扬大附中东部分校2024-2025学年度第一学期期中考试（数学答案）

扬大附中东部分校2024-2025学年度第一学期期中考试高二数学（总分150时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角等于（

）A． B． C． D．不存在【答案】C2.经过点的直线在轴上的截距是（

）A．-10 B．10 C． D．【答案】A3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（

）A．15 B．12 C．3 D．3或15【答案】A4.若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C5.若是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则=（

）A． B． C． D．【答案】B6.若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B7.已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．答案：C8.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．答案：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直互相垂直”的充要条件B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是答案：BCD已知直线和圆，则下列结论成立的是（）.直线过定点.当直线与圆相交时，直线被圆所截的弦长最大值为.当直线与圆相切时，实数.当实数的值为时，直线与圆相交，且所得弦长为答案：AD11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（

）A．曲线关于直线对称B．曲线经过点，其方程为C．曲线围成的图形面积小于D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）答案：ACD【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（），由已知，即.若点在曲线上，则也满足曲线方程，所以曲线关于直线对称，A选项正确.对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误.对于C，，则，所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确.对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点，则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;当整点为时，，此时整点均在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.抛物线的焦点坐标为．答案：13.若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为．答案：曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是．答案：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15.（13分）已知直线经过点．（1）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程；（2）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.答案：（1）或，....................................................................5分（2）或..........................................................................................13分16.（15分）已知圆的圆心在直线上且与轴相切，圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的标准方程；（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求的最小值.答案：(1)(2)详解：（1）因为圆心在上且与轴相切，所以设圆心，半径为，所以圆方程为，又圆心到直线距离，圆被直线截得弦长为4，所以有：，解得，所以圆方程为：；.......................................................5分（2）解法一：因为，又因为，所以，设Px,y，则，即，所以点轨迹方程为.因为，所以的最小值就是的最小值，即为点到直线的距离，所以的最小值为..........................................................................................15分解法二：因为，又因为，所以，设Px,y，则，即，，，当时，取得最小值：，所以的最小值为...........................................................................................15分17.（15分）已知离心率为的双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，且三角形面积为为坐标原点）．（1）求双曲线的渐近线方程；（2）求实数的值．答案：【小问1详解】因为，所以，即，故双曲线的渐近线方程为：．..................................................................5分【小问2详解】不失一般性，可设A在x轴下方，B在x轴上方，因为抛物线的准线方程为：，由得，同理可得，所以，因为，解得．.....................................................15分18.（17分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：.答案：（1），（2）证明见解析详解：（1）解：由题意可得，，，解得，所以椭圆的方程为：；.....................................................................3分（2）解：设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线与的交点，所以，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，可得，，即，因为，直线的方程为：，联立，解得：，由题意可得，所以，，所以，即，所以...........................................17分19.（17分）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．（1）求双曲线的方程．（2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由．（3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．答案：（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，............................................................................2分所以双曲线的方程为．....................................................................................3分（2）双曲线的左焦点为，当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，.......................................................................................4分当直线的斜率不为0时，设，由，消去得，......................................................5分显然，，设，则，得，.............6分于是，，.......................................8分即，因此与不垂直，所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．...............................................10分（3）由直线，得，则，又，......