2025年高考数学一轮复习：指数与对数的运算

2025年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第5节指数与对数的运算

考试要求1.理解有理数指数易的含义，了解实数指数易的意义，掌握指数哥的

运算性质.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自

然对数或常用对数.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.根式的概念及性质

⑴概念：式子;区叫做根式,这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.

（2计生质：①负数没有偶次方根.

②0的任何次方根都是0,记作]）=。.

n

③（gy=4〃GN*,且〃>1）.

④后=a（〃为大于1的奇数）.

⑤/=团=『（〃为大于1的偶数）.

\—g,a<Q

2.分数指数毫

m旦,_

规定：正数的正分数指数易的意义是％=包（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正数的

mI

负分数指数辱的意义是m,〃金N*,且心1）；0的正分数指数哥等

“亚

于0;0的负分数指数幕没有意义.

3.有理指数幕的运算性质

aras=cT+s\（/>=贮；（ab]r=arbr,其中a>0,b>0,r,s©Q.

4.对数的概念

如果ax=N（a>0,且aWl）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log°N,其

中a叫做对数的底数，N叫做真数.

5.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质

①qiog/=&；②log/=b(a>0,且aWl).

(2)对数的运算性质

如果a>0且M>0,N>0,那么

①loga(AfiV)=logJVf+logaN；

②loga"=log“〃_logaN;

N

③log“M"=iAo%aM(nGR).

(3)换底公式:loga6=，&%>0,且aWl,b>0,c>0,且cWl).

log4

［常用结论］

换底公式的两个重要结论

(l)log6=―--(a>0,且aWl；b>0,且bWl).

fllog6a

(2)\ogmbn=­log«&(6Z>0,且oWl；6>0；m,〃CR,且机#0).

am

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

4________

⑴Y(—4)4=—4.()

mxi/1

(2)分数指数易a-可以理解为迈个。相乘.()

nn

(3)log2X2=21og2X.()

(4)若儿W>0,贝(Jloga(AW)=logaM+logaN.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

44

解析(1)由于JT二4)4=/=4,故(1)错误.

(2)当场<1时，不可以，故(2)错误.

n

(3)log2X2=21og2|x|,故(3)错误.

(4)当M<0,N<0时，虽然MN>0,

但10ga(〃N)=10g“"+10gaN不成立，故(4)错误.

2.(必修一Pl27T5改编)设a=lg2,6=lg3,则logi210=()

2a~\-b2b+a

C2a~\~bD.26+。

答案A

解析logl210=-—=--------=.

s1g12Ig3+21g22a+b

i

_i,

3.(必修一P110T8改编)已知02+4—5=3,贝!JQ+Q—1=；a*i2+*4a~2=

答案747

i

_i

解析由成+。2=3，得〔+2=9,

即1=7,则原+4-2+2=49,

即次+。-2=47.

4.计算：兀0+22XL4J2+log23—log?6=.

答案I

解析原式=1+-XVU2+log23—log22—log23=1+—X-—1=-.

4428

考点突破•题型剖析

考点一指数易的运算

a3b261）2

例1（1）（2023・杭州调研）化简-3伉伍>0,6>0）的结果是（)

（4仍2）4.、/-

答案B

311

a2b.a6b33iiii〃

解析i

(a4b2)(04/)2)4-fl---Z)3

3

(2)计算：27；+2564-3-1+(A/2-1)°=

答案16

3

——1111

解析原式=(3]-—(—7)2+(44)4—1=j—49+64—j+1=16.

感悟提升1.指数哥的运算首先将根式、分数指数募统一为分数指数募，以便利

用法则计算，还应注意：

(1)必须同底数易相乘，指数才能相加.

(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

|T|I7(4“)3

训I练1(1)计算：UJ2-1=(a>0,&>0).

(0.1)f(〃力-3)2

答案|

33

___3

2・42426-2

解析原式=—3—=-

__35

lOa2b2

——3%

(2)已知。"=5,则^—.

ax—ax

答案y

々刀JUQ3X-Q-3x-(Q2%+]+Q-2X)

解析-----丁=-------------=--------

ax-axax-ax

1QI

=a2x+l+a~2x=5+l-\=——.

55

考点二对数的运算

例2(l)log381—Iog98-log23—2*3+坨/+lg业=.

答案0

解析原式=log334—；-log32，log23—3+lgA/lb=4—3+：=0.

⑵计算.(1—log63)2+log62・log618.

Iog64

答案1

1—21oge3+(log63)*2+log6--log6(6X3)

解析原式:3

log64

」一21og63+(log63)2+1—(log63)2

log64

2(l—log63)=Iog66-log63=log62]

210g62loge2loge2

(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示logi815=.

b—a~\-1

答案

2b~\~a

解析1（^815=^=33+坨5=33+1—lg

lg18Ig2+21g3Ig2+21g32b+a

感悟提升1.在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数

指数募的形式，使募的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，

转化为同底对数真数的积、商、募再运算.

3./=N=b=log“N（a>0,且aWl）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运

算中应注意互化.

71

训练2（1）（2023・豫北名校联考）已知2。=7』左，若4+：=1,则左的值为（）

ab

A.28B.―

14

C.14D.-

7

答案A

解析'：2a=lb=k,

・・a=log2左，Z?=log7鼠・・一=log%2,：=log〃,

ab

21

/.―-h-=210g起+log"=log左28=1,

ab

・•・左=28.故选A.

（2）计算：log535+21og^2—log5^—log514=.

1

答案22

解析原式=log535—logs^—log514+k）g（啦）2

1

352

=log5]+log2=log5125—l=log553—1=3—1=2.

—X14,

50!

2

⑶计算：L7]3+eln3+logIog34-log23=.

i

答案34

解析原式=0—+3—glogzQJ—210g32，log23=：+3—2=3.

考点三指数与对数运算的实际应用

角度1指数运算的实际应用

例3（1）某灭活疫苗的有效保存时间7（单位：小时h）与储藏的温度/（单位：℃）满

足的函数关系为7=3+匕（左，6为常数,其中e=2.71828…）,超过有效保存时间,

疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080h,在10℃时的有效保存时

间是120h,则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（）

A.15hB.30h

C.40hD.60h

答案C

解析由题意知1080=e♦120=ei°"+'=ei°Aeb,

所以e10fr=（e5i）2=

1080一9,

所以e5"=1,所以ei5/=J,

327

所以ei5k+b=ei5k-eb=^X1080=40(h).

(2)(2020・新高考全国I卷改编)基本再生数&与世代间隔T是新冠感染的流行病

学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传

染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：/(。=眇描述累

计感染病例数/⑺随时间/(单位：天)的变化规律，指数增长率r与&,T近似满

足&=l+rT.有学者基于已有数据估计出以=3.28,7=6.据此，在新冠感染疫情

初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2-0.69)()

A.L2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+",Ro=3.28,T=6,

_Ro-l3.28—1_

<r=-------=——=0.38.

T6

由题意，累计感染病例数增加1倍,

则/(9=23),

38z

即e0.38f2=2e°-l,所以e038«2ll)=2,

即0.38色一九)=ln2,

_In2〜0・69

心1.8(天).

—().38〜0.38

角度2对数运算的实际应用

例4(1)(2022・临汾三模)我国在防震减灾中取得了伟大成就，并从2009年起，将

每年5月12日定为全国“防灾减灾日”.尽管目前人类还无法准确预报地震，但

科学家经过研究，已经对地震有所了解，地震学家查尔斯・里克林提出了关系式：

lgE=4.8+L5M,其中£为地震释放出的能量，〃为地震的里氏震级.已知2008

年5月12日我国发生的汶川地震的里氏震级为8.0级,2017年8月8日我国发生

的九寨沟地震的里氏震级为7.0级，可知汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的

3

(参考数据：VW^21.5,\/T000^31.6)()

A.9.6倍B.21.5倍

C.31.6倍D.47.4倍

答案C

解析在lgE=4.8+1.5N中,令析=8,

得lg£=4.8+1.5X8=16.8,则£=1016-8,

因此汶川地震释放的能量为IO".8,

令〃=7,得lgE=4.8+1.5X7=15.3,

则£=1015.3,

因此九寨沟地震释放的能量为1063,

所以汶川地震释放的能量约为九寨沟地震的

3

^^=1015=102=7103=\’?000七31.6(倍).

(2)(2022•北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化

碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧

化碳所处的状态与T和1g尸的关系，其中T表示温度，单位是K；尸表示压强，

单位是bar.下列结论中正确的是()

A.当T=22Q,P=1026时，二氧化碳处于液态

B.当7=270,0=128时，二氧化碳处于气态

C.当7=300,0=9987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当7=360,0=729时，二氧化碳处于超临界状态

答案D

解析对于A,当7=220,尸=1026时，lgP=lg1026>lg103=3,根据图象可

知，二氧化碳处于固杰；

对于B,当7=270,尸=128时，1g尸=lg128G(lg1。2,坨1()3),即坨尸口2,3),

根据图象可知，二氧化碳处于液态；

对于C,当7=300,尸=9987时，lgP=lg9987<lg104=4,且与4非常接近，

根据图象可知，二氧化碳处于固态；

对于D,当7=360,尸=729时，1g尸=1g729©(lg102,1g103),即lgP=lg729^(2,

3),根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态，故选D.

感悟提升解决指数、对数运算实际应用问题的步骤

(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；

(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.

训练3(1)(2023•江西名校联考)法国数学家马林・梅森是研究素数的数学家中成就

很高的一位，人们将“2。―13为素数)”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅

发现51个“梅森素数”，可以估计，267—1这个“梅森素数”的位数为(参考数

据：1g2心0301)()

A.19B.20

C.21D.22

答案C

解析依题意，lg(267—l户Ig267=671g2心67X0.301=20.167,...267—d()20.i67.

.•.267—1这个“梅森素数”的位数为21位.

(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h

与其采摘后时间《天)满足的函数关系式为/?=”鼠若采摘后10天,这种水果失去

的新鲜度为10%,采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的

这种水果多长时间后失去40%新鲜度()

A.25天B,30天

C.35天D.40天

答案B

10

解»析依题-意»，得，10%=wa,解、得机=白1，屋°=2,

20

\20°/o=m-a,20

当〃=40%时，40%=-

20

即40%=L%E,

20

解得#-10=4=(/0)2=020,

于是得10=20,解得/=30(天)，

所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

1.若代数式呼2%—1+也二x有意义，则弋4炉—4x+l+2\j(x—2)4=()

A.2B.3

C.2x~1D.x—2

答案B

解析由\)2x—1+丫2-x有意义，

得，、解得;4W2.

2—2

所以x—2W0,2x—120,

___4_________________

所以\)4x2—4x+1+2\](x—2)4=\](2x—1)2+2|x—2|=|2x—l|+2|x—2\=2x—

1+2(2—x)=3.

2.已知lg5=a,则lg20=()

A.4+QB.0.6+。

C.2~aD.2Q—4

答案C

解析V1g5=a,

•••lg20=lg112=lgl00-lg5=lgl02-lg5

=21g10—lg5=2—a.

3.(2022•浙江卷)已知2"=5,log83=A,则3b=()

A.25B.5

25

D3

9

答案C

解析因为2。=5,Z>=logs3,

即23b=3,

所以4「3b4。=(2。)2=52=25

43厂⑵一2—32一9

4.瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度

Ea

变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：k=Ae--

其中左为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，及为反应活化能,

Z（Z>0）为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反应，若热力学温度分别为和0时，

反应速率常数分别为kx和左2（此过程中R与瓦的值保持不变），经计算一*=河,

若乃=271,则ln?=()

B.M

C.\[MD.2M

答案A

Ea

解析由题意知后=/广.=//,

RT\

AeMM

EaEaMk\

k2=Ac~~=Ae~---=Ac-,e2,

KI2Z.K1]ZM=

上2

Ze2

M

则In-=lne2=—.

ki2

5.若log23Xlog36根Xlog96=；,则实数制的值为（）

A.4B.6

C.9D.12

答案A

解析.••10g23X10g36祖

Ig2lg36lg9lg221g621g341g2

♦•log2机=2,♦♦机=4.

a

6.若2a=5匕=10,则26=()

A.2B.4

C.5D.10

答案C

解析：2。=5b=10,.,.a=log210,Z?=log510,

.alog?10In5,「

..-=-^----=-----=log25,

blogs10In25

a

.•.21=2%5=5.

7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）

与时间/（单位：h）间的关系式为尸=尸。-3其中R）,左为正常数.如果一定量的废

气在前10h的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的

50%还需要经过多长时间？（结果四舍五入取整数，参考数据：1112^0.693,In

5-1.609）（）

A.llhB.21h

C.31hD.41h

答案B

解析由已知得;=「1叫方程两边同取自然对数得In；=—10左,

2In2—In5

所以左=~0.0223.

-10

设污染物减少到最初含量的50%需要经过，h,

贝0.0223t

、2'

方程两边同取自然对数得In1=—0.0223/,

2

解得/-3L

所以还需要经过31—10=21h使污染物减少到最初含量的50%.

8.已知^^=夕，9P=n,其中机>0且机#1,〃>0且〃#1,若2机一〃=0,则P

log„,3'

的值为（）

A.log32B.log23

C.2D.3

答案A

解析因为J-=p,

log加3

所以log3机=夕，得机=32，

所以2机一〃=2X¥—3=2X3。一（3。）2=0.

即3^(2-30=0.

因为VW0,所以V=2,解得夕=log32.

答案0

10.计算：log3y27+lg25+lg4+71O§72+83=.

答案y

3

_1

解析原式=log335+lg52+lg22+2+23Xg

3

=|+21g5+21g2+2+2

3

=1+2(lg5+lg2)+2+2

315

=-+2+2+2=—

22

11.若e^=2024,—>=1012,则x+y=.

答案In2

解析e"=2024,e^=l012,则色=冽丝=2,

e>1012

x+

即ey=29则x+y=ln2.

12.(2023・长沙模拟)若a=log23,3b=2,则2。+2一。=，cib=

答案J1

解析2"+2一。=2喻3+2-%3=3+1=%

33

・.3=2,・・.b=log32,

11

：.ab=log23Xlog32=^x^=l.

Ig2lg3

【B级能力提升】

13.（2023・广州测试）若OVaVl,1>0,且/一小=—2,则/的值为（）

A.2/B.±2^2

C.—2他D.A/6

答案A

解析根据题意，由a—2,

得（心一相"）2=於>+晨2/>-2=4,

即我+q-2b=6,

则（的+。9）2=产+晨26+2=6+2=8,

所以/十49=2丫2（负值舍去），故选A.

14.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为To,

则经过一定时间/分钟后的温度T满足T—北=QB（To—北），h称为半衰期，其中

北是环境温度.若北=25℃,现有一杯80℃的热水降至75。。大约用时1分钟，

那么水温从75℃降至55℃,大约还需要（参考数据：1g3^0.48,1g5心0.70,1g

11^1.04）（）

A.3.5分钟B.4.5分钟

C.5.5分钟