2025年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示（解析版）

第01讲函数的概念及其表示

目录

第一部分：基础知识..............................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................3

第三部分：高频考点一遍过.......................................................4

高频考点一：函数的概念.....................................................4

高频考点二：函数定义域.....................................................6

角度1：具体函数的定义域................................................6

角度2：抽象函数定义域..................................................6

角度3：已知定义域求参数................................................7

高频考点三：函数解析式.....................................................9

角度1：凑配法求解析式（注意定义域）....................................9

角度2：换元法求解析式（换元必换范围）.................................10

角度3：待定系数法.....................................................11

角度4：方程组消去法...................................................12

高频考点四：分段函数......................................................15

角度1：分段函数求值...................................................15

角度2：已知分段函数的值求参数.........................................16

角度3：分段函数求值域（最值）.........................................17

高频考点五：函数的值域....................................................19

角度1：二次函数求值域.................................................19

角度2：分式型函数求值域...............................................20

角度3：根式型函数求值域...............................................21

角度4：根据值域求参数.................................................22

第四部分：典型易错题型........................................................27

备注：求函数解析式容易忽略定义域..........................................27

备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“X”的取值范围叫定义域.......28

第五部分：新定义题（解答题）..................................................29

第一部分：基础知识

1、函数的概念

设A、8是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系了,使对于集合A中的任意一个数x,在集

合5中都有唯一确定的数/（%）和它对应，那么称-§为从集合A到集合8的一个函数，记作

y=/O），A.

其中：工叫做自变量，x的取值范围4叫做函数的定义域

与X的值相对应的/(X)值叫做函数值，函数值的集合{/WIxeA)叫做函数的值域.

2、同一(相等)函数

函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

同一(相等)函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等

的依据.

3、函数的表示

函数的三种表示法

解析法(最常用)图象法(解题助手)列表法

就是把变量％,y之间的关系

就是把x,y之间的关系绘制就是将变量x,y的取值列成

用一个关系式y=/(x)来表

成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由X的值

就是相应的变量x,y的值.的关系.

求出y的值.

4、分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函

数.

5、高频考点结论

5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式型函数：分母不等于零.

(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R

(4)/(%)=x°的定义域是{X|户0}.

(5)/(x)=a"(a>0且awl),/(x)=sinx,f(x)=cosx的定义域均为R.

(6)/(x)=log；(a>0且aH1)的定义域为(0,+℃).

兀

(7)f(x)=tanx的定义域为{xlxwE+万,左eZ}.

5,2函数求值域

(1)分离常数法：

ex+d

将形如y=——7(awO)的函数分离常数，变形过程为：

ax+b

cbebebe

cx+d_~{ax+b)+d~~^_c「一％,再结合x的取值范围确定"的取值范围，从而确定函

------=------------------=—।--------------

ax+bax+baax+bax+b

数的值域.

(2)换元法:

如：函数/(x)=ax+b+{ex+d(ac丰0),可以令t{ex+d(tN0),得到x=’———,函数/(x)=«x

c

+b+yjcx+d(ac丰0)可以化为y=."+t+b(t>0),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,

c

求解过程中要注意/的取值范围的限制.

(3)基本不等式法和对勾函数

(4)单调性法

(5)求导法

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•北京•统考高考真题)已知函数/食)=4'+1吗》，贝1]/目=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，把x=g代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/(尤)=4*+1082-所以/(；)=42+log2；=2-l=l.

故答案为：1

-ax+1,x<a,

2.(2022•北京,统考高考真题)设函数/(%)=/若Ax)存在最小值，则a的一个取值为____；

(x—2),x>a.

a的最大值为•

【答案】0(答案不唯一)1

【分析】根据分段函数中的函数)—+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，。<0不符合条件，

〃>0时函数>=-仆+1没有最小值，故/a)的最小值只能取丁=(%-2>的最小值，根据定义域讨论可知

-a2+1>0^<-«2+l>(tz-2)2,解得0<«<1.

1,x<0

【详解】解：若，=0时，f(x)={/./(%)*=()；

(x-2),x>0

若Q<0时，当％时，/(%)=-依+1单调递增，当％f-8时，/(X)->-00,故/(%)没有最小值，不符合题

目要求；

若a>0时，

当时，/(%)=-依+1单调递减，/(x)>f(a)=-a2+1,

0(0<a<2)

当""时’2)2

(a>2)

••—>+1>0或—>+1>（tZ—2）2,

解得OvaKl,

综上可得OWa；

故答案为：0（答案不唯一），1

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数的概念

典型例题

例题1.（2024上•福建福州•高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以尤为自变量

的函数的图象是（）

【答案】D

【分析】根据函数定义作出判断.

【详解】根据函数定义，在定义域内，对于任意的心只能有唯一确定的，与其对应，ABC满足要求,

D选项，在定义域内对于x>0,有两个确定的y与其对应，D错误.

故选：D

例题2.（2024上•四川泸州,高一统考期末）托马斯说："函数是近代数学思想之花•"根据函数的概念判断:

下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是（）

A.y=2xB.y=x+2C.y=YD.y=2x

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可.

【详解】对于A,集合M中的元素-1按对应关系>=2x,在集合N中没有元素与之对应，A不是；

对于B,集合"中的元素4按对应关系y=x+2,在集合N中没有元素与之对应，B不是；

对于C,集合M中的每个元素按对应关系y=Y,在集合N中都有唯一元素与之对应，C是;

对于D,集合M中的元素-1按对应关系y=2，，在集合N中没有元素与之对应，D不是.

故选：C

练透核心考点

1.(2024上•海南省直辖县级单位•高三校考阶段练习)已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示，函数

y=的图象是如下图所示，则g(〃2))的值为()

【分析】观察函数图象得了(2),再利用数表求解即得.

【详解】观察函数y=/(x)的图象，得〃2)=1,由数表得g(l)=4,

所以g(f(2))=g(l)=4.

故选：D

2.(多选)(2024上,陕西安康•高一校考期末)下列各图中，是函数y=f(x)图象的是()

【分析】根据函数的定义判断即可.

【详解】根据函数的定义，对于定义域内的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，

可看出BD满足.

故选：BD

高频考点二：函数定义域

角度1：具体函数的定义域

典型例题

例题1.（2024下・河南・高一信阳高中校联考开学考试）函数f（x）=logxT^/^^不7?的定义域为（）

A.{尤|x>l且xW2}B.{x\l<x<2）C.{x\x>2}D.{x|xwl}

【答案】C

【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.

x-1>0

【详解】由题得,解得X>2,即函数“X）的定义域为{x|x>2}.

-3%+2>0

故选：C

例题2.（2024上•北京东城•高三统考期末）函数的定义域为.

X1WC

【答案】（0,1）口（1,+8）

【分析】根据分式的分母不为0,对数的真数大于0求解即可.

【详解】

X1WC

fxlnx^O,,

\解得%>0且xw1,

[x>0,

•••函数〃x）=4的定义域为（°，l）U（l，y）・

xinx

故答案为：（o,i）u（i，H-

角度2：抽象函数定义域

典型例题

例题1.（2024上•江苏徐州•高三沛县湖西中学学业考试）已知函数>=/（尤）的定义域是[-4,5],则产生竦

的定义域是()

A.[—2,4]B.[—2,6]C.(—2,4]D.(—2,6]

【答案】D

【分析】根据抽象函数的定义域可得/(x-1)满足-3«x«6,结合根式的意义即可求解.

【详解】因为函数，(%)的定义域为[-4,5],

所以满足BP-3<x<6,

又x+2>0,即％>-2,

f-3<x<6

所以《。，解得-2<x46.

[x>-2

所以函数y=半义的定义域为(-2,6].

故选：D.

例题2.(2024上•福建龙岩・高一福建省武平县第一中学校联考期末)若幕函数人%)的图象过点(4,2),则

的定义域是()

f(x)

A.(-2,0)B.(0,2]C.[0,2]D.(-2,2)

【答案】B

【分析】设〃尤)=丁，根据幕函数的图象过点(4,2)求出a的值，即可求出的定义域，再根据抽

2—|J>Q

'，解得即可.

{x>0

【详解】设〃尤)=X°,依题意可得4。=2,解得&所以〃制=?，

所以的定义域为[0,+")，值域为[0,+”)，且〃0)=0，

对于函数y=则12一，2。，解得0<xW2,

/(x)[x>0

即函数y=的定义域是(0,2].

故选：B

角度3:已知定义域求参数

典型例题

1

例题1.(2024上•吉林通化•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=的定义域是R,则加的取

yjmx1+2/JU+1

值范围是()

A.0<m<lB.0<m<lC.0<m<lD.0<m<l

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答.

【详解】依题意，VXGR,不等式如2+23+i>o恒成立，

当m=0时，7ra:?+2znx+l=l>0恒成立，则机=0,

fm>0

当机wO时，有A/2/八，解得0〈机<1,则0<相<1,因止匕0Wm<1

[A=4m-4m<0

所以加的取值范围是

例题2.（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）=V^^瓦石的定义域为{x|T〈xwg},则必的值为.

【答案】6

【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值.

【详解】由题意依2+fox+lZO的解是TVxwg,

1,1b

—1+—=----

所以<；",解得。=一3,b=-2,所以ab=6.

-4：?--

、3a

故答案为：6.

练透核心考点

1.（2024上•山西太原•高一山西大附中校考期中）已知函数/'（%）的定义域为[2,8],则函数y的

x-5

定义域为（）

A.[4,10]B.[0,6]

C.[4,5）U（5,10]D.[0,5)U(5,6]

【答案】c

【分析】根据题意得到][2<x-2<8

c,再解不等式组即可.

[九一5c

【详解】根据题意可得[[2<x-2<8,

__，解得4<x<10且％。5.

[九一5w0

故选：C

0<m<l.

故选：C

2.（2024上•山西长治•高一校联考期末）函数"x）=：一2的定义域为

【答案】（T0）U[2,”）

【分析】根据根号下部分大于等于0建立不等式求解即可.

x-2\x-2>0fx-2<0

【详解】令1ln（xd+l）、仇则[x+l一>l或[0C<x+l1<l1,解得转2或

所以函数"X）=的定义域为（-1,0）。[2,+。）.

故答案为：（-1,0）32,+。）

x

3.（2024•全国•高三专题练习）若函数〃x）=—e——的定义域为R,则实数。的取值范围为.

x+ax+a

【答案】（0,4）

【分析】根据题意转化为无?+公+“#（）在xeR恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数/（x）=———的定义域为R，即V+ox+awO在xeR恒成立，

+ax+a

结合一元二次方程的性质，则满足八=/一4°<0,解得0<。<4,

所以实数。的取值范围为（0,4）.

故答案为：（0,4）

4.（2024•全国•高三专题练习）函数1=，.2--+2的定义域为卜2,1],则实数。的值为.

【答案】-1

【分析】函数定义域满足依2-X+220,根据解集结合根与系数的关系解得答案.

【详解】y=Jor2-x+2的定义域满足:a^-x+2^0,解集为

-=-2+1

故°<0且；,解得。=-1.

-=-2x1

故答案为：-1

高频考点三：函数解析式

角度1:凑配法求解析式（注意定义域）

典型例题

例题L（2024・江苏•高一专题练习）已知/=则函数〃x）=,/（3）=

【答案】X2+211

【分析】利用换元法可求出了(X),进一步可得”3).

111

【详解】令方—=t,贝［|fH—=(x—)~+2=厂+2,

尤XX

所以/⑺=广+2,所以/(x)=x-+2,

所以"3)=32+2=11

故答案为：x2+2：11.

例题2.(2024上•重庆长寿•高一重庆市长寿中学校校联考期末)已知/(6)=尤+a«+b(mb均为常数),

且F(O)=1J⑴=-2.

(1)求函数Ax)的解析式；

【答案】(l)/(x)=/-4x+g0)

【分析】(1)由〃。)=1"(1)=-2,代入函数解析式求出.涉，得函数,⑺的解析式；

【详解】(1)由/(石)=x+a«+b,得/(«)=(«y+a«+〃，BPf(x)=x2+ax+b(x>0),

由〃0)=l,〃l)=-2,

子f(0)W=b=l,.2解得b=l,

可得

a=-4.

所以f(x)=x2-4x+1(%>0)

角度2：换元法求解析式(换元必换范围)

典型例题

(X+1।1

例题1.(2024•江苏•高一专题练习)已知函数/7=”-2,则〃x)的解析式为()

A./(%)=x2—2x—1B./(1)=尤2—2(%,。)

C./(x)=x2—2x—3(x^1)D./(x)=x2—2x—1)

【答案】D

【分析】根据换元法求函数解析式.

【详解】令f=可得X=—

xf-1

所以/⑺==

因此/(%)的解析式为/(%)=%2—2x-l(xwl).

故选：D.

例题2.(2024•全国•高三专题练习)已知/(一)=L三，求/(X)的解析式.

1+X1+X

【答案］“上骂(D

1—x1—t

【分析】令"才"-1,则X—,代入函数解析式可得解.

【详解】由咤合片，令"曰―壬

[-(L)2

2t।

所以/«)=—%~~~w-l,

1+(尸)2r+1

1+/

7

所以r

【点睛】本题主要考查了已知/(g(x))的解析式求/(x)解析式的求解，解题的关键是换元法，但是需要主要

定义域的变化，属于基础题

角度3：待定系数法

典型例题

例题1.(2024•江苏•高一专题练习)已知函数了(盼是一次函数，且/"(尤)-2幻=3,则〃5)=()

A.11B.9C.7D.5

【答案】A

【分析】设〃x)=6+b("0),根据/"(尤)-2幻=3恒成立可得°,b,然后可解.

【详解】设，(%)=依+人(。彳0),

贝!]f[f(x)-2x]—f(<ax+b-2x^=a(<ax+b-2x^+b=3,

整理得-2。卜+。6+。-3=0,

a?—2a=0a=2

所以,解

ab+b—3=。b=l

所以〃x)=2x+l,所以〃5)=2x5+l=ll.

故选：A

例题2.(2024•江苏,高一专题练习)设二次函数“可满足"0)=1,且〃x+l)-〃x)=4x,求〃尤)的解

析式.

【答案】〃x)=2f—2x+l

【分析】根据题意设〃力=加+法+c，由"0)=1求出c,由〃x+1)-『(x)=4x可求得即可得答案.

【详解】设二次函数为〃尤)=«x2+bx+c,

因为/(。)=1，所以c=l,所以/■(x)=«?+bx+l,

又因为“x+D-Axb©,

22

即6Z（X+1）+Z?（X+1）—ax—bx=2ax+a+b=4xf

2a=4a=2

所以解得:

a+b=Ob=-2

所以函数解析式为〃x)=2x2-2x+l.

角度4：方程组消去法

典型例题

例题1.(2024・江苏•高一专题练习)已知f(x)满足3〃x)+2〃l-x)=4x,则/'(x)解析式为.

Q

【答案】/(x)=4.x-|

【分析】用l-x代x得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式.

【详解】由3〃x)+2〃l—x)=4x①

用l-x代尤可得，3/(l-x)+2/(x)=4(l-x)②

Q

由3x①-2x②可得：/(x)=4.x-|

Q

故答案为：/(x)=4x--

例题2.(2024・江苏•高一专题练习)已知2〃司+(-£|=201,求函数“X)的解析式.

【答案】小)=%4+:1+康?

【分析】通过构造方程组的方法来求得/'(X)的解析式.

【详解】2"x)+.—£|=2x+l①，

以替换x,得2/1-」+/3=二+1②，

X\XyX

2

①x2-②得：3f(x)=4X+1H—,

419

所以“力=5%+§+£.

练透核心考点

1.(2024•江苏•高一专题练习)已知函数(y则的解析式为()

A./(x)=x2-2xB./(x)=x2-x

C./(x)=x2+xD.〃x)=f+2x

【答案】D

【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.

［详解］因为/(二］=(工］-1=(1-1)2+--2=(--1)2+2(--1),

\XJ\X)XXXX

所以f(x)=x2+2x.

故选：D.

2.(2024•江苏•高一专题练习)已知/(«+l)=x+2«,则〃x)=()

A./(x)=%2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(A:)=X2-1(X>0)D./(%)=X2+1(X>1)

【答案】B

【分析】利用换元法直接求解即可.

【详解】令«+l=r,t>\,则五=/-1,尤=(/—1『，

所以/(0=(^-1)2+2(r-1)=?2-1(r>1).

所以〃尤)的解析式为：/(x)=x2-l(x>l)

故选：B.

3.(2024•全国•高三专题练习)若函数/(x)满足方程2〃x)+d£j=2x,xeR且"0,则：

(1)/(D=;(2)/(©=.

【答案】|"E(xeR,x#0)

【分析】令x=l可得/(1);用:替换心再解方程组可得答案.

【详解】令X=1可得：2/(1)+/(1)=2,所以

由2〃x)+=2x(xw0)①得，2“£|+/⑺=彳②，

联立①②可得：—-(xeR,xy：0).

故答案为：①"I；②/(%)="——-(XGR,X^0).

33%

4.(2024•全国•高三专题练习)已知定义域为R的函数f(x)满足2〃x)-〃-力=3/，贝4(力=

【答案】%3

【解析】由题意利用方程思想求得函数的解析式即可.

【详解】因为2〃x）-〃一尤）=3尤3,

所以2〃T）—〃x）=-3d,

同除以2得“T）一i打（到=-13，

两式相加可得;〃彳）=:%3,即〃力=彳3.

故答案为：X3.

【点睛】求函数解析式常用方法：

⑴待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；

⑵换元法：已知复合函数/（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

⑶方程法：已知关于/（X）与•£］或/（一X）的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,

通过解方程组求出/（X）.

5.（2024•江苏•高一专题练习）求下列函数的解析式

（1）设函数“X）是一次函数，且满足/（〃尤））=16尤+5,求的解析式

⑵设满足2〃x）+3/匕/4x—,求的解析式

【答案】（l）/（x）=4x+l或〃x）=-4.x-g

（2）/（X）=-yX+-^

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；

（2）利用消元法求函数解析式.

【详解】（1）设一次函数“X）的解析式为〃尤）=米+6（b0）,

贝|J/(/(x))=k^kx+b)+b=k2x+kb+b=16x+5,

k=-4

k2=16k=4

所以，解得或b=2

kb+b=5

3

所以〃x)=4x+l或〃x)=-4x4.

(2)由2/(x)+3/f4x--①，

得2/R1+3/(X)=：T②，

2x①-3x②得5〃x)=-llx+3,

即/(司=一巳工+互.

6.(2024・江苏•高一专题练习)(1)已知“X)是一次函数，且满足3〃尤+1)-〃x)=2x+9,求〃x)的解

析式；

(2)己知f(6+l)=x+2五，求的解析式；

【答案】Cl)/(x)=x+3；(2)/(x)=x2-l(x>l)

【分析】(1)设出〃制=6+方(。*0),根据题目条件得到方程组，求出a=l,b=3,得到函数解析式;

(2)换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.

【详解】(1)由题意，设函数为〃力=奴+6(。工0),

3/(x+l)-/(x)=2x+9,

.,.3a(x+l)+36—6:一6=2%+9,

­।,f2a=2

即2依+3々+26=2犬+9,由怛等式性质，得〜八，

[3a+2b=9

•'.62—1,〃=3,

二所求函数解析式为/(x)=%+3

(2)令/=6+1,贝卜21,x=(t-l)2,

因为/(«+l)=x+24,所以/(?)=(?-l)2+2(r-l)=r2-l,

所以〃尤)=尤?-1(尤21).

高频考点四：分段函数

角度1:分段函数求值

典型例题

\x+a,x<l

例题1.(2024上•江西南昌•高一校联考期末)已知函数/(x)=।…/(1)=2,则/(2)=()

[log42-a,x>l

31

A.—B.—1C.D.0

22

【答案】c

【分析】由题意首先将X=1代入得a的值，进一步将x=2代入即可求解.

【详解】由题意/(D=2=l+a,解得a=l,

所以〃2)=log422T-1=；-1=一；.

故选：C.

/、fx+l,x<0

例题2.(2024上•河北石家庄•高一石家庄市第二十四中学校考期末)已知函数/(元)=1/(尤_6)尤>0'则

/(1)=.

【答案】-4

【分析]由〃1)=〃1-6)=/(-5)=T,从而可求解.

【详解】由题意知当尤>0,/(x)=/(x-6),则〃=6)=〃—5),

所以5)=-5+1=-4.

故答案为：-4.

角度2：已知分段函数的值求参数

典型例题

3%+i_]%>]

例题1.(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=,；-；o।且/(m)=-2,则〃祖+6)=()

—log3(X+J)—2,x<l,

A.-16B.16C.26D.27

【答案】c

【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.

【详解】当〃叱/时，/•(%)=-2=3m+'-1=—2n3""i=-l=>me0,

当机<1时，/(〃z)=—2n—log3(m+5)—2=—2nm=T,

所以/(m+6)=〃2)=3=-1=26,

故选：C

23八

—Cl—XH--,X<0-/-j\-

例题2.(2024上•江苏常州•高三统考期末)已知函数〃x)=<x若//[=Q，则实数，的

logix-2,x>0L13人

、3

值为________.

【答案】-2

【分析】利用分段函数求解即可.

【详解】/Q^=l-2=-l,f=/(-l)=-a-l-3=<

z,a——2.

故答案为：-2

角度3：分段函数求值域（最值）

典型例题

例题1.（2024上•河南南阳•高一校联考期末）函数/（%）=['的值域为（）

'7[x+3,-3<x<0

A.[―1,-Ko）B.[3,+8）C.1,0]D.[-1,3]

【答案】D

【分析】法一，根据题意，分别求出当0WXW3时与当-3Wx<0时的最值，即可得到分段函数的值域；法

二，画出的草图，数形结合可求出值域；

【详解】法一：因为y=f-4x+3=（x-2）2-l且0VxV3,

所以当x=2时，ynun=-1,当X=0时，y„1ax=3;

当-3Wx<0时，0Wx+3<3,

（9一4尤+30<x<3

所以函数“'）=x+3,-3==。一的最小值为.最大值为3'故函数,⑺的值域为-3].

法二：画出Ax）的草图，如图所示，由图象可知函数/（x）的最小值为T,最大值为3,故函数了（元）的值域

为[-1,3].

故选：D

—X2+12x+20,0W无<8,

例题2.（2024上•四川达州•高一统考期末）已知函数〃无）=48，则/'（"的最大值是

46+——,x>8

()

A.60B.58C.56D.52

【答案】C

【分析】分0«xv8和无28两种情况讨论，结合二次函数和反比例函数的性质即可得解.

【详角军】当。<%<8时，/（x）=—x2+12x+20=—（X—6）2+56,

此时“£LX=/（6）=56,

JQ

当犬28时，f（x）=46H--在[8,+<句上单调递减，

x

此时〃"诙="8)=52,

综上所述，/«_=/(6)=56.

故选：C.

练透核心考点

-1,x>0

1.(2024上•云南大理•高一统考期末)已知〃x)=2x+3,g(x)=0,x=0,则函数y=〃x)-g(x)的值

1,x<0

域为()

A.(-oo,3)B.(-oo,3]C.(3,+co)D.[3,+oo)

【答案】A

—2x—3,x>0

【分析】先得到y=〃x)-g(x)=k，x=o,再作出其图象求解.

2x+3,x<0

—2x-3,x>0

【详解】解：由题意得:y=〃x"（x）=<0,x=0

2x+3,x<0

其图象，如图所示：

由图象知：函数y的值域为（-*3）,

故选：A

[log.xx>01

2.（2024•陕西西安,统考一模）已知函数,则/（/（））=（）

[9,x<02

A.-B.|C.—D.2

422

【答案】A

【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算即得.

flOgnX,X>01I

【详解】函数/（无）=£,则/（）=bg<0,

所以/(f(1))=f(log31)=9*=(3*尸=1.

故选：A

e\x<l

3.(多选)(2024上•山东济宁・高一统考期末)已知/(x)=若〃x)=2,则x所有可能的

lnx+l,x>2

值是()

A.-1B.In2C.1D.e

【答案】BD

【分析】利用函数/(X)的解析式，结合指数、对数运算可求得结果.

【详解】由已知可得

fex=2(x2+1=2，nx+l=2

U1或il<x<2或京2'

解得x=ln2,^x=e.

故选：BD

.1

X—

4.(2024•全国•模拟预测)函数〃x)=1-无4°的值域为_____.

log2(x+2),x>0

【答案】(。，；u(i,+⑹

【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.

11I

【详解】当XM0时,0</(X)=4A2<42=-,

当x>0时，/(x)=log2(x+2)>l,

所以/(X)的值域为，U(l,+s).

故答案为：(。，；U(1,+⑹.

高频考点五：函数的值域

角度1:二次函数求值域

典型例题

例题L(2024上•上海•高一校考期末)函数〃x)=2d-4x+7,xe[-l,8]的最小值是.

【答案】5

【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为〃x)=2f—以+7的图象开口向上，对称轴为x=l,

又xe[-l,8],所以/(X)的最小值是〃1)=2-4+7=5.

故答案为：5.

例题2.(2024上•湖南衡阳•高一统考期末)已知二次函数满足了(x-l)=2f—7x+6.

⑴求〃元)的解析式.

(2)求“X)在[0,2]上的值域.

【答案】①/(0=2尤2—3X+1

「11

(2)--3

_O

【分析】(])令=贝Ux=/+1,利用换元法代入可求得“X)的解析式；

(2)由(1)可得函数/■(*)的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.

【详解】(1)令x-l=t,贝!]x=r+l,

f(t)=2(t+l)2-7(t+l)+6=2t2-3t+l,f(x)=2x2-3x+l.

(2)因为〃x)=2x2—3x+l=2]x—j,

a「31「3一

所以的图象对称轴为x=；,在0q上递减，在-,2上递增，

/Wrain=/(|}=-^〃XLX=〃2)=3,

即的值域为.

|_O

角度2：分式型函数求值域

典型例题

2r+1

例题1.(2024上•山西太原•高一山西大附中校考期中)函数y=二三的值域是()

x-3

A.