2025年高考数学一轮复习：统计与概率（新高考专用）（原卷版）

专题28统计与概率（七大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01数据收集随机抽样

♦题型02用样本估计总体

♦题型03线性回归

♦题型04统计案例

♦题型05随机事件的概率

♦题型06古典概率

♦题型07条件概率与全概率公式

♦题型01数据收集随机抽样

1.某中等职业学校为了了解高二年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统

计分析.下列叙述正确的是（）

A.上述调查属于全面调查B.每名学生是总体的一个个体

C.200名学生的视力是总体的一个样本D.1200名学生是总体

2.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:3,

要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A.52B.48C.36D.24

3.①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90〜100分，12人的成绩低于

90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4x100m接力赛的6支

队伍安排跑道.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（）

A.分层抽样，简单随机抽样B.简单随机抽样，简单随机抽样

C.简单随机抽样，分层抽样D.分层抽样，分层抽样

♦题型02用样本估计总体

4.已知一组数据为-M,4,4,2,6,则该组数据的第50百分位数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为（）

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为17

C.该组数据的平均数为16

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数

据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误的数据进行

更正后，重新求得样本的平均数为方差为d,则（）

A.X<70,?>75B.X>70,52<75

C.又=70,S2<75D.X=70,52>75

7.已知一组数据2%+1,2%+1,2忍+1,2%+1的平均数是3,方差为4,则数据国,无2,W，无4的平均数和方差

分别是（）

A.1.1B.1,2C.—,—D.—,2

242

8.某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据

分成6组：[90,91）,[91,92）,[92,93）,[93,94）,[94,95）,[95,96],得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件

O90919293949596长度/厘米

A.b-0.20

B.长度的平均数是93

C.长度的中位数一定落在区间[93,94）内

D.长度落在区间[93,94）内的个数为35

♦题型03线性回归

9.由一组样本数据&,乂）,（9,%）,…,（乙,%）得到经验回归方程£=%+&,那么下列说法正确的是（）

A.若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱

B.若另越大，则两组变量的相关性越强

C.经验回归方程勺=嬴+4至少经过样本数据（七,%）,（9,%），…,（马，％）中的一个

D.在经验回归方程9=霖+&中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加g个单位

10.下列说法错误的是（)

A.线性相关系数越接近1,两个变量的线性相关程度越强；

B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系；

C.在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明

这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高；

D.甲、乙两个模型的决定系数4分别约为0.88和0.80,则模型甲的拟合效果更好.

11.已知由样本数据a，%）（2=1,2,3,…,8）组成的一个样本，得到经验回归方程为夕=2x+0.75,且

元=1.125,增加两个样本点（-2,5）和（1,3）后，得到新样本的经验回归方程为a=3X+A.在新的经验回归方

程下，样本（3,8.7）的残差为（）

A.1.1B.0.5C.-0.5D.-1.1

12.一唱片公司欲知唱片费用x（十万元）与唱片销售量'（千张）之间的关系，从其所发行的唱片中随机

1010101010

抽选了10张，得如下的资料：W＞，=28，»＞；=303.4,2%=75，W＞；=598.5,Z%%=237,则V与x的相

z=lz=li=lz=li=l

Wa-可他-刃

关系数，•的绝对值为（）（相关系数：t"）

\£（尤厂于这（％-才

Vi=li=l

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

♦题型04统计案例

13.某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x分钟与

温度y（摄氏度）的关系用模型y=（其中e为自然对数的底数）拟合.设2=lny,变换后得到一组数

据：

X22.533.54

Z4.044.013.983.963.91

由上表可得线性回归方程z=-0.06x+a,则q等于（）

A.-4B.e-4C.4.16D.e416

14.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2x2列联表:

未治愈治愈合计

服用药物104050

未服用药物203050

合计3070100

则下列说法一定正确的是（）

n(ad-be)。

附：z2n-a+b+c+d).

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为"小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

15.某兴趣小组为研究语文学习与数学、英语、政治、历史四科之间的关系，随机调查部分高二学生，统

计数据如下表，则语文对数学、英语、政治、历史学习具有影响的可能性最大的是（）

数学成绩数学成绩英语成绩英语成绩政治成绩政治成绩历史成绩历史成绩

优异一般优异一般优异一般优异一般

语文成绩

515416614814

优异

语文成绩

72510221121624

一般

A.数学B.英语C.政治D.历史

16.近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适

当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度,

所得数据统计如下表所示：

喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间

初中生16040

高中生14060

附：

P(X2>k)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

以下结论中错误的是（）

A.有95%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

B.没有99%的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关

D.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关

17.学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、

女生各〃人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（）

1

S9

S8

OS..7

S.6口不曷•欢

S.45口喜欢

3

OS.2

1

O.0

生

男女生

n(ad-bc)"

参考公式及数据：/=其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.010.001

%2.7066.63510.828

A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多

B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多

C.若〃=50,依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

D.若”=100,依据a=0.01的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关

18.已知两个分类变量X,y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（）

Y合计

X

Y=0y=i

x=o100ad

X=1200be

合计300cn

A.b=2aB.2c=3bC.a=2bD.e=2d

♦题型05随机事件的概率

19.对于随机事件A,B有尸⑷=［，尸(AB)=、P(A+8)=尸(B)=_______.

462

20.设A,8为两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若A,8是对立事件，则P(AB)=1

B.若A,B是互斥事件,尸(A)=1,尸(2)=！，则尸(。+2)=：

326

-1-11

C.若P(A)=1P(B)=5,且尸(AB)=g,则A,3是独立事件

17__1

D.若A,5是独立事件，P(A)=-,P(B)=-,则P(A3)=§

21.本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为20%,下雨的概率为30%,吹南风或

下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为()

A.30%B.15%C.10%D.6%

22.某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别为3,p,g,该同学站在三个不同的

位置各投篮一次，至少投中一次的概率为!■,则夕的值是.

23.在甲、乙、丙、丁四人踢毯子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此建子是由乙踢出的概率为;第〃次踢出后，建子恰好踢给乙

的概率为.

♦题型06古典概率

24.从1,2,3,4,5,7这6个数中任取2个数，则这2个数均为质数的概率为.

25.若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是

26.已知盒中有5个黑球和2个白球，每次从盒中不放回的随机摸取1个球，直到盒中剩下的球颜色相同

就停止摸球，则摸球三次后就停止摸球的概率为.

♦题型07条件概率与全概率公式

27.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置.根据某机

构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有70%后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传

送器；而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器.则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器

飞机的比例为（填写百分数）,现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到的概率为.

28.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动.顾客需投掷一

枚骰子三次，若三次投掷的数字都是奇数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会（2次抽奖结果互不影响）；若三次投掷的数字之和是6,12或18,则该顾客获得该健身房的免费团操

券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会，

已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

21

概率

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为.

29.在秋冬季节，疾病2的发病率为2%,病人中40%表现出症状S,疾病2的发病率为5%,病人中18%

表现出症状S,疾病D3的发病率为0.5%,病人中60%表现出症状S.则任意一位病人有症状S的概率为

病人有症状S时患疾病2的概率为（症状S只在患有疾病A,D2,2时出现）

30.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一

枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖

机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9,则该顾客获得该健身房的免费团操券5

张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知

每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品一个健身背包一盒蛋白粉

2£

概率

44

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为1

02模拟精练

一、单选题

1.（2024・湖南衡阳•一模）某城市随机选取〃个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该

活动有人生肖相同的概率大于50%,则至少需要选取（）个人.

A.3B.4C.5D.6

2.（2024・四川南充•一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103,106,113,119,123,118,134,

118,125,121,则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（）

A.118B.121C.122D.123

3.（2022・陕西榆林•模拟预测）袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者和领导者，他在农业科学的第一线

辛勤耕耘、不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.在杂交水稻试验田中

随机抽取了100株水稻，统计每株水稻的稻穗数（单位：颗）得到如图所示的频率分布直方图（同一组中

的数据用该组区间的中点值代表），则下列说法博保的是（）

B.这100株水稻的稻穗数的平均值在区间［280,300）中

C.这100株水稻的稻穗数的平均值在区间［240,260）中

D.这100株水稻的稻穗数的中位数在区间［240,260）中

4.（2024•江苏扬州•模拟预测）将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为国,马，不，则占4%（三的概率

为（）

57-57

A.—B.—C.—D.—

54542727

5.（2024•江西新余•模拟预测）已知一组数据«,y）（i=l,2,3,大致呈线性分布，其回归直线方程为

y=2x-9,则*%的最小值为（）.

i=l

A.-4B.-8C.-16D.无法确定

6.（2024・广东广州•模拟预测）已知数据占,9‘无3,…,玉o，且满足W<吃<…</，若去掉耳，国0后组成一

组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（）

A.平均数B.中位数C.极差D.方差

7.（2024•广东广州•模拟预测）有机（"让3）个盲盒，其中有〃（加-1）个内有奖品.若抽奖者选定了一个

盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另

外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为Pi；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风

吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖

的概率为必，则对任意符合题意的加，〃，都有（）

A.ft<p2B.Pr=P2C.px>p2D.无法确定Pi与P2的大小关系

8.（2024•河南•三模）有以下6个函数：①〃力=42_4+44-尤2；②〃力=:；③〃x）=sinx；④

/（x）=cos2x；⑤/⑺=宁；⑥/（x）=2x+3.记事件M：从中任取1个函数是奇函数；事件N：从中

任取1个函数是偶函数，事件的对立事件分别为而，可，则（）

A.P（M）=P（M+N）-P（N）

B.P（MN）=P（M）P（N）

c.P（M+N）=P（V）+P（N）

D.P（M\N）=P（M\N）

二、多选题

9.（2024•贵州贵阳•模拟预测）某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间单位:

年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57

根据表中的数据可得到经验回归方程为.y=1.23x+a,则（）

A.y与x的样本相关系数厂2。

B.5=0.08

C.表中维修费用的第60百分位数为6

D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

10.（2024•云南•模拟预测）现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色

球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球.若

第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同

色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（）

A.若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为:

4

3

B.第二次抽到蓝色球的概率为7

16

C.如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子

D.如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种

11.（2024•广东珠海•一模）设A,8为随机事件，且尸（A）,尸⑻是A,8发生的概率.P（A）,P（B）e（0,l）,

则下列说法正确的是（）

A.若A,2互斥，则尸（AU8）=尸（A）+P（8）

B.若尸（AB）=P（A）尸（3）,则A,B相互独立

C.若A,B互斥,则A,B相互独立

尸（小）辿辿尸（晒）相结

'P（A|B）P（B|A）P（A|B）寸

三、填空题

12.（2024•甘肃庆阳•一模）已知一组数据1,2,3,3,5,1,6,8,则这组数据的第60百分位数为

若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为.

13.（2022•四川成都•模拟预测）为了研究某种菌在特定环境下随时变化的繁殖情况，得如下实验数据：

天数X（天）34567

繁殖个数y（个）2.5C44.56

由以上信息，计算得回归直线方程为y=0.85x_0.25,则。的值为.

14.（2023•福建•模拟预测）若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点,

则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是.

四、解答题

15.（2024•河南新乡•模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化

物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023.

97/979

已知产12000区5-田2。1100.&一口2m77,£注。51800.

i=lY/=!yi=li=l

⑴可否用线性回归模型拟合y与t的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

（2）若根据所给数据建立回归模型y=-138+2025,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物

排放量？请说明理由.

»/一哂

附:相关系数〃=i99—

Vi=li=l

16.（2024•全国•模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵

实际行程时间

程度越高.某平台计算TPI的公式为:并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下

畅通行程时间

表所示的4个等级:

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵

某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图:

2023年

2024年

⑴从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为"拥堵"的概率；

⑵从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI

低的概率.

17.（2024•四川宜宾•三模）某地为调查年龄在35—50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35—50岁段人群

中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：

女性男性

每周运动超过2小时6080

每周运动不超过2小时4020

⑴根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35-50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

（2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人.再从这6人中随机抽

取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率.

-be)

2一

参考公式：K=n-a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(G+c)(6+d)

p(K2＞、0.100.050.0250.0100.001

k02.7063.8415.0246.63510.828

18.（2024•福建泉州•模拟预测）测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、

中间和右侧的概率分别为0.5,0.1和0.4,并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1,0.2和0.2的概率踢

飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即

足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的

概率分别为0.6,0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5,当他猜中方向为中

间时，扑出点球的的概率为0.8.

比赛情景

⑴求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；

⑵若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的

前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1;若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会

变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机

会•已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚

点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.

（i）求球员甲第二轮罚进点球的概率；

3）设尸（左）为球员甲在第左轮罚进点球的概率，若J满足对于Wte{1,2,3,4,5},直接写出符合

题意的匚（