沪科版 数学 九年级上册 全册教案

21.1二次函数

i.掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)

2.能根据实际情况建立二次函数模型.(难点)

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为M米)，你能写出)，与

%之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的概念

［类型一］二次函数的识别

颐1下列函数哪些是二次函数？

(l)y=2T；(2)y=^7：

(3)y=2x(l+4x);(4)y=f—(1+x)2.

解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式不符合二次函数的定义，故不是

二次函数；(3)把•y=2x(l+4x)化简为)，=货+2¥,显然是二次函数；(4Xynx2—(1+x＞化简

后变为),=一2丫一1,它不是二次函数而是一个一次函数.

解：二次函数有(1)和(3).

方法总结:判定一个函数是否是二次函数常有三个标准:①所表示的函数关系式为整式;

②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2,且函数关系

式中二次项系数不等于0.

［类型二］根据二次函数的定义求待定字母的值

曲的如果函数y=(A:+2)xF—2是y关于x的二次函数，则2的值为多少?

解析：紧扣二次函数定义求解.注意易错点为忽视女+2手0.

吩—2=2,k=±2,

解：根据题意知一：.k=2.

攵+2W0,V-2,

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①②自变量最高次数为2的二次三项式or2

+bx+c.

［类型三］与二次函数系数有关的计算

画❸已知一个二次函数，当x=0时，y=0；当x=2时，y=g；当％=—1时，尸《

求这个二次函数中各项系数的和.

解析：

首先设二次函数的关系U解关于。也。•的三求二次函

数中各项

式^jy=ax2+bx+c(a方0)门元一次方程组

系数的和

解：设二次函数的表达式为尸加+加+必去。).把x=0,y=0；x=2,y=2'4=—1，

。=°，(1

y=孑分别代入函数表达式，得《碗+2方+c=z，解得｛b=o,所以这个二次函数的表达式为

々一8+c=g,lc=0.

.所以a+b+c=5+0+0=!，即这个二次函数中各项系数的和为£

方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一

般形式¥=加+以+《。金0).解决这类问题要根据x,y的对应值，列出关于字母a,b,c

的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a,b,c的值.

探究点二：建立二次函数模型

«□某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需

降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，若

设每件降价x元、每星期售出商品的利润为)，元.

(1)请写出y与工的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；

(2)当每件商品降价15元时，每星期售出商品的利润为多少元？

解析：根据题意可以知道：实际每件商用的利泗为(60—%—40),每星期售出商品的数

量为(300+20x),则每星期售出商品的利泗为.y=(60—x-40)(300+2Qr)元，化简，注意要求

由自变量k的取值范围.

解：(1)由题意,得：

y=(60—%—40)(300+20x)

=(20-x)(300+20x)

=-20x2+100x+6000,

自变量x的取值范围为0WxW20；

(2)把x=\5代入y=-20^+100x+6000得)，=3000(元)，即当每件商品降价15元时，

每星期售出商品的利润为3000元.

方法总结：销售利润=单件商品利润X销售数量；单件商品利润=售价一进价.

三、板书设计

概念：一般地，表达式形如），=泼+云+。

（。，b,c是常数，且aXO）的函数叫做

x的二次函数，其中x是自变量

2.二次函数的识别

二次函数＜

3.确定二次函数中待定字母的取值（范围）

4.求函数值

5.建立二次函数模型

、6.确定日变量的取值范围

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数

学建模的思想方法.

第21章二次函数与反比例函数

21.1二次函数

教学思路教学目标：

（纠错栏）1.能探索和表示实际问题中的二次函数关系；

2.知道什么是二次函数；

3.能根据实际问题确定自变量的取值范围.

教学重点：二次函数的概念.

预设难点：由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围.

☆预习导航☆

一、链接

1.矩形周长为40nb长为xm,则矩形的面积s=________.

2.出售成本为10元的某种文具盒，若每个售价x元，一天可出售(6-x)个，

那么一天的利润y=__________.

3.上面变量的关系是困数关系吗？

二、导读

1.上面列出的函数关系式有什么特点？

2.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其

中x是________,a是__________,b是___________»c是_____________.

3.如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是

☆合作探究☆

1.函数y=(m+2)/+(1n—2)x-3(m为常数).

(1)当m_________时，该函数为二次函数；

(2)当m_________时，该函数为一次函数.

2.一块长工100m、宽80m的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x

(m)的小路，这时草地面积为y(nO,求y与x的函数关系式，并写出自变

量的取值范围。

☆归纳反思☆

1.二次函数的解析式y=ax2+bx+c(a#0)有哪些特点？

2.上述概念中的a为什么不能是0?

教学思路

(纠错栏)3.对于二次函数y-ax2+bx+c中的b和c可否为0?若b_0,则y___________;

若c=0,则y=__________;若b=0,c=0,则y=______________.

☆达标检测☆

1.下列函数中哪些是二次函数？

(1)y=10r2(2)s=3-2t2y=(x+3)2-x2y=(x-l)2-2

2.如果函数y=kx2tkx+l是二次函数，则k的取值范围______

3.已知一个直角三角形的两直角边的和是10cm。若设其中一条直角边长为

xcmo,则面积s关于x的函数关系式是__________________。

4.某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为

x,求三月份销售额y与x之间的函数表达式。

21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数y=a“2的图象和性质

SB

i.正确理解抛物线的有关概念；（重点）

2.会用描点法画出二次函数y=or2的图象，概括出图象的特点；（重点）

3.掌握形如y=a?的二次函数图象的性质，并会应用；（难点）

4.通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力.

一、情境导入

我们都见过篮球运动员投篮，你知道篮球从出手到落入篮圈内的路线是什么图形吗？它

是如何画出来的？

我们把篮球从出手到落入篮圈内的曲线叫抛物线，你还能举出一些抛物线的例子吗？

二,合作探究

探究点一：二次函数旷=办2的图象

［类型一］画二次函数V=G2的图象

砸1在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①），=*；②③>=一3

/；④），=—2x2.根据图象回答下列问题：

（。这些函数的图象都是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？

（2）图象有最高点或最低点吗。如果有，最高点或最低点的坐标是什么？

解析：要画出已知四个函数的图象，需先列表，因为在这些函数中，自变量的取值范围

是全体实数，故应以原点0为中心，对称地选取X的值，列出函数的对应值表.

解:列表：

JT-4-3-2-101231

尸聂84.520.500.524.58

-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8

JT-2-1.5-1-0.500.511.52

y=2j^84.520.500.524.58

y=-2jrx-8-4.5-2-0.50-0.5-2—4.5-8

描点、连线，函数图象如图所示.

(1)这四个函数的图象都是轴对称图形，对称轴都是)，轴;

(2)函数y=2?和y=*的图象有最低点，函数尸一%和尸一"的图象有最高点,

这些最低点和最高点的坐标都是(0,0).

方法总结：(1)画形如y=a?(aW0)的图象时，x的值应从最低(或最高)点起左右两边对

称地选取.

(2)连线时，一般按从左到右的顺序将点连接起来，一定注意连线要平滑，不能画成折

线.

(3)抛物线的概念：二次函数)，=加3£0)的图象是抛物线，简称为抛物线y=以2.

(4)抛物线的特点：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点——对称轴与抛物线的交点.抛

物线的顶点也是它的最低点或最高点.

［类型二］同一坐标系中两种不同图象的判断

顺陶当ab＞0时，抛物线y=axr与直线y=ax-\-b在同一直角笆标系中的图象大致是

)

解析；根据〃的符号来确定.当心0时，抛物线)，=分2的开口向上.・.・他＞(),.・)＞().

.••直线)，="+匕过第一、二、三象限.当。＜0时，抛物线了二公2的开口向下.•••加＞0,:.

*0..,•直线y=ar+b过第二、三、四象限.故选D.

方法总结：本例综合考查了一次函数y=or+b和二次函数,，=加的图象和性质.因为

在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数国象所反映的。的符号

是否一致入手进行分析.

探究点二：抛物线)，=加的开口方向、大小与系数a的关系

［例❸如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y=a?；@y=bx21③y=G?；@y=dx2,

则a、b、c、d的大小关系为()

A.a>b>c>d

B.a>b>d>c

C.b>a>c>d

D.b>a>d>c

答案：A

方法总结：抛物线y=aF的开口大小由|㈤确定，越大，抛物线的开口越小；越小,

抛物线的开口越大.

探究点三：二次函数的图象与几何图形的综合应用

已知二次函数y=d3W0)与直线5=%一3相交于点A(l,b),求：

(1)4,6的值；

(2)函数丁=42的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另个交点B的坐标；

(3)Z\AMB的面积.

解析：直线与二次函数y=加的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，

一般应画出草图进行解答.

解：(1)・・•点A(l,与是直线y=2r—3与二次函数)，=纨2的图象的交点，.•.点4的坐标

满足二次函数和直线的关系式，

b=aXI2,{a=—\,

••4

**b=2Xl-3,e，b=-l；

(2)由(1)知二次函数为)，=—/,顶点M(即坐标原点)的坐标为(0,0).由一/=2x—3,

解得XI=1,X2=-3,工>1=-1,及=-9,・••直线与二次函数的另一个交点B的坐标为(一

3,-9)；

(3)如图所示，作AC_Lx轴，BOJLx轴，垂足分别为C、D,根据点的坐标的意义，可知

MD=3,MC=1,CO=1+3=4,BD=9,AC=1，；・SZMM8=S梯形八8。<:一5440/一5/3加=3乂

(l+9)X4-1x1Xl-|x3X9=6.

方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题.探究点四:

二次函数)，=底的性质

［类型一］二次函数v=，M的增减性

碉作出函数)，=—/的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：

(1)在)，轴左侧图象上任取两点4用，M),8(X2,丫2)，使必5<0,试比较yi与力的大小；

(2)在)，轴右侧图象上任取两点C(X3,券)，0(X4,闻，使X3>X4>0,试比较”与"的大

小.

解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法.

解：(1)图象如图所示，由图象可知

(2)由图象可知

方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物

线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误.

［类型二］二次函数、,=(1的最值

M0已知函数)，=(1一〃〃/+〃一4是关于x的二次函数，当"为何值时，抛物线有最

低点？并求出这个最低点的坐标.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？

层+斯一4=2,

解：•・•函数y=(l—〃)x"+〃-4是关于工的二次函数，・•・-解得〃=2或〃

1-〃子0.

=-3「・•抛物线有最低点，一心0,即〃vl.-3.，当G0时，y随x的增大而增大.

方法总结：抛物线有最低点或最高点是由抛物线y=加(*3))的二次项系数a的符号决

定的；当GO时，抛物线有最低点；当火0时，抛物线有最高点,而此题常错误地认为〃>0

时，抛物线有最低点.正确的答案应为1—〃>0,即〃<1时，抛物线有最低点，因为二次项

系数是(1—n).

探究点五：利用二次函数y=a?的图象和性质解题

［类型—］利用二次函数y="F的性质解题

硒I当机为何值时，函数产〃优而一机的图象是开口向下的抛物线？当x为何值时，y

随x的增大而增大？这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

用<0,

解：由题意，得机应满足,c解得加=-1.当XVO时，y随X的增大而增大.这

个函数有最大值，最大值是0.

方法总结：本题主要考查函数y二加侬工。)的有关性质.当公>0时，图象开口向上，函

数有最小值0；当〃<0时，图象开口向下，函数有最大值0.当。<0且x<0时，y随x的增大

而增大.

［类型二］二次函数y=a＞的图象和性质的实际应用

晒如图，是一座抛物线形拱桥的示意图，在正常水位时，水面A8的宽为20m,如

果水位上升3m,水面8的宽为10m.

（1）建立如图所示的坐标系，求此抛物线的函数表达式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥

280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶了lh时，忽然接到

紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时，水

位在8处，当水位涨到桥拱最高点。时，禁止车辆通行）.问：如果货车按原来速度行驶，

能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过比桥，速度应超过每小

时多少千米？

解：（1）设抛物线的函数表达式为），=奴23=0）,拱桥最高点O到水面CD的距离为/?m,

则0(5,h),6(10,h3).

■=__1_

25。=-ht

解得彳-25'，抛物线的函数表达式为

100a=f-3,

h=\.

（2）水位由8处涨到最高点。的时间为。X）.25=lM）.25=4（h）,货车按原来速度行驶的

路程为40X1+40X4=200〈280,工货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车速度提

高到xkm/h,即当4x+40Xl=280时，%=60.・・・要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过

60km/h.

方法总结：一般地，求二次函数y=aF的表达式时，只需一个三知点（坐标原点除外）

的坐标即可.而此题由于点伉。的纵坐标未知，故需设出8到桥顶的距离〃作为辅助未

知数.

三、板书设计

［画尸加图象

图象1=加图象的形状、特点

‘当工＜0时，函数），随］的增大而减小

当XX）时，函数），随N的增大而增大

a>0'|当x=0时，函数取得最小值，丁幼小处=0,

二次函数），=〃/的图象和性质〈〔且y没有最大值，即y20

性质＜

‘当x＜0时，函数y随x的增大而增大

当x＞0时，函数），随x的增大而减小

tz<05

当x=0时，函数取得最大值，y最大伯=0,

、且y没有最小值，即yWO

教学过程中，强调学生的自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象和性质,

体会数学建模的数形结合的思想方法.

21.2二次函数的图象和性质

1.二次函数的图象和性质

教学目标

【知识与技能】

使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.

【过程与方法】

使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验,

培养学生分析、解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好

思维品质.

重点难点

【重点】

使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.

【难点】

用描点法画出二次函数丫=己*2的图象以及探索二次函数的性质.

教学过程

一、问题引入

1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么？

(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

2.画函数图象的一般步躲是什么？

一般步骤:⑴列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点

(x,y));(3)连线(用平滑曲线).

3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质？

(运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)

二、新课教授

【例1】画出二次函数y=x2的图象.

解:⑴列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值.

X・・・-3-2-10123•••

…

y・・・9410149

⑵描点根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

⑶连线:用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示.

思考:观察二次函数y=x?的图象，思考下列问题：

(1)二次函数y=x?的图象是什么形状？

(2)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？

(3)图象有最低点吗?如果有，最低点的坐标是什么？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象，通过数形结合解决上面的3

个问题.

学生动手画图，观察、讨论并归纳，积极展示探究结果，教师评价.

函数y=x2的图象是一条关于y轴仅=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数

的图象都是抛物线.二次函数y=x?的图象可以简称为抛物线y=x2.

由图象可以看出,抛物线y=xZ开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称

轴的交点。0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴，抛

物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.

【例2】在同一直角坐标系中，画出函数y=x?及y=2x?的图象.

解:分别填表，再画出它们的图象.

・・・・・・

X-4-3-2-101234

y=*•••84.520.500.524.58.・・

・・・…

X-2-1.5-1-0.500.511.52

y=2x2・・・84.520.500.524.58•••

思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点？

师生活动：

教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.

学生动手画图，观察、讨论并归纳，回答探究的思路和结果，教师评价.

抛物线y=x2、y=2x?与抛物线y=x2的开口均向上，顶点坐标都是。0),函数y=2x2的图象的开

口较窄,y=x2的图象的开口较大.

探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x?的图象，并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象，观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况，若发现问题，及时点拨.

学生汇报探究的思路和结果，教师评价，给出图形.

抛物线y=x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象开口最

窄,y=-x?的图象开口最大.

探究2:对比抛物线y=x2和y=-x”它们关于x轴对称吗?抛物线丫=2*2和丫=m2呢？

师生活动：

学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象，观察、讨论并归纳.

教师巡视学生的探究情况，发现问题，及时点拨.

学生汇报探究思路和结果，教师评价，给出图形.

抛物线y=x2、y=»2的图象关于X轴对称.一般地，抛物线丫=2*2和丫=冏2的图象也关于*轴对称.

教师引导学生小结(知识点、规律和方法).

一般地，抛物线丫=2*2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点

是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小;当a<0时，抛物线丫=2好的开口向下，顶点是抛

物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大.

从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小，当x>0时,y随x的

增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大，当x>0时,y随x的增大而减小.

三、巩固练习

L抛物线v=4x2・4的开口向顶点坐标是^对称轴是当*=

时,y有最值，是.

【答案】下(0,-4)x=0。大-4

2.当mK时,y=(m-l)xL3m是关于x的二次函数.

【答案】1

.已知抛物线上两点

3y=-3x2A(x,-27),B(2,y)JUJx=zy=.

【答案】-3或3-12

4.抛物线y=3x?与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),则k=,b=.

【答案】12

5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点(-1,-2),则抛物线的表达式

为.

【答案】y=-2x2

6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是()

A.y=x2B.y=x2

C.y=-2x2D.y=-x2

【答案】C

7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x?的图象，开口最大的是()

A.y=x2B.y=4x2

C.y=-2x2D.无法确定

【答案】A

8.对于抛物线y=x2和y=x2在同一坐标系中的位置，下列说法错误的是()

A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称

D.两条抛物线的交点为原点

【答案】C

四、课堂小结

1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称，自变量x的取值范围是一切实数.

2.二次函数y=ax?的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开

口向上，顶点是抛物线的最低点，当a越大时，抛物线的开口越小;当a<0时，抛物线y=ax2开口向下,

顶点是抛物线的最高点，当a越大时，抛物线的开口越大.

3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

教学反思

本节课的内容主要研究二次函数y=”2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念，

再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:⑴例1是基础;(2)在例1的基础之上引入例2,

让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的

正负对抛物线开口方向的影响乂4)最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数y="+A的图象和性质

鳍ISB

1.会用描点法画出了=”十上的图象：

2.掌握形如旷=加+&的二次函数图象的性质，并会应用；（重点）

3.理解二次函数.v=o?与之间的联系.（难点）

一、情境导入

边长为15cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为Mem）的小正方形铁片，剩下的四方

框铁片的面积y（cm2）与Mem）的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？

二、合作探究

探究点一：二次函数y=o?+&的图象与性质

［类型—］确定v=cl+k的图象与坐标轴的交点

的U抛物线y=r-4与x轴的交点坐标是.

解析：因为抛物线y=r—4与x轴的交点纵坐标是0,即y=0,此时x2—4=0,解得工

=±2,所以抛物线y=W-4与x轴的交点坐标是（2,0）与（一2,0）.

方法总结：求抛物线与x轴交点坐标时，可利用交点纵坐标为0构造关于x的方程来求

抛物线的横坐标.

［类型二］二次函数v=af+女增减性判断

的陶已知点（为，州）,（及，力）均在抛物线），=如一1上，下列说法中正确的是（）

A.若yi="，则％1=及

B.若K=-X2，则》=一”

C.若0〈片V%2，则yi>y2

D.若汨<12<0,则yi>”

解析：如图所示，选项A:若》=)*则xi=-42,所以选项A是错误的；选项B:若

汨=一处则"=)%所以选项B是错误的：选项C:若0V©Vx2,则在对称轴的右侧，y

随x的增大而增大，则yiV>2,所以选项C是错误的；选项D:若的Vx2<0,则在对称轴

的左侧，y随x的增大而减小，则所以选项D是正确的.故选D.

［类型三］二次函数v=a1+2的图象与性质的综合

砸1若二次函数y=o?+2的图象经过点(一2,10),则下列说法错误的是()

A.a=2

B.当％V0,y随x的增大而减小

C.顶点坐标为(2,0)

D.图象有最低点

解析：杷A=—2,y=10代入y=c«2+2可得10=4a+2,所以a=2,抛物线开口向上，

有最低点，当xVO,［，随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，顶点坐标为(0,2),而

不是(2,0).故选C.

方法总结：抛物线了二加+用〃#。)的顶点为(0,k).

［类型四］在同一坐标系中确定+k的图象与一次函数的图象

硒！在同一直角坐标系中，一次函数y=or+c与二次函数y=G+c的图象大致为

()

解析：当。>0时，抛物线开口向上，且直线从左向右逐渐上升；当aVO时，抛物线开

口向下，且直线从左向右逐渐下降，由此排除选项A,C,D,故选B.

探究点二：二次函数y=o?+攵的平移

［类型—］利用平移确定、=aV+k的解析式

碉已知抛物线y=o?+c向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3f+2.那么抛物

线的解析式为.

解析：因为抛物线y=o^+c向下平移2个单位后，所得抛物线为)，=-3/+2.所以a

=—3,c—2=2,所以c=4,所以抛物线的解析式为y=—3f+4.

［类型二］确定y=aF与y=aP+,的关系

丽抛物线y=a?+c与y=-5炉的形状大小，开口方向都相同,且顶点坐标是(0,3),

求抛物线的表达式，它是由抛物线丁=-5/怎样得到的？

解：抛物线y=a?+c与y=-5/的形状大小相同，开口方向也用同，，a=-5.

又•・•其顶点坐标为(0,3),

，c=3.

..沙=-5/+3.它是由抛物线丁=一5/向上平移3个单位得到的.

方法总结：对于二次函数的图象来说，向上平移期个单位，就在公2后面加|小

向下平移|c|个单位，就在ar2后面减|c|.

三、板书设计

二次函数0.顶点坐标、对称轴、开口方向

y=ax2^-k<2.抛物线的增减性

的图象和13.平移规律

性质14.与一次函数、几何图形综合

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体

会数学建模的数形结合思想方法.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时二次函数y=ax?+k的图象和性质

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax?+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax2+bx+c性质探究的过程，理解二次函数y=ax?+b的性

，质及它与函数丫=2乂2的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y=ax?+b的图象，理解二次函数y=ax2+b的性质，理解函

数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y=ax?+b的性质，理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax?的关系是教学

的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.二.次函数y=2x2的图象是—,它的开口向,顶点坐标是；对称轴是,

在对称轴的左侧，y随x的增大而,在对称轴的右侧，y随x的增大而,函数y

=ax2与x=时，取最值，其最值是。

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2xz的图象开口方向、对称,轴和顶点坐标

是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个何题，你将采.取什么方法加以研究？

(画出函数y=2x2和函数y=2x?的图象，并加以比较)

问题2,你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=2x?+l的图象吗?

解：(1)列表:

X…-3-2-10123•••

y=x2…188202818•••

y=x24-l…199313919•••

⑵描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

⑶连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y=2x?和y=2x?+l的图象。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象

上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取一3,-2,-1,0,1,2,3时，两个函数的函数

值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y=2x2+l的函

数值都比函数y=2x2的函数值大lo

教师引导学生观察函数y=2x?+l和y=2x2的图象，先研究点(-1,2)和点(一33)、

点(0,0)和点(0，1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数

y=2x?+l的图象上的点都是由函数y=2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y-2x2+l和y-2x2的图象有/么联系.？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图

象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+l与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同，

但顶点坐标不同，函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x?+l的图象的顶点

坐标是(0，1)。

问题6：你能由函数y=2x2的性质，得到函数y=2x?+l的一些性质吗？

完1•成填空：

当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增

大，当x时，函数取得最值，最______值丫=.

以上就是函数y=2x2+l的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出.函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象，再作比较，说说

它们有什么联系和区别？

教学要点

让学生发表意见，归纳为：函数y=2x2—2与函数y=2x?的图象的开口方向、对称轴相

同，但顶点坐标不同。函数y=2x，-2的图象可以看成是将函数y=2W的图象向下平移两个

单位得到的。

问题8：你能说出函数y=2x?-2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函

数的性质吗？

教学要点

1.让学生口答，函数y=2x?—2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,一

2);

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当XV。时，函数值

y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小

值，最小值丫=一2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y=-$2+2图象与函数y=-$2的图象有什么关

系？

要求学生能够画出函数丫=一;X?与函数y=—1x2+2的草图，由草图观察得出结论：函

数y=-?/3x2+2的图象与函数丫=一点<2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不

同，函数y=-$2+2的图象可以看成将函数y=-$2的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数y=—32+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

[函数y=-jx?+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质？

，让学生观察函数y=—.$2+2的图象得出性质：当xVO时，函数值y随x的增大而增

大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习；练习1、2、3。

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系？

2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质？

六、作业：1.习题1.⑴

教后反思:

第2课时二次函数了=。（“+m2的图象和性质

嬲I

1.会用描点法画出丁=。（工+协2的图象；

2.掌握形如），=a（x+/?）2的二次函数图象的性质，并会应用：（重点）

3.理解二次函数y=a（x+〃）2与>=加之间的联系.（难点）

一、情境导入

涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的

排水孔道（过水通道），通过这种结构可以让水从公路的下面流过.如图建立直角坐标系，你

能得到函数图象解析式吗？

二、合作探究

探究点一：二次函数），=〃。+力）2的图象与性质

［类型—］\、=心+力2的顶点坐标

［例H已知抛物线丁二奴工+力穴^工。）的顶点坐标是（一2,0）,且图象经过点（一4,2）,求

a,h的值.

解：•・•抛物线丁=。。+/?）23H0）的顶点坐标为（-2,0）,二人二?.又•・•抛物线y=a（x+2）2

经过点（-4,2）,；・〃（一4+2）2=2.二

方法总结：二次函数y=〃（x+/z）2的顶点坐标为（一60）.

［类型二］二次函数\=〃>+"）2图象的形状

曲的顶点为（-2,0）,开口方向、形状与函数），=一牙的图象相同的抛物线的解析式

为（）

A.y=：（x—2产B.y=g（x+2）2

C.y=一米+2）2D.y=—^（x—2）2

解析：因为抛物线的顶点在工轴上，所以可设该抛物线的解析式为y=a（x+〃）23手0）,

而二次函数y=a（jv+h）2（a手0）与y=一齐的图象相同，所以。=一,而也物线的顶点为（一2,

0）,所以力=2.把。=一£,。=2代入尸抬+杼得），=一米+2）2.故选C.

方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相

同.

［类型三］二次函数的增减性及最值

酶对于二次函数），=9（%—1）2,下列结论正确的是（）

A.丁随工的增大而增大

B.当人>0时，y随人的增大而增大

C.当％=—1时，y有最小值0

D.当工>1时，y随汇的增大而增大

解析：因为。=9>0,所以抛物线开口向上，且的=一1,顶点坐标为（1,0）,所以当x

>1时，y随x的增大而增大.故选D.

探究点二：二次函数），=〃（x+»2图象的平移

［类型—］利用平移确定y=〃Cx+a）2的解析式

硒！抛物线y=o?向右平移3个单位后经过点（一1,4）,求。的值和平移后的函数关

系式.

解析：丁=加向右平移3个单位后的关系式可表示为y=a（x—3）2,把点（一1,4）的坐标

代入即可求得。的值.

解：二次函数丁=底的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y=a（x-

3%把％=—1,y=4代入，得4=〃（一1一3）2,・•・平移后二次函数关系式为y=：。一

3）2.

方法总结：根据抛物线平移的规律，向右平移3个单位后，。不变，括号内应“减去3”；

若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减

［类型二］确定v=a（x+/?F与v=a=的关系

碉向左或向右平移函数y=-*的图象，能使得到的新的图象过点（一9,一8）吗？

若能，请求出平移的方向和距离：若不能，请说明理由.

解：能，理由如下：

设平移后的函数为），=—/x+»2,

将x=—9,y=-8代入得一8=—9+人）2,

所以h=5或/?=13,

所以平移后的函数为产一多+5＞或)，=—3+13)2.

即抛物线的顶点为(一5,0)或(一13,0),所以应向左平移5或13个单位.

［类型三］二次函数y=〃(x+")2图象的平移与几何图形的综合

把函数y=*的图象向右平移4个单位后，其顶点为C,并与直线y=x分别相交

于A、8两点(点A在点B的左边)，求△A8C的面积.

解析：利用二次函数平移规往先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由

所得到的二次函数解析式与y=x组成的方程组，确定A、8两点坐标，最后求△A