2025年新高考数学一轮复习第8章第03讲圆的方程(八大题型)(讲义)(学生版+解析)

第03讲圆的方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：圆的定义和圆的方程 4知识点2：点与圆的位置关系判断 4题型一：求圆多种方程的形式 5题型二：直线系方程和圆系方程 6题型三：与圆有关的轨迹问题 7题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 9题型五：点与圆的位置关系判断 10题型六：数形结合思想的应用 11题型七：与圆有关的对称问题 11题型八：圆过定点问题 1204真题练习·命题洞见 1305课本典例·高考素材 1406易错分析·答题模板 15易错点：忽视圆的一般方程成立的条件 15答题模板：求圆的方程 16

考点要求考题统计考情分析(1)圆的方程(2)点与圆的位置关系2024年北京卷第3题，5分2023年乙卷（文）第11题，5分2023年上海卷第7题，5分2022年甲卷（文）第14题，5分2022年乙卷（文）第15题，5分高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．复习目标：（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识点1：圆的定义和圆的方程1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）．【诊断自测】已知点，，，则外接圆的方程是（

）．A． B．C． D．知识点2：点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．题型一：求圆多种方程的形式【典例1-1】已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．【变式1-1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（

）A． B．C． D．【变式1-2】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.【变式1-4】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．题型二：直线系方程和圆系方程【典例2-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．C． D．【典例2-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为．【方法技巧】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为：当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系【变式2-1】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.【变式2-2】曲线与的四个交点所在圆的方程是．【变式2-3】过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．题型三：与圆有关的轨迹问题【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是．【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为．【方法技巧】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为．【变式3-2】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为.【变式3-3】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为．【变式3-4】如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为．【变式3-5】点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式3-6】已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为.【变式3-7】已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．【变式3-8】在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．【变式3-9】如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【变式3-10】已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件【典例4-1】若方程表示一个圆，则m可取的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【方法技巧】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径【变式4-1】若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-3】已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．题型五：点与圆的位置关系判断【典例5-1】（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【典例5-2】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【变式5-1】（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5-3】点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．3【变式5-4】（2024·高三·全国·课后作业）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．题型六：数形结合思想的应用【典例6-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例6-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【方法技巧】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．【变式6-1】（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（

）A．曲线围成图形的面积为B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴C．曲线所表示的图形是中心对称图形D．曲线是以为圆心，为半径的圆【变式6-2】已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为.【变式6-3】直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-4】若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型七：与圆有关的对称问题【典例7-1】圆关于直线对称的圆的方程为.【典例7-2】已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为.【方法技巧】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线【变式7-1】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【变式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（

）A．2 B． C．1 D．3【变式7-3】已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【变式7-4】如果圆关于直线对称，那么（

）A． B．C． D．【变式7-5】圆关于直线对称后的圆的方程为（

）A． B．C． D．题型八：圆过定点问题【典例8-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【典例8-2】圆恒过的定点是.【方法技巧】特殊值法【变式8-1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．【变式8-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为．【变式8-3】对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为.【变式8-4】设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．4．（2022年高考全国甲卷数学真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．5．（2022年高考全国乙卷数学真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．1．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？2．已知圆的一条直径的端点分别是A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：此圆的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．3．如图，在四边形ABCD中，，，且，，AB与CD间的距离为3．求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．4．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆．5．已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．6．长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．易错点：忽视圆的一般方程成立的条件易错分析：易忽视圆的一般方程：表示圆的条件而导致错误.【易错题1】已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【易错题2】已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答题模板：求圆的方程1、模板解决思路求圆的方程，首先确定圆的类型。若已知圆心坐标和半径，直接代入标准方程；若已知圆上三点，通过构造方程组求解圆心坐标和半径；若已知直径，则先求圆心，再计算半径后代入方程。2、模板解决步骤第一步：根据题意，设出圆的方程或圆心、半径.第二步：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组，并求解。第三步：根据第二步所得结果，写出圆的方程.【典型例题1】写出与直线和轴都相切，半径为的一个圆的方程：．【典型例题2】已知点，其中一点在圆内，一点在圆上，一点在圆外，则圆的方程可能是．（答案不唯一，写出一个正确答案即可）第03讲圆的方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：圆的定义和圆的方程 4知识点2：点与圆的位置关系判断 5题型一：求圆多种方程的形式 5题型二：直线系方程和圆系方程 8题型三：与圆有关的轨迹问题 11题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 17题型五：点与圆的位置关系判断 19题型六：数形结合思想的应用 21题型七：与圆有关的对称问题 25题型八：圆过定点问题 2804真题练习·命题洞见 3105课本典例·高考素材 3406易错分析·答题模板 36易错点：忽视圆的一般方程成立的条件 36答题模板：求圆的方程 37

考点要求考题统计考情分析(1)圆的方程(2)点与圆的位置关系2024年北京卷第3题，5分2023年乙卷（文）第11题，5分2023年上海卷第7题，5分2022年甲卷（文）第14题，5分2022年乙卷（文）第15题，5分高考对圆的方程的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程．复习目标：（1）理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．（2）能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．

知识点1：圆的定义和圆的方程1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．2、圆的四种方程（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程：①的参数方程为（为参数）；②的参数方程为（为参数）．【诊断自测】已知点，，，则外接圆的方程是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得是直角三角形，且，所以圆的半径为，圆心为，所以外接圆的方程为.故选：B.知识点2：点与圆的位置关系判断（1）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．（2）点与圆的位置关系：①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内．【诊断自测】（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，故，又由圆的一般方程，可得，即，即或，所以实数的范围为.故选：C.题型一：求圆多种方程的形式【典例1-1】已知直线与圆相切于点，圆心在直线上，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，设（），圆的半径为，，解得，所以圆心，半径，所以圆的方程为.故选：D.【典例1-2】（2024·高三·北京·开学考试）圆心为，且与轴相切的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，圆心坐标为，可知AB错误；设圆心半径为，且圆心到轴的距离为，则由圆与轴相切可得，故圆的方程为：.故选：C.【方法技巧】（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法．（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．【变式1-1】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的外接圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圆，得到圆心，由题意知O、A、B、P四点共圆，的外接圆即四边形的外接圆，又，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为.故选：A【变式1-2】圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为．【答案】【解析】圆经过点和，，AB中点为，所以线段AB的垂直平分线的方程是．联立方程组，解得．所以，圆心坐标为，半径，所以，此圆的标准方程是．故答案为：.【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与均与相切，点在上，则的方程为.【答案】【解析】由于直线与平行，且均与相切，两直线之间的距离为圆的直径，即，又在上，所以为切点，故过且与垂直的直线方程为，联立，所以与相切于点，故圆心为与的中点，即圆心为0，1，故圆的方程为，故答案为：【变式1-4】与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为，则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下：另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为，由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆.由点到直线的距离为，则，设点，由可得，，即①，由点到直线的距离等于可得②，联立①②可解得，或，由图知仅符合题意，即得，故所求圆的方程为.故选：C.题型二：直线系方程和圆系方程【典例2-1】过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即，圆心在直线上，故，解得，所以圆的方程为.故选：A.【典例2-2】圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为．【答案】【解析】设圆的方程为：，整理得到：，因为圆过，代入该点得到：即，故圆的方程为：即，故答案为：.【方法技巧】求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．（1）直线系方程：若直线与直线相交于点P，则过点P的直线系方程为：简记为：当时，简记为：（不含）（2）圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：简记为：，不含当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）注意：与圆C共根轴l的圆系【变式2-1】经过直线与圆的交点，且过点的圆的方程为.【答案】【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为，化简得.故答案为：.【变式2-2】曲线与的四个交点所在圆的方程是．【答案】【解析】根据题意得到：，化简得到答案.，，故，化简整理得到：，即.故答案为：.【变式2-3】过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（

）A． B．．C． D．【答案】A【解析】由题意设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入中，即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A题型三：与圆有关的轨迹问题【典例3-1】已知定点B（3，0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是．【答案】．【解析】设，则，设，由为的角平分线，可得，即有，可得，，即，，可得，，则，即为．故答案为：．【典例3-2】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为．【答案】【解析】因为，所以直线过点，直线过点，因为，所以，设，所以，所以，所以，化简可得：.故答案为：.【方法技巧】要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．【变式3-1】（2024·高三·青海西宁·期中）已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为．【答案】【解析】依题意，设，由，得，即，整得得，所以点的轨迹方程为.故答案为：【变式3-2】（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为.【答案】【解析】设，如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，点从开始到时是一个周期，故的周期为，如图，为相邻两个零点，在上的图像与轴围成的图形的面积为：.故答案为：.【变式3-3】已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为．【答案】【解析】圆，所以圆心为，半径为2，设，由线段的中点为，可得，即有，即，所以点的轨迹方程为．故答案为：【变式3-4】如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为．【答案】，【解析】设，，连结，，则，，是切线，，，，四边形是菱形．，得，又，满足，所以，即是所求轨迹方程．故答案为：，【变式3-5】点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点的坐标为，因为点是线段的中点，可得，点在圆上，则，即.故选：A.【变式3-6】已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为.【答案】【解析】设点，则，整理得，所以动点的轨迹方程为.故答案为：.【变式3-7】已知是圆内的一点是圆上两动点，且满足，求矩形顶点Q的轨迹方程．【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.由垂径定理可知设由此可得①又在中，有②由①②得故点M的轨迹是圆．因为点M是PQ的中点，设则代入点M的轨迹方程中得，整理得，即为所求点Q的轨迹方程．【变式3-8】在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．如图所示，则点、、、，设动点，，由知：，则．当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，①×②得：，化简得．当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．故点P的轨迹方程为．【变式3-9】如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，由重心坐标公式得，则代入，整理得故所求轨迹方程为.【变式3-10】已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．(1)求线段AP的中点的轨迹方程．(2)若，求线段中点的轨迹方程．【解析】（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为∵点在圆上，∴．故线段中点的轨迹方程为．（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，则，所以，所以．故线段中点的轨迹方程为．题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件【典例4-1】若方程表示一个圆，则m可取的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由方程分别对进行配方得：，依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.故选：D.【典例4-2】（2024·高三·全国·课后作业）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【答案】A【解析】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是，即，且，.故选：D【方法技巧】方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径【变式4-1】若方程表示圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】若方程表示圆，则，解得：或.故选：C【变式4-2】（2024·贵州·模拟预测）已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，即，∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：A.【变式4-3】已知方程表示圆，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为方程表示圆，所以，解得.故选：D题型五：点与圆的位置关系判断【典例5-1】（2024·高三·广东·开学考试）“”是“点在圆内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】点在圆内，所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.故选：A.【典例5-2】（2024·江西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为可化为，则，所以．又点在圆的外部，所以，故，综上，．故选：A.【方法技巧】在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．【变式5-1】（2024·贵州黔南·二模）已知直线与直线的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】联立，解得，即点在圆的内部，即有，解得.故选：D.【变式5-2】（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆，即圆，则，解得．过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得．故．故选：C【变式5-3】点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】如图所示：设，因为，所以，则，即，因为点P在圆上，所以，令，得，，即，解得，所以的最大值为2，故选：C【变式5-4】（2024·高三·全国·课后作业）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为，由得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B题型六：数形结合思想的应用【典例6-1】已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线，即，则令，解得，则其过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，，所以实数的取值范围是.故选：C．【典例6-2】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，）．当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；当与半圆相切时，由，得，切线记为．分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，故选：A．【方法技巧】研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．【变式6-1】（多选题）关于曲线：，下列说法正确的是（

）A．曲线围成图形的面积为B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴C．曲线所表示的图形是中心对称图形D．曲线是以为圆心，为半径的圆【答案】AC【解析】曲线：如图所示：对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为，故A正确；对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误.故选：AC【变式6-2】已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为.【答案】【解析】直线l：，得，可知直线l过定点，如图，曲线表示以O为圆心，1为半径的上半圆，当直线l与半圆相切时，，解得，曲线与x轴负半轴交于点，，因为直线l与曲线有两个交点，所以.故答案为：.【变式6-3】直线与曲线的交点个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆，联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义.联立，解得或，所以直线与有两个交点.所以直线与曲线的交点个数为2个.故选：B【变式6-4】若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，圆心到的距离为：，圆心到的距离为：，所以，由题意，所以，故选：A.题型七：与圆有关的对称问题【典例7-1】圆关于直线对称的圆的方程为.【答案】【解析】圆的圆心为，则关于对称的点设为：，故.与的中点为：，中点在直线上，所以.解得：，所以对称圆的圆心为：.所以圆关于直线对称的圆的方程为：.故答案为：.【典例7-2】已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为.【答案】【解析】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称，又由，可得，且的中点为，所以直线的方程为，即.故答案为：【方法技巧】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线【变式7-1】（2024·辽宁·二模）已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圆，圆心，半径，，圆心，半径，由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线，，，的中点，圆心连线的斜率为，则直线的斜率为，故的方程：，即，故C正确．故选：C．【变式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（

）A．2 B． C．1 D．3【答案】A【解析】因为，化为标准方程为，设圆的半径为，由题可知圆心在直线上，于是有，则，当时，取得最小值2，故的最小值为.故选：B【变式7-3】已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【答案】A【解析】圆的圆心坐标为，圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，，当时，有最小值20.故选：D【变式7-4】如果圆关于直线对称，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为圆的圆心为，由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.故选：B.【变式7-5】圆关于直线对称后的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圆的圆心半径为，由得，设圆心关于直线对称点的坐标为，则，解得，所以对称圆的方程为.故选：A.题型八：圆过定点问题【典例8-1】点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】A【解析】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.【典例8-2】圆恒过的定点是.【答案】【解析】圆方程化为，由解得故圆恒过点.故答案为：【方法技巧】特殊值法【变式8-1】已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．【答案】【解析】设，且，，因为为定值，设，化简得：，与点位置无关，所以，解得：或，因为异于点，所以定点N为.故答案为：.【变式8-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为．【答案】【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.【变式8-3】对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为.【答案】、【解析】由由得，故，解得或.故填：、.【变式8-4】设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．【答案】②④【解析】根据题意得：圆心坐标为，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；考虑两圆的位置关系：圆：圆心，半径为，圆：圆心，即，半径为，两圆的圆心距，两圆的半径之差，任取或时，（），含于之中，选项①错误；若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，将带入圆的方程，则有，即（），因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．故答案为②④.1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.2．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．3．（2020年山东省春季高考数学真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.4．（2022年高考全国甲卷数学真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】【解析】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1，-1).，的方程为.故答案为：5．（2022年高考全国乙卷数学真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．【解析】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过