调性，从而得到f(p)max=49，及最大值点p20．【答案】（1）解：由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，所以设椭圆方程为x2a2所以△ABC周长为4a=8，即a=2，a因为左焦点A(−3，0)，所以c=3所以b2所以椭圆E的标准方程为x（2）证明：由题意知，M(0，1)，所以直线PS：y=xΔ=64m2＞0则xS+xM=同理xT=24m所以kST所以直线ST方程为：y=12−所以直线ST过定点，定点坐标为(0【解析】【分析】（1）根据椭圆定义直接求解即可；

（2）求出S，T的坐标，写出直线ST方程为y=12−m221．【答案】（1）解：当a=0，令f'(x则当x∈(0，e2故f(x)（2）解：由题意可得ax令g(x当a≤0时，g'(x)<0当a>0时，设h(x)=aeh(1a)=a所以存在x0∈(0，因为h'(