沪科版数学七年级下册第六章实数

沪科版数学七年级下册

第六章实数

一、知识总结

(-)平方根与立方根

1、平方根

(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做

二次方根。

(2)表示：非负数a的平方根记作土6，读作"正负根号a”，(a叫做被开方数)

(3)性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0;负数的没有平方根。

(4)开平方：求平方根的运算叫做开平方。

【、平方根是开平方的结果；II、开平方与平方互为逆运算。

2、算术平方根

(1)定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。

(2)性质：(1)一个数a的算术平方根具有非负性；即：、石，。恒成立。

(2)正数的算术平方根只有1个，且为正数；。的算术平方根是0；

负数的没有算术平方根。

3、立方根：

(1)定义：一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，也叫做

三次方根。

(2)表示：a的立方根记作通，读作“三次根号a”(a叫做被开方数，3叫根指数)

（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。

（二）实数

1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）

2、实数：有理数和无理数统称为实数。

3、实数分类：（1）按定义分（略）（2）按正负性分（略）

4、实数与数轴上的点一一对应。

5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）

6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零

可以进行开平方运算，仟意一个实数可以讲行开立方运算，而且有理数的运算法则和运

算律对于实数仍然适用。

7、实数大小：（1）正数＞0＞负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值

小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。

实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法.....

二、解题实用

1、V2«1.41421行=1.732石=2.236

疗=储［=

3、Va=4ab("0)

三、典题练习

1、J布的平方根是；（-3）2的算术平方根是；-3?的立方根是

2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是；如果一个

有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是O

3、一个自然数的算术平方根是X,则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是<

4、下列各数中一定为正教的是（填序号）

①X②Jx+1③X?④Vx+1⑤Vx+1

5、当穴-1时-，X2,-x,-x，和L的大小关系

X

6、比较下列各组数的大小

(1)2・6与2・0⑵1g与V7(3)3石与WH⑷会与一；

7、J7-、后的绝对值为,相反数为,倒数为

8、已知|x|=3,y为4的平方根，xy<0,求x+y的值。

9、已知Jx+3+Jy-2=0,求x?+y的平方根。

10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5,则这个数是。

11、a为行的整数部分，b为行的小数部分，则a+2b的值为

12、若|2011-a|+Ja・2012=a,试求@-201产的值.（提示：找出题中的隐含条件）

（一）不等式及其性质

1、不等式：

（1）定义用“V"（或"W”），“>”（或“2”）等不等号表示大小关系的式子，叫做

不等式.用表示不等关系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解

集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。

不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，

是所有解的集合，而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。

二者的关系是：解集包括解，所有的解组成了解集。

（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2、不等式的基本性质

性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

即：如果那么a±c>）±c.

性质2：不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即：如果a>〃，并且c>0,那么ac>〃c；—>—.

cc

性质3：不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

ah

即：如果a>〃，并且c<0,那么acvAc；—<—.

cc

性质4：如果a>〃，那么b<。.（对称性）

性质5：如果a>〃，b>c,那么a>c、.（传递性）

（二）一元一次不等式

1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1,且不等号两边都是整式的不等式，

叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法:

根据是不等式的基本性质；一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；

（4）合并同类项；（5）系数化为1.

解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②

移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④

在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式组

1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不

等式组

2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）

不等式组的解集。

3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

4、一元一次不等式组的解法

1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况:

不等式组（avb）解集口诀记忆

[X>Cl

x>/?同大取大

1jcvaX<67同小取小

[xa<x<Z?大小小大中间找

x.va无解大大小小则无解

（四）一元一次不等式（组）解决实际问题

解题的步骤：

⑴审题，找出不等关系T⑵设未知数一（3）列出不等式（组）T

⑷求出不等式的解集T⑸找出符合题意的值一⑹作答。

二、解题技巧

一、有解无解问题：

Jx>d（有解：a<b，应a，有解：d<h

（1）\x<b无解：akb（2）lx<Z?-I无解：a>b

Jx>fl，有解：a</?

（3）L幼0I无解：a>b

2、特征解问题：

解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m）当作已知数，去解原式----►得

到原式的解（含m）----►根据解的特征列出式子（关于m的式子）-----►解出m的值。

例：已知a十XN2JV十1的解集为xWl,求a的值。

解：解不等式a+x之2戈+1....把a当作已知数，去解原式

得xW。—1.....得到原式的解（含a）

则a-1=1.....根据解的特征列出式子

解得a=2.....解出a的值

三、典题练习

1、若关于X的不等式1壮2〃?-1有解，则m的取值范围是？若无解呢？

J2x+,=l—，〃

2、已知关于x,y的方程组限+2产2的解满足x+y>0,求m的取值范围。

3、适当选择a的取值范围，使1.7Vx<a的整数解:

(1)x只有一个整数解；(2)x一个整数解也没有。

4、解不等式（组）

2x-5<3x,2+4x>3x-7,3x-32x+1

(1)幺x-2x(2)•6x-3>5x-4,(3).23

------->—•

233x-7<2x-3.—[x—2(x+3)]<1.

(…63⑸广"干+L

5、若勿、〃为有理数，解关于x的不等式（一/?/—l）x＞刀.

6、已知关于gy的方程组13"+2'="+1，的解满足1>八求夕的取值范围。

4x+3y=p-\

fx-Z?<0

7、已知关于x的不等式组12.1.425的整数解共有3个，求b的取值范围。

8、已知力=2/+3X+2,B=2X-4X-5,试比较力与4的大小。

3x-4>a/

9、已知a是自然数，关于x的不等式组《y的解集是x>2,求a的值。

x-2>0

10、某种商品讲价为150元，出售时标价为225元，由于储售情况不好，商品准备降价出售,

但要保证利润不低于10%,那么商店最多降价多少元出售商品？

11、某零件制造车间有2。名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件

5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这

20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。

(1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y。

(2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?

12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42廓

客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。

(1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱？

(2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省

租金，请选择最节省的租车方案。

第八章整式乘除与因式分解

一、知识总结

(一)募的运算：

1、同底数基乘法：同底数'幕相乘，底数不变，指数相加。

2、同底数嘉除法：同底数幕相除，底数不变，指数相减。

3、舄的乘方：幕的乘方，底数不变,指数相乘。(")=暧"

4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。(ah)"=ambm

注：(1)任何一个不等于零的数的零指数森都等于1;«°=1。工0

(2)任何一个不等于零的数的-p(p为正整数)指数寐,

1

等于这个数的P指数幕的倒数。L二

a1

（3）科学记数法：c=±〃xl0"或c=±4xl（r（l<a<10）

绝对值小于1的数可记成土axlO"的形式，其中n是正整数，n等于原

数中第个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的•个零）。

（二）整式乘法：

1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数累分别相乘，作为积的因式；对于

只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的--个因式。

2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别

相乘，再把所得的积相加。

3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一

个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。

（三）、完全平方公式与平法差公式

1、完全平方公式：（a+Z?Y=〃2+2ab+。？（a-Z?）2=a2-2ab-\-b2两个数的和（或

差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。

2、平法差公式：a2-b2=（a+b\a-b）两个数的平方之差等于这两个数的和

与这两个数的差之积。

（四）、整式除法

（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数累分别相除，作为商的因式：对

于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

(2)多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这

个单项式再把所得的商相加。

(五)、因式分解

1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项

式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

(1)提公因式法

(2)公式法：运用完全平方公式和平法差公式

(3)对于二次三项式的因式分解的方法：

1)配方法，2)十字相乘法：公式x1+(a+b)x+ah=(xA-a\x+h)

例：将f+4x+3因式分解。

方法一：配方法：原式二f+4汇+4・4+3=(x+2)2-l=(x+lXx+3)

方法二：十字相乘法：X2+4X+3=(X+1)(X+3)

(4)分组分解法

3、分解因式的技巧：

(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；

(2)因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁

(3)变形技巧：

①符号变形II、当n为奇数时，(X・»=・()，・6”

in、当n为偶数时，(x・yy=()，・。

②增项变形：

例：4x4+14x44-1+4x2-4x2-^(4X4+4X2+1)-4X2—...

③拆项变形：

^Ijx?+2x2-l-^x3+x2+x2-]-3+工2)+31).工2(工+1)+(工-“(+1).

二、典题练习

1、计算题

⑴(a・2b)2・(2。・垃⑵(2x)37⑶卜心丫⑷a$./，”

⑸(3x1O'y+(3]()3)⑹(x+2»-5-(-X-2J)3x(x+2y)2

2、快速计算：(1)103x97(2)1022(3)992

3、2m=4,4"=16,求22m-〃的值。

4、如果2mh2〃=64成立，那么m=,n=。

5、在括号内填上指数和底数

(1)(8邛=2()⑵的=()2

6、化简求值：已知x?-2i=3,求(x-iy+(x+3)(x-3)+(x-3Xx-l)的值。

7、己知2x+5y=4,再求4、-32、的值。

8、已知a+b=3,ab=-5,求代数式的值:(1)a2+/?2(2)(a-b)2

9、因式分解：1)x3+2x2-5x-62)x1-y2+ax+ay3)a4+4Z?4

10、比较9999x9993与99962的大小。

)2m+n=6

11、不解不等式组，求-2(3〃-昉的值。

第九章分式

一、知识总结

（一）分式及其性质

1、分式

（1）定义：一般的，如果a,b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子色叫做分

b

式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。

（2）有理式：整式和分式统称为有理式。

（3）分式=0=分子=0,且分母W0（分式有意义，则分母W0）

（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。

2、分式的性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同•个不等于零的整式，分式的值不变

即：-=—=^22^（a,b,ni都是整式，且mHO）

bb-mb+m

分式的性质是分式化简和运算的依据。

3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。

注：约分的结果应为最简分式或整式。

约分的方法：

1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，

再找相同字母最低次辕；

2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。

（二）分式运算

1、分式的乘除

1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：-x-=—

bdbd

2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即

2、分式的加减

1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：-±-=—（bwO）

bbb

2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，

a,cad,bead±be

即an：一土一二—土一=--------(bdH0)

bdbdbdbd

（三）分式方程

1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解法：

1）基本思路：分式方程本巴＞整式方程

2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。

3）一般步骤：分式方程通过转化方”＞整式方程——＞解整式方程——＞检验

注：检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。

（四）分式应用

列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题一设未知数，找等量关系—列方程

T检验（①是否有增根，②是否符合题意）一得出答案

二、分式解题中常用的数学思想和技巧

1、已知L+＞L=5,求2-3芽+2），的值。（整体思想、构造法）

xyx+2xy+y

2、已知土=9,求3x：-5p+2）：的值。（整体思想、构造法）

），32必+3孙-5）2

,.xbc

3、已知abc=1,求---------+---------+---------的值。

1+U+QZ?\-^b+be\+c+ca

,111111II1卜abc

4、已知一H-=—>—F-=—>—I—=—，求-----------

ab6bc9ca15ab-i-be+ac

（先得到"!■+?+■!■的值，然后按第1题方法做）

ahc

211

r+11.

5、已知^—=4,求f+r的值。（z提K：-----=x+—）

XXXX

h+cc+aa+b-abc

6、已知==,的值。（提示：参数法）

b(6/+b\h+c\ci+c)

xX

7、已知一;-------=1,求一1-—的值。（倒数求值法）

x~-x+1X+x~s+\

8、已知,d_5x+l=(),求/+二■的值。(提示：由丁-5工+1=()得］+—=5)

XJV

U2c22

9、已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求十"'一二，的值。

2x2-3y-10z2

(提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数)

2OO23-2X2OO22+1

10、计算：算(提示：用字母代替数)

20023+20022-3X2002-2

1124

2)（提示：局部通分）

ITr1+x2l+x4

c、x+2x+3x-4x-5r+2I

3)------------------------+------（提示：假分式可先变形上'=1+」一）

x+1x+2R-3JV-4JC+1X+1

三、典题练习

1、如果分式上1」x1一-5的值为（），那么x的值是________

x+5x

2、在比例式9:5=4:3x中,x=

3、计算：-----F------

1+X1-X

4、当分式一二与分式、…一的值相等时,x须满足

x-1x2-l

5、把分式2'12）'中的x,y都扩大2倍,则分式的值___________。（填扩大或缩小的倍数）

工一》

6、下列分式中，最简分式有个。

a3x-ym2+n2in+\a2-2ab+b2

菽=一2"一从

1_4

7、分式方程--的解是________

x-37+3~x2-9

22

8、若2x+y=0,则厂,丹+，的值为__________。

Ixy-x~

9、当X为何值时，分式)2—1有意义?

x~-x—2

x2-1

10、当工为何值时，分式Y」的值为零？

X2-X-2

2x+\

11、已知分式-----：当产________时，分式没有意义；当乂=时，分式的值为0；

x—2.

当x=-2时，分式的值为。

12、当,____________时，关于x的方程生士=3的解是x=l。

a-x4

13、一辆汽车往返于相距akm的甲、乙两地，去时每小时行mkm,返回时每小时行nkm,

则往返一次所用的时间是o

14、某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(b<a).若只由男生完成，每人需植树15

棵；若只由女生完成，则每人需植树棵。

15、当__________时，分式上的值与分式如业的值互为倒数。

x+11+5

r_Q1

16、若方程------------=8有增根，则增根是。

x-71-x

…e。22a+〃.%口

17、若一=一,则nil------的值是。

b3b------------------------

2

18、已知。2-34+1=0,求/一的值。

1+1

19、已知x+1=3,WOx2+-V=。

xr

cc-1“।1ce-2x+3孙一2y

20、已知-----=3,则分式--------——-=_______________o

xyx-2xy-y

21、化简求值.

（1）（i+—!—）4-（1——!—）,其中x=一■!■；

x—1x—12

1-r31

（2）,——2+^）,其中x=±。

x~—2+xx+22

22、解方程:

10523x+3

（1）-----+-----=2~

2x—1I—2.xX+Ii"—X2-]7

23、已知方程2-二1"=1+」一,是否存在相的值使得方程无解？若存在，求出满

XX"-X%-1

足条件的根的值；若不存在，请说明理由。

24、若土=2=工，且3x+2y-z=14求x、y>z的值。

235

25、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这

里要比购物中心每盒便宜0.5元.因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用

2

去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多一，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？

5

第十章相交线、平行线与平移

一、知识总结

(一)相交线

1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。

对顶角性质：对顶角相等

2、垂直：

(1)定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线

相互垂直。记作A8_LCQ；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的

垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。

注：1)垂直是相交的一种特殊的情况；

2)两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。

(2)性质：在同一平面内,过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。

3、点到直线的距离：直线外一点到这条国线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。

在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。

4、垂线的画法：略

（二）平行线

1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB〃CD“

在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。

2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。

3、性质：

基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。

其他性质：①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；两直线位置关系」^今角的关系

③两直线平行，同旁内角互补。

4、平行判定：①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；角的关系两直线位置关系

③同旁内角互补，两直线平行。

5、平行线的画法：略

（三）平移

1、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。

2、性质：1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行

(或在同一直线上)且相等；

2)平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。

3、确定平移的要素：1)方向；2)距离。

二、典题练习

1、如图所示，下列判断正确的是()

(1)(2)(3)(4)

A、图⑴中N1和N2是一组对顶角B、图⑵中/I和N2是一组对顶角

C、图⑶中N1和N2是一对邻补角D、图⑷中/I和N2互为邻补角

2、下列说法中正确的是'：)

A、有且只有一条直线垂直于已知直线;

B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；

C、互相垂直的两条直线一定相交；

D、直线C外一点A与直线。上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm,则点

A到直线c.的距离是3cm。

3、如图，下列说法错误的是()

A.NA与NC是同旁内侑B.Z1与N3是同位角

C.N2与N3是内错角D.N3与NB是同旁内角

A

c5

4、；第3题图四个汽车标志图£第6题图,变换来分析其形月第7题图!（）

A.B.C.D.

5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐

弯的角度是（）

A.第一次右拐50°,第二次左拐130°B.第一次左拐50°,第二次右拐50°

C.第一次左拐50°,第二次左拐130°I）.第一次右拐50°,第二次右拐50°5、

6、如图，已知N1=60°,如果CD〃BE,那么NB的度数为。

7、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①N1=N2；②N3=N6；③/4+

N7=180°；④N5+N8=180°.其中能判断a〃b的条件是。（填序号）

8、如图，当剪刀口NA0B增大21°时，NCOD增大。

9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图，N1=UO°,则N2二

10＞如图，由三角形ABC平移得到的三角形共有个。

第8题图第9题图第10题图

11,如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则21-

12、已知：如图，ZBAP+ZAPD=180°,Z1=Z2O试说明NE=N厂。

13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N•分别是位于公路AB

两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最

近，请你在AB上分别画出P,Q两点的位置。

A----------------------B

N

14、如图所示，已知AB〃CD,分别探索下列四个图形中NP与NA、NC之间的关系，请

你从所得的四个关系中任选一个加以说明。

⑴⑵⑶(4)

15、如图所示，一个四边形纸片ABC。，ZB=ZD=90,把纸片按如图所示折叠，使

点3落在4。边上的"点，AE是折痕。

(1)试判断EE与。C的位置关系；

(2)如果NC=130,求NA所的度

第十一章频数分布

一、知识总结

(一)频数与频率

1、概念：一般地，如果一组数据共有n个，而其中一类数据出现m次，那么m就叫做

该类数据在该组数据中出现的频数；而则称为该类数据在该组数据中出现的频率。

2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图）

(1)整理数据的步骤:

1)计算这批数据的极差（极差;最大值-最小值）

2)决定组