江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第5章函数概念与性质午练19函数性质的综合苏教版必修第一册

午练19函数性质的综合1.若偶函数在区间上是增函数且最大值是6，则在上是()A.增函数，最大值是6 B.增函数，最小值是6C.减函数，最大值是6 D.减函数，最小值是62.已知函数.若且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如,.该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数的性质叙述错误的是()A.值域为 B.不是奇函数C.为周期函数 D.在上单调递增4.设是奇函数，且在上是减函数，，则的解集是()A.或 B.或C.或 D.或5.（多选题）高斯是德国闻名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数.如，，.以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有()A.，B.,，，则C.,，D.若的定义域为，值域为，的定义域为，则6.（多选题）已知定义在上的函数的图象是连绵不断的，且满意以下条件：，；,，当时，；.则下列选项成立的是()A.B.若，则或C.若，则D.，使得7.郭老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为；③在上为单调减函数.郭老师说其中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数.8.已知为定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，且，则的解集为.9.已知函数为定义在上的奇函数，当时，.（1）推断并证明函数在,上的单调性；（2）求函数在上的解析式.10.已知函数的定义域为，对随意,，都有，且当时，恒成立.（1）证明：函数是奇函数.（2）用单调性定义证明：在定义域上单调递增.（3），求的取值范围.午练19函数性质的综合1.C[解析]因为偶函数在区间上是增函数，且有最大值6，由偶函数的对称性可得在区间上是减函数，且有最大值6.故选.2.C[解析]作出函数的图象如图所示.令,解得或.因为，所以当时，由，得；当时，不成立；当时，不成立.综上可知，.故选.3.D[解析]由高斯函数的定义可知其值域为，故正确；因为,,所以不是奇函数，故正确；易知，所以是一个周期为1的周期函数，故正确；当时，，所以在上不单调，故错误.故选.4.D[解析]因为是奇函数，所以在上是减函数，且.当时，由得，因为在上是减函数，所以；当时，由得.因为在上是减函数，所以.综上，的解集是或.故选.5.AB[解析]当时，，故为真命题；设，则，，所以，故为真命题；当，时，有，但，故为假命题.因为的定义域为，所以值域为的定义域为，所以.对于，，所以不正确.故选.6.ABD[解析]由题意知，为偶函数，且在上单调递减，故,故正确；对于，由,可得或，解得或，故正确；对于，由，得，若，则或解得，故错误；对于，由为上的偶函数，在单调递减，得在单调递增.又因为函数的图象是连绵不断的，所以为的最大值，,所以，，使得，故正确.故选.7.（答案不唯一）[解析]由题意可得满意②③，不满意①,符合题意.8.[解析]由题意知函数在上单调递增且为偶函数.由得.作出的图象并向左平移一个单位长度如图所示.所以由解得，或由解得.故的解集为.9.（1）解在区间,上单调递增.证明如下：设，则.因为,,所以.又因为,所以,即,所以函数在,上单调递增.（2）因为为定义在上的奇函数，所以，.当时，，当时，，所以10.（1）证明由，令，则，则.令，，则，即,而，所以，即函数是奇函数.（2）证明