新高考2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练28复数

专练28复数[基础强化]一、选择题1．[2024·全国甲卷(文)，3]若z＝1＋i，则|iz＋3eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A．4eq\r(5)B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)D．2eq\r(2)2．[2024·全国乙卷(文)，2]设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－1B．a＝1，b＝1C．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－13．[2024·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限4．[2024·新课标Ⅰ卷]已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－iB．iC．0D．15．[2024·全国乙卷(文)]|2＋i2＋2i3|＝()A．1B．2C．eq\r(5)D．56．[2024·全国乙卷(理)]设z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．1－2iB．1＋2iC．2－iD．2＋i7．[2024·全国甲卷(理)，1]若z＝－1＋eq\r(3)i，则eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝()A．－1＋eq\r(3)iB．－1－eq\r(3)iC．－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)iD．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i8．[2024·全国甲卷(文)]eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝()A．－1B．1C．1－iD．1＋i9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z＝cosθ＋isinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A．复数z在复平面上对应的点可能落在其次象限B．|z|＝cosθC．z·eq\o(z,\s\up6(－))＝1D．z＋eq\f(1,z)为实数二、填空题10．若eq\f(a＋bi,i)(a，b∈R)与(2－i)2互为共轭复数，则a－b＝________．11．i是虚数单位，复数eq\f(6＋7i,1＋2i)＝________．12．设复数z1，z2满意|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．[实力提升]13．[2024·新高考Ⅰ卷]已知z＝2－i，则z(eq\o(z,\s\up6(－))＋i)＝()A．6－2iB．4－2iC．6＋2iD．4＋2i14．[2024·全国乙卷(理)，2]已知z＝1－2i，且z＋aeq\x\to(z)＋b＝0，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－2B．a＝－1，b＝2C．a＝1，b＝2D．a＝－1，b＝－215．[2024·全国甲卷(理)]设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()A．－2B．－1C．1D．216．已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝________．专练28复数1．D因为z＝1＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，所以iz＋3eq\o(z,\s\up6(－))＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3eq\o(z,\s\up6(－))|＝|2－2i|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2).故选D.2．A由(1＋2i)a＋b＝2i，得a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,2a－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))故选A.3．A因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．A因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(（1－i）2,2（1＋i）（1－i）)＝－eq\f(1,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)i，所以z－eq\o(z,\s\up6(－))＝－eq\f(1,2)i－eq\f(1,2)i＝－i.故选A.5．C|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝eq\r(5).故选C.6．Bz＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq\f(2＋i,1－1＋i)＝eq\f(－i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i)),－i2)＝1－2i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i.故选B.7．C因为z＝－1＋eq\r(3)i，所以eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,（－1＋\r(3)i）（－1－\r(3)i）－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,1＋3－1)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i.故选C.8．C由题意知，eq\f(5（1＋i3）,（2＋i）（2－i）)＝eq\f(5（1－i）,22－i2)＝eq\f(5（1－i）,5)＝1－i，故选C.9．CD复数z＝cosθ＋isinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))(其中i为虚数单位)，复数z在复平面上对应的点(cosθ，sinθ)不行能落在其次象限，所以A不正确；|z|＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1，所以B不正确；z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ)＝cos2θ＋sin2θ＝1，所以C正确；z＋eq\f(1,z)＝cosθ＋isinθ＋eq\f(1,cosθ＋isinθ)＝cosθ＋isinθ＋cosθ－isinθ＝2cosθ为实数，所以D正确．10．－7解析：eq\f(a＋bi,i)＝eq\f(i（a＋bi）,i2)＝b－ai，(2－i)2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所以b＝3，a＝－4，所以a－b＝－4－3＝－7.11．4－i解析：eq\f(6＋7i,1＋2i)＝eq\f(（6＋7i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(6－12i＋7i＋14,5)＝eq\f(20－5i,5)＝4－i.12．2eq\r(3)解析：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq\r(3)＋i，∴a＋c＝eq\r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq\r(（a－c）2＋（b－d）2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2－（2ac＋2bd）)＝eq\r(8－（－4）)＝2eq\r(3).13．C因为z＝2－i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝2＋i，故zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(z,\s\up6(－))＋i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2i))＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i.故选C.14．A由z＝1－2i可知eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i.由z＋aeq\o(z,\s\up6(－))＋b＝0，得1－2i＋a(1＋2i)＋b＝1＋a＋b＋(2a－2)i＝0.依据复数相等，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＝0，,2a－2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2.))故选A.15．C∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.16．－1解析：方法一因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝eq\f(1＋ai,1＋i)＝eq\f(（1＋ai）（1－i）,（1＋i）（1－i）